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江苏省盐城市2017-2018学年高二下学期期末考试数学word版有答案
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2018/7/10  
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2017/2018学年度第二学期高二年级期终考试
数 学 试 题

注意事项:
  1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷.
  2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.
  3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知复数(为虚数单位),则 ▲ .
2.某学校高三年级700人,高二年级700人,高一年级800人,若采用分层抽样的办法,从高一年级抽取80人,则全校总共抽取 ▲ 人.
3.命题“使得”是 ▲ 命题. (选填“真”或“假”)
4.从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人,则甲、乙两人中有且只有一人被选取的概率为 ▲ .
5.设双曲线的左、右焦点分别为,,右顶点为,若为线段 的一个三等分点,则该双曲线离心率的值为 ▲ .
6.执行如图所示的伪代码,最后输出的值为 ▲ .


(第6题图)

7.若变量,满足约束条件 则的最大值为 ▲ .
8.若函数为偶函数,则的值为 ▲ .
9.(理科学生做)若展开式中的常数项为,则实数的值为 ▲ .
(文科学生做) 函数的值域为 ▲ .
10.(理科学生做)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表,要求数学课排在前3节,英语课不排在第6节,则不同的排法种数为 ▲ 种.(用数字作答)
(文科学生做) 若,,则 ▲ .
11.已知对任意正实数,,,都有,类比可得对任意正实数,,,,,都有 ▲ .
12.若函数在和时取极小值,则实数的取值范围
是 ▲ .
13.若方程有实根,则实数的取值范围是 ▲ .
14.若,且,则的最大值为 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共计90分. 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
(理科学生做)某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量,其概率分布如下表,数学期望.
(1)求和的值;
(2)某同学连续玩三次该智力游戏,记积分大于0的次数为,求的概率分布与数学期望.
X
0
3
6








(文科学生做)已知集合,,.
(1)求;
(2)若“”是“”的必要不充分条件,求实数的取值范围.

16.(本小题满分14分)
(理科学生做)如图,在正四棱柱中,,,点是的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

(第16题理科图) (第16题文科图)
(文科学生做)已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的值;
(2)设函数,求在上的单调递减区间.

17.(本小题满分14分)
(理科学生做)已知数列满足,().
(1)求,,并猜想的通项公式;
(2)用数学归纳法证明(1)中所得的猜想.
(文科学生做)已知数列满足.
(1)求,,的值,猜想并证明的单调性;
(2)请用反证法证明数列中任意三项都不能构成等差数列.

18.(本小题满分16分)
直角坐标系中,椭圆的离心率为,过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点,直线与椭圆相交于两点,且线段被直线平分.
①求直线的斜率;
②若,求直线的方程.
19. (本小题满分16分)
如图是一个路灯的平面设计示意图,其中曲线段可视为抛物线的一部分,坐标原点为抛物线的顶点,抛物线的对称轴为轴,灯杆可视为线段,其所在直线与曲线所在的抛物线相切于点.已知分米,直线轴,点到直线的距离为8分米.灯杆部分的造价为10元/分米;若顶点到直线的距离为t分米,则曲线段部分的造价为元. 设直线的倾斜角为?,以上两部分的总造价为S元.
(1)①求t关于?的函数关系式;
②求S关于?的函数关系式;
(2)求总造价S的最小值.




20.(本小题满分16分)
设函数的导函数为.若不等式对任意实数恒成立,则称函数是“超导函数”.
(1)请举一个“超导函数” 的例子,并加以证明;
(2)若函数与都是“超导函数”,且其中一个在上单调递增,另一个在上单调递减,求证:函数是“超导函数”;
(3)若函数是“超导函数”且方程无实根,(为自然对数的底数),判断方程的实数根的个数并说明理由.





2017-2018学年度第二学期高二年级期终考试数学试题
数学参考答案
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.
1. 2. 3. 真 4.
5. 6. 7. 8.
9. (理) (文) 10. (理) (文)
11. 12. 13. 14.

二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.
15.(理科)解:(1)因为,所以,
即.① …………………………………………………………………2分
又,得.② …………………………………………………………………4分
联立①,②解得,. …………………………………………………………………6分
(2),依题意知,
故,,
,. …………………………………………………………………10分
故的概率分布为












的数学期望为.……………………………………………………14分
(文科)解:(1), …………………………………………………2分
. …………………………………………………4分
则 …………………………………………………6分
(2),
因为“”是“”的必要不充分条件,
所以且. ……………………………………………………10分
由,得,解得. ……………………………………………………12分
经检验,当时,成立,
故实数的取值范围是. ……………………………………………………14分
16.(理科)解:在正四棱柱中,以为原点,、、分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系.

因为,,,
所以,, ……………………………………………………………2分
所以,
所以异面直线与所成角的余弦值为. ……………………………………………………6分
(2),设平面的一个法向量为.
则,得,取,得,,
故平面的一个法向量为. ………………………………………10分
于是,
所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………………………………………14分
(文科)解:(1)由图形易得,
,解得, …………………………………………………………………2分
此时.
因为的图象过,
所以,得. …………………………………………………………………4分
因为,所以,
所以,得.
综上,,. …………………………………………………………6分
(2)由(1)得.……10分
由,解得,其中.
取,得,
所以在上的单调递减区间为.……………………………………………………14分
17(理科)(1),猜想. ………………………………………………6分
(2)当时,命题成立; ………………………………………………8分
假设当时命题成立,即, ………………………………………………10分
故当时,,
故时猜想也成立. ………………………………………………12分
综上所述,猜想成立,即. ………………………………………………14分

(文科)(1)计算得,猜想该数列为单调递减数列. ………………………2分
下面给出证明:,
因为,故,所以恒成立,即数列为单调递减数列. ………………………6分
(2)假设中存在三项成等差数列,不妨设为这三项,………………………8分
由(1)证得数列为单调递减数列,则,即,
两边同时乘以,则等式可以化为,(※) ……………12分
因为,所以均为正整数,故与为偶数,
而为奇数,因此等式(※)两边的奇偶性不同,故等式(※)不可能成立,
所以假设不成立,故数列中任意三项都不能构成等差数列. ………………………14分
18.(1)由可得, ………………………2分
设椭圆方程为,代入点,得,
故椭圆方程为:. ………………………4分
(2)①由条件知,
设,则满足,,
两式作差得:, ………………………6分
化简得,
因为被平分,故,
所以,即直线的斜率. ………………………10分
②设直线为,代入椭圆方程可得,(#)
所以,,

, ………………………12分

………………………14分
解得,此时方程(#)中,
故所求直线方程为. ………………………16分
19.解:(1)①设曲线段所在的抛物线的方程为,将代入得,故抛物线的方程为,求导得,故切线的斜率为,而直线的倾斜角为?,故,t关于?的函数关系为.………………………………2分
②因为,所以曲线段部分的造价为元,
因为点到直线的距离为8分米,直线的倾斜角为?,故,部分的造价为,
得两部分的总造价为,. ………………………………6分
(2), …………………8分

其中恒成立,令得,设且为锐角,…………10分
列表如下:







0




极小


…………………………………12分
故当时有最小值,此时,,, …………………………………14分
故总造价S的最小值为元. ……………………………16分
20.解:(1)举例:函数是“超导函数”,
因为,,满足对任意实数恒成立,故是“超导函数”. ……4分
注:答案不唯一,必须有证明过程才能给分,无证明过程的不给分.
(2)∵,∴,

……………………………………………………………6分
因为函数与都是“超导函数”,所以不等式与对任意实数都恒成立,故,,① ………………………………………………………8分
而与一个在上单调递增,另一个在上单调递减,故,②
由①②得对任意实数都恒成立,所以函数是“超导函数”. ……10分
(3)∵,所以方程可化为,
设函数,,则原方程即为,③ ……………………………12分
因为是“超导函数”, ∴对任意实数恒成立,
而方程无实根,故恒成立,所以在上单调递减,
故方程③等价于,即, ……………………………14分
设,,则在上恒成立,
故在上单调递增,
而,,且函数的图象在上连续不断,
故在上有且仅有一个零点,从而原方程有且仅有唯一实数根.
……………………………16分
注:发现但缺少论证过程的扣4分.

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