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九年级上数学专题复习一:待定系数法求二次函数表达式(有答案)-(浙教版)
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:试题、练习
上传日期:2018/10/11  
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专题复习一待定系数法求二次函数表达式
/
二次函数表达式的三种形式:①一般式y=ax2+bx+c(a≠0);②顶点式y=a(x-m)2+k(a≠0);③交点式(分解式)y=a(x-x1)(x-x2),求函数表达式时要根据已知条件合理选择表达式形式.
/
1.一抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的函数表达式为(B).
A.y=-2(x-1)2+3B.y=-2(x+1)2+3 C.y=-(2x+1)2+3D.y=-(2x-1)2+3
2.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点为点A(-2,-2),且过点B(0,2),则y关于x的函数表达式为(D).
A.y=x2+2B.y=(x-2)2+2C.y=(x-2)2-2D.y=(x+2)2-2
/(第2题) /(第3题) /(第4题)/(第8题)
3.如图所示为抛物线的图象,根据图象可知,抛物线的函数表达式可能为(A).
A.y=-x2+x+2B.y=-x2-x+2C.y=-x2-x+1D.y=x2-x-2
4.如图所示,二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0,-2).该二次函数的图象与反比例函数y=-
的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的表达式为(A).
A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+2
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c= -2 .
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),则二次函数的表达式为 y=x2-4x+3.
7.老师给出一个函数,四位同学各指出了这个函数的一个性质:①函数的图象不经过第三象限;②函数的图象经过第一象限;③当x<2时,y随x的增大而减小;④当x<2时,y>0.
已知这四位同学的叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数:y=(x-2)2(不唯一).
8.如图所示,将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°,得到△A1OB1,若点A的坐标为(2,1),过点A,O,A1的抛物线的函数表达式为 y=x2-x.
9.根据下列条件求二次函数的表达式.
(1)二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是-,,与y轴交点的纵坐标是-5,求这个二次函数的表达式.
(2)二次函数图象的顶点在x轴上,且图象过点(2,-2),(-1,-8),求此函数的表达式.
【答案】(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x+)(x-).把点(0,-5)代入,得a××(-)=-5,解得a=.∴抛物线的函数表达式为y=(x+)(x-)=x2-x-5.
(2)设抛物线的函数表达式为y=a(x-k)2.把点(2,-2),(-1,-8)代入,得,
解得,或.∴抛物线的函数表达式为y=-(x-5)2或y=-2(x-1)2.
/
(第10题)
10.在平面直角坐标系中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,-2),B(3,4).
(1)求抛物线的函数表达式及对称轴.
(2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点,且点D的纵坐标为t,记抛物线在A,B两点之间的部分为图象G(包含A,B两点).若直线CD与图象G有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t的取值范围.
【答案】(1)把点A(0,-2),B(3,4)代入抛物线y=2x2+mx+n,得,解得.∴抛物线的函数表达式为y=2x2-4x-2,对称轴为直线x=1.
/
(第10题答图)
(2)如答图所示,作出抛物线在A,B两点之间的图象G.由题意得C(-3,-4),二次函数y=2x2-4x-2的最小值为-4,由函数图象得出点D纵坐标的最小值为-4.设直线BC的表达式为y=kx+b,将点B,C的坐标代入得,解得.∴直线BC的表达式y=
x.当x=1时,y=,∴t的取值范围是-4≤t≤.
/
11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1,0),B(0,-3),且对称轴为直线x=2,则这条抛物线的顶点坐标为(B).
A.(2,3) B.(2,1) C.(-2,1) D.(2,-1)
12.若一次函数y=x+m2与y=2x+4的图象交于x轴上同一点,则m的值为(D).
A.2B.±2C.D.±
13.若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点,且在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小,则所求二次函数的表达式为(D).
A.y=-x2+2x-5B.y=ax2-2ax+a-3(a>0)
C.y=-2x2-4x-5D.y=ax2-2ax+a-3(a<0)
14.如图所示,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1,0),(1,-2),该图象与x轴的另一个交点为点C,则AC长为 3 .
/(第14题) /(第16题)
15.已知二次函数的图象经过原点及点(-2,-2),且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4,那么该二次函数的表达式为 y=x2+2x或y=-x2+x.
16.如图所示,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,AB⊥BC,且点C在x轴上.若抛物线y=ax2+bx+c以点C为顶点,且经过点B,则这条抛物线的函数表达式为y=x2-2x+2.
/
(第17题)
17.如图所示,Rt△AOB的直角边OA在x轴上,OA=2,AB=1,将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD,抛物线y=-x2+bx+c经过B,D两点.
(1)求二次函数的表达式.
(2)连结BD,点P是抛物线上一点,直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分,求点P的坐标.
【答案】(1)∵Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD,∴CD=AB=1,OC=OA=2.
则点B(2,1),D(-1,2),代入y=-x2+bx+c,得,解得.
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+.
/
(第17题答图)
(2)如答图所示,∵OA=2,AB=1,∴B(2,1).∵直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分,且OB=OD,∴DQ=BQ,即点Q为BD的中点,D(-1,2).∴点Q坐标为(,).设直线OP的表达式为y=kx,将点Q坐标代入,得k=,解得k=3.∴直线OP的表达式为y=3x.由得,.∴点P的坐标为(1,3)或(-4,-12).
//
(第18题)
18.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,6),C(2,2)两点.
(1)试求抛物线的函数表达式.
(2)记抛物线的顶点为D,求△BCD的面积.
(3)若直线y=-x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B,C)部分有两个交点,求b的取值范围.
【答案】(1)由题意,解得.∴抛物线的函数表达式为y=x2-x+2.
(2)如答图所示,∵y=x2-x+2= (x-1)2+.∴顶点D的坐标为(1,),对称轴为直线x=1.设直线BC的函数表达式为y=kx+b.将B(-2,6),C(2,2)代入,得,解得.∴直线BC的函数表达式为y=-x+4,∴对称轴与BC的交点H(1,3).∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=××3+××1=3.
(3)由消去y得x2-x+4-2b=0,当Δ=0时,直线与抛物线相切,1-4(4-2b)=0,解得b=.当直线y=-x+b经过点C时,b=3,当直线y=-x+b经过点B时,b=5.∵直线y=-x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B,C)部分有两个交点,∴<b≤3.
/
/
(第19题)
19.【贵港】将如图所示的抛物线向右平移1个单位,再向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数表达式为(A).
A.y=(x-1)2+1B.y=(x+1)2+1C.y=2(x-1)2+1D.y=2(x+1)2+1
20.【广州】已知抛物线y1=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A(-1,5),点A与y1的顶点B的距离是4.
(1)求y1的函数表达式.
(2)若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的函数表达式.
【答案】(1)∵抛物线y1=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A(-1,5),点A与y1的顶点B的距离是4.∴B(-1,1)或(-1,9).∴-=-1,=1或9,
解得m=-2,n=0或8.∴y1=-x2-2x或y1=-x2-2x+8.
(2)①当y1=-x2-2x时,抛物线与x轴的交点是(0,0)和(-2,0).∵y1的对称轴与y2交于点A(-1,5),∴y1与y2都经过x轴上的同一点(-2,0).把(-1,5),(-2,0)代入得,解得
.∴y2=5x+10.②当y1=-x2-2x+8时,令-x2-2x+8=0,解得x=-4或2.∵y2随着x的增大而增大,且过点A(-1,5),∴y1与y2都经过x轴上的同一点(-4,0).把(-1,5),(-4,0)代入得,解得.∴y2=x+.综上可得y2=5x+10或y2=x+.
/
21.如图所示,直线y=-x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点B,C和点A(-1,0).
(1)求B,C两点的坐标.
(2)求该二次函数的表达式.
(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
(4)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时点E的坐标.
/(第21题) /图1 /图2
(第21题答图)
【答案】(1)令x=0,可得y=2;令y=0,可得x=4,∴B,C两点的坐标分别为B(4,0),C(0,2).
(2)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点A,B,C的坐标代入表达式得,解得.∴该二次函数的表达式为y=-x2+x+2.
(3)存在.∵y=-x2+x+2=- (x-)2+,∴抛物线的对称轴是直线x=.∴OD=.∵C(0,2),∴OC=2.在Rt△OCD中,由勾股定理得CD=.∵△PCD是以CD为腰的等腰三角形,∴CP1=DP2=DP3=CD.如答图1所示,作CH⊥对称轴直线x=于点H,∴HP1=HD=2,∴DP1=4.∴P1(,4),P2(,),P3(,-).
(4)如答图2所示,过点C作CM⊥EF于点M,设E(a,-a+2),F(a,-a2+a+2),∴EF=-a2+a+2-(-a+2)=-a2+2a(0≤a≤4).∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD·OC+EF·CM+EF·BN=+a(-a2+2a)+(4-a)(-a2+2a)=-a2+4a+=-(a-2)2+,∴当a=2时,四边形CDBF的面积最大,最大面积为,此时点E坐标为(2,1).

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