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北师大版九年级上思维特训(四)有答案:与四边形有关的变换问题-(数学)
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:试题、练习
上传日期:2018/10/11  
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思维特训(四) 与四边形有关的变换问题
/
轴对称、平移和旋转是图形的三种基本变换,这些变换往往与特殊的平行四边形相结合,解决相关问题,需要注意图形变换的特征与特殊平行四边形性质的综合应用,还要注意特殊三角形的性质、勾股定理及全等三角形相关知识的渗透.
/
类型一 与轴对称相关的问题
1.如图4-S-1,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F,G,H分别在矩形ABCD各边上,且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为(  )
A.5 B.10 C.10 D.15
/
图4-S-1
   
2.如图4-S-2所示,在矩形ABCD中,∠DAC=65°,E是CD上一点,BE交AC于点F,将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C′处,则∠AFC′=________.
/
图4-S-2
3.如图4-S-3,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=x,现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E,F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原.
(1)当x=0时,折痕EF的长为________;当点E与点A重合时,折痕EF的长为________.
(2)请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围,并求出当x=2时菱形的边长.
/
图4-S-3



类型二 与平移相关的问题
4.已知:如图4-S-4,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,P为正方形AD边上的一点(不与点A,D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在点P处,点C落在点G处,PG交DC于点H,折痕为EF,连接BP,BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论.
/
图4-S-4





5.如图4-S-5,将△ABC沿着射线BC方向平移至△A′B′C′,使点A′落在∠ACB的外角平分线CD上,连接AA′.
(1)判断四边形ACC′A′的形状,并说明理由;
(2)在△ABC中,∠B=90°,AB=24,=,求CB′的长.
/
图4-S-5





6.如图4-S-6①,BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,AD=1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置,使B′为BD的中点,连接AB′,C′D,AD′,BC′,如图②.
(1)求证:四边形AB′C′D是菱形;
(2)四边形ABC′D′的周长为________;
(3)将四边形ABC′D′沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形,直接写出所有可能拼成的矩形的周长.
/
图4-S-6





类型三 与旋转相关的问题
7.如图4-S-7,将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG,点E在AD上,延长ED交FG于点H.
(1)求证:△EDC≌△HFE.
(2)连接BE,CH.
①四边形BEHC是怎样的特殊四边形?证明你的结论;
②当AB与BC的比值为________时,四边形BEHC为菱形.
/
图4-S-7






8.问题情境:
两张矩形纸片ABCD和CEFG完全相同,且AB=CE,AD>AB.
操作发现:
(1)如图4-S-8①,点D在GC上,连接AC,CF,EG,AG,则AC和CF有何数量关系和位置关系?并说明理由.
实践探究:
(2)如图②,将图①中的纸片CEFG以点C为旋转中心逆时针旋转,当点D落在GE上时停止旋转,则AG和GF在同一条直线上吗?并说明理由.
/
图4-S-8

详解详析
1.B [解析]如图,作点E关于BC的对称点E′,连接E′G交BC于点F.过点G作GG′⊥AB于点G′.∵AE=CG,BE=BE′,∴E′G′=AB=10.
∵GG′=AD=5,∴E′G==5.
∴四边形EFGH周长的最小值=2E′G=10.故选B.
/
2.40° [解析]∵在矩形ABCD中,∠DAC=65°,∴∠ACD=90°-∠DAC=90°-65°=25°.
∵将△BCE沿BE折叠,点C恰好落在AB边上的点C′处,∴四边形BCEC′是正方形,
∴∠BEC=45°.
由三角形外角的性质,得∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°,
由翻折的性质得∠BFC′=∠BFC=70°,
∴∠AFC′=180°-∠BFC-∠BFC′=180°-70°-70°=40°.
3.[解析] (1)当x=0时,点P与点A重合,则折痕EF为AD的中垂线,满足EF∥AB∥CD;当点E与点A重合时,折痕EF为∠DAB的平分线,从而构造出等腰直角三角形,利用勾股定理求出EF的长.(2)要探究四边形EPFD为菱形,必须始终满足对角线互相平分且DP⊥EF,同时对角线DP≥,故AP≥1,从而确定AP的取值范围;当x=2时构造出Rt△ADE,借助勾股定理列出方程解出x的值.
解:(1)当x=0时,折痕EF∥AB∥CD,
∴EF=AB=3;
当点E与点A重合时,折痕EF为等腰直角三角形DEF的斜边,则EF的长为.
故填:3,
(2)要使四边形EPFD为菱形,必须始终满足对角线互相平分且DP⊥EF,同时对角线DP≥,则AP≥1,故AP的取值范围为1≤x≤3.
当x=2时,如图,连接DE,PF.∵EF为折痕,∴DE=PE,设PE=m,则AE=2-m.在Rt△ADE中,AD2+AE2=DE2,
即1+(2-m)2=m2,解得m=,故此时菱形的边长为.
/
4.解:(1)证明:由折叠知PE=BE,
∴∠EBP=∠EPB.
∵∠EPH=∠EBC=90°,∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP,即∠BPH=∠PBC.
∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC,
∴∠APB=∠BPH.
(2)△PDH的周长不变,为定值8.
证明:如图,过点B作BQ⊥PH,垂足为Q.
由(1)知∠APB=∠BPH.
在△ABP和△QBP中,
∠APB=∠BPH,∠A=∠BQP,BP=BP,
∴△ABP≌△QBP(AAS),
∴AP=QP,AB=BQ.
又∵AB=BC,∴BC=BQ.
又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH,
∴Rt△BCH≌Rt△BQH(HL),∴CH=QH.
∴△PDH的周长为PD+DH+PH=AP+PD+DH+CH=AD+CD=8.
/
5.解:(1)四边形ACC′A′是菱形.理由如下:由平移的性质得到AC∥A′C′,且AC=A′C′,
则四边形ACC′A′是平行四边形,
∴∠ACC′=∠AA′C′.
∵CD平分∠ACB的外角,即CD平分∠ACC′,∴CD也平分∠AA′C′,
∴四边形ACC′A′是菱形.
(2)∵在△ABC中,∠B=90°,AB=24,=,即=,∴AC=26.
由勾股定理知BC==10.
又由(1)知,四边形ACC′A′是菱形,
∴AA′=AC=26.
由平移的性质得到AB∥A′B′,AB=A′B′,则四边形ABB′A′是平行四边形,
∴BB′=AA′=26,∴CB′=BB′-BC=26-10=16.
6.解:(1)证明:∵BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,∴∠ADB=60°.
由平移可得B′C′=BC=AD,∠D′B′C′=∠DBC=∠ADB=60°,∴AD∥B′C′,∴四边形AB′C′D是平行四边形.
∵B′为BD的中点,
∴在Rt△ABD中,AB′=BD=DB′.
∵∠ADB=60°,∴△ADB′是等边三角形,
∴AD=AB′,∴四边形AB′C′D是菱形.
(2)由平移可得AB=C′D′,∠ABD′=∠C′D′B=30°,∴AB∥C′D′,∴四边形ABC′D′是平行四边形.又由(1)可得AC′⊥B′D,∴四边形ABC′D′是菱形.
∵AB=AD=,
∴四边形ABC′D′的周长为4.
故答案为4 .
(3)将四边形ABC′D′沿它的两条对角线剪开,用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下:
/
∴矩形的周长为6+或2+3.
7.解:(1)证明:∵矩形FECG是由矩形ABCD旋转得到的,∴EF=AB=CD,∠F=∠EDC=90°,FH∥EC,
∴∠FHE=∠CED.
在△EDC和△HFE中,
∠EDC=∠F,∠CED=∠FHE,CD=EF,
∴△EDC≌△HFE.
(2)①四边形BEHC为平行四边形.
证明:∵△EDC≌△HFE,∴EC=EH.
∵矩形FECG是由矩形ABCD旋转得到的,∴EH=EC=BC,EH∥BC,∴四边形BEHC为平行四边形.
②如图,连接BE,CH.
/
∵四边形BEHC为菱形,
∴BE=BC.
由旋转的性质可知BC=EC,
∴BE=EC=BC,∴△EBC为等边三角形,
∴∠EBC=60°,∴∠ABE=30°,
∴AB∶BE=∶2.
又∵BE=BC,∴AB与BC的比值为.
8.解:(1)AC=CF,AC⊥CF.理由如下:
∵矩形纸片ABCD和CEFG完全相同,且AB=CE,
∴BC=EF,∠B=∠CEF=90°.
在△ABC和△CEF中,
AB=CE,∠B=∠CEF,BC=EF,
∴△ABC≌△CEF(SAS),
∴AC=CF,∠ACB=∠CFE.
∵在Rt△CEF中,∠CFE+∠ECF=90°,
∴∠ACB+∠ECF=90°,
∴∠ACF=∠BCD+∠ECG-(∠ACB+∠ECF)=90°+90°-90°=90°,
∴AC⊥CF.
(2)AG和GF在同一条直线上.理由如下:
∵矩形纸片ABCD和CEFG完全相同,且AB=CE,
∴AD=GC,∠ADC=∠GCE=90°,CD=CE,
∴△ACD≌△GEC(SAS),∠CDE=∠DEC,
∴∠ACD=∠GEC,AC=GE,∴∠ACD=∠CDE,∴GE∥AC,
∴四边形ACEG是平行四边形,∴AG∥CE.
又∵在矩形CEFG中,GF∥CE,∴AG和GF在同一条直线上.(过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行)
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