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北师大版九年级下册数学《第2章二次函数》单元检测试卷有答案
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2018/12/5  
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九年级下册(北师大版)数学单元检测试卷:第2章 二次函数
一.选择题(共10小题)
1.抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3的交点的个数是(  )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.对于抛物线y=﹣2(x+1)2+3,下列结论:
①抛物线的开口向下;
②对称轴为直线x=1:
③顶点坐标为(﹣1,3);
④x>1时,y随x的增大而减小.
其中正确结论的个数为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知二次函数y=x2﹣x+a(a>0),当自变量x取m时,其相应的函数值小于0,则下列结论正确的是(  )
A.x取m﹣1时的函数值小于0
B.x取m﹣1时的函数值大于0
C.x取m﹣1时的函数值等于0
D.x取m﹣1时函数值与0的大小关系不确定
4.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点(  )
A.(﹣3,﹣6) B.(﹣3,0) C.(﹣3,﹣5) D.(﹣3,﹣1)
5.如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,P为此抛物线对称轴l上任意一点,则△APC的周长的最小值是(  )

A.2 B.3 C.5 D. +
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③m为任意实数,则a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2.其中正确的有(  )

A.①②③ B.②④ C.②⑤ D.②③⑤
7.下列各点中,抛物线y=x2﹣4x﹣4经过的点是(  )
A.(0,4) B.(1,﹣7) C.(﹣1,﹣1) D.(2,8)
8.将函数y=kx2与y=kx+k的图象画在同一个直角坐标系中,可能的是(  )
A. B.
C. D.
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①2a+b=0;②abc<0;③b2﹣4ac>0;④8a+c>0.其中正确的有(  )

A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①ac>0;②a﹣b+c<0;③当x<0时,y<0;④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于﹣1的实数根.其中正确的结论有(  )

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
 
二.填空题(共6小题)
11.已知二次函数y=3(x﹣1)2+k的图象上三点A(2,y1),B(3,y2),C(﹣4,y3),则y1、y2、y3的大小关系是   .
12.若A(﹣,y1)、B(﹣,y2)、C(3,y3)为二次函数y=﹣x2﹣4x+5的图象上的三点,则y1、y2、y3的大小关系是   (用“<”连接).
13.函数y=﹣3(x+2)2的开口   ,对称轴是   ,顶点坐标为   .
14.已知抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b,在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下,函数有最大值m,则m的最小值是   
15.如图,已知抛物线和x轴交于两点A、B,和y轴交于点C,已知A、B两点的横坐标分别为﹣1,4,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,则此抛物线顶点的坐标为   .

16.对于二次函数y=5x2+bx+c,甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法,甲:图象对称轴是x=1;乙:函数最小值为3;丙:当x=﹣1时,y=0;丁:点(2,8)在函数图象上.其中有且仅有一个说法是错误的,则哪位同学的说法是错误的   .
 
三.解答题(共9小题)
17.一个二次函数图象上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…

y
…
﹣
0

2

0
m
﹣6
﹣
…

(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求m的值;
(3)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;
(4)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围.

18.某商场销售一种商品,进价为每个20元,规定每个商品售价不低于进价,且不高于60元,经调查发现,每天的销售量y(个)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系,其部分数据如下所示:
每个商品的售价x(元)
…
30
40
50
…

每天的销售量y(个)

100
80
60
…

(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商场每天获得的总利润为w(元),求w与x之间的函数表达式;
(3)不考虑其他因素,当商品的售价为多少元时,商场每天获得的总利润最大,最大利润是多少?
19.如图,在直角坐标系中,0是坐标原点,直线AB交x轴于点A(﹣4,0),交y轴于点B,抛物线y=ax2+2ax+3(a≠0)经过A,B两点.P是线段AO上的一动点,过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C,交抛物线于点D.
(1)求a及AB的长.
(2)连结PB,若tan∠ABP=,求点P的坐标.
(3)连结BD,以BD为边作正方形BDEF,是否存在点P使点E恰好落在抛物线的对称轴上?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)连结OC,若S△BDC:S△OBC=1:2,将线段BD绕点D按顺时针方向旋转,得到DB′.则在旋转的过程中,当点A,B到直线DB′的距离和最大时,请直接写出点B′的坐标.

20.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).

(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<4).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.
21.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴相交于(0,﹣),顶点为P.
(1)求抛物线解析式;
(2)在抛物线是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积?若存在,求出符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F的坐标,并求出平行四边形的面积.

22.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.
①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积;
②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.
23.建立适当的坐标系,运用函数知识解决下面的问题:
如图,是某条河上的一座抛物线形拱桥,拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时,水面宽AB为6米,一场大雨过后,河水上涨,水面宽度变为CD,且CD=2米,此时水位上升了多少米?

24.如图,点P为抛物线y=x2上一动点.
(1)若抛物线y=x2是由抛物线y=(x+2)2﹣1通过图象平移得到的,请写出平移的过程;
(2)若直线l经过y轴上一点N,且平行于x轴,点N的坐标为(0,﹣1),过点P作PM⊥l于M.
①问题探究:如图一,在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立?若存在,求出点F的坐标:若不存在,请说明理由.
②问题解决:如图二,若点Q的坐标为(1,5),求QP+PF的最小值.


 

参考答案与试题解析
 
一.选择题(共10小题)
1.【解答】解:由,消去y得到:2x2+x﹣4=0,
∵△=1﹣(﹣32)=33>0,
∴抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3有两个交点,
故选:C.
2.【解答】解:①∵a=﹣2<0,
∴抛物线的开口向下,正确;
②对称轴为直线x=﹣1,故本小题错误;
③顶点坐标为(﹣1,3),正确;
④∵x>﹣1时,y随x的增大而减小,
∴x>1时,y随x的增大而减小一定正确;
综上所述,结论正确的个数是①③④共3个.
故选:C.
3.【解答】解:由题意,函数的图象为:

∵抛物线的对称轴x=,设抛物线与x轴交于点A、B.
∴AB<1,
∵x取m时,其相应的函数值小于0,
∴观察图象可知,x=m﹣1在点A的左侧,x=m﹣1时,y>0,
故选:B.
4.【解答】解:∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,
∴该定弦抛物线过点(0,0)、(2,0),
∴该抛物线解析式为y=x(x﹣2)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1.
将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到新抛物线的解析式为y=(x﹣1+2)2﹣1﹣3=(x+1)2﹣4.
当x=﹣3时,y=(x+1)2﹣4=0,
∴得到的新抛物线过点(﹣3,0).
故选:B.
5.【解答】解:作点C关于直线l的对称点C′,连接AC′交直线l于P,连接PC,
则△APC的周长的最小,
由抛物线的对称性可知,点C′在抛物线上,
当x=0时,y=2,
∴点C的坐标为(0,2),
∴点C′的纵坐标为2,
2=﹣x2+x+2,
解得,x1=0,x2=3,
则点C′的横坐标为3,
﹣x2+x+2=0,
x1=﹣1,x2=4,
则点A的坐标为(﹣1,0),
∴AC′==2,AC==,
∴△APC的周长的最小值是3,
故选:B.

6.【解答】解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1,[来源:]
∴b=﹣2a>0,即2a+b=0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以①错误;
∵抛物线对称轴为直线x=1,
∴函数的最大值为a+b+c,
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm,所以③错误;
∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧,而对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在(﹣1,0)的右侧
∴当x=﹣1时,y<0,
∴a﹣b+c<0,所以④错误;
∵ax12+bx1=ax22+bx2,
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0,
∴a(x1+x2)(x1﹣x2)+b(x1﹣x2)=0,
∴(x1﹣x2)[a(x1+x2)+b]=0,
而x1≠x2,
∴a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=﹣,
∵b=﹣2a,
∴x1+x2=2,所以⑤正确.
综上所述,正确的有②⑤.
故选:C.
7.【解答】解:当x=0时,y=x2﹣4x﹣4=﹣4;当x=1时,y=x2﹣4x﹣4=﹣7;当x=﹣1时,y=x2﹣4x﹣4=1;当x=2时,y=x2﹣4x﹣4=﹣8,
所以点(1,﹣7)在抛物线y=x2﹣4x﹣4上.
故选:B.
8.【解答】解:当k>0时,
函数y=kx2的图象是开口向上,顶点在原点的抛物线,y=kx+k的图象经过第一、二、三象限,是一条直线,故选项A、B均错误,
当k<0时,
函数y=kx2的图象是开口向下,顶点在原点的抛物线,y=kx+k的图象经过第二、三、四象限,是一条直线,故选项C正确,选项D错误,
故选:C.
9.【解答】解:A.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;
③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;
④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.
故选项A正确;
B.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;
②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;
③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;
④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.
故选项B错误;
C.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;
②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;
③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;
④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.
故选项C错误;
D.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;
②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;
③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;
④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.
故选项D错误.
故选:A.
10.【解答】解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴ac<0,所以①错误;
∵x=﹣1时,y<0,
∴a﹣b+c<0,所以②正确;
当x<0时,y有时大于0,有时等于0,有时小于0,
∴③错误;
∵抛物线与x轴的两个交点都在点(﹣1,0)的右边,
∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于﹣1的实数根,所以④正确.
故选:D.
 
二.填空题(共6小题)
11.【解答】解:∵y=3(x﹣1)2+k,
∴图象的开口向上,对称轴是直线x=1,
A(﹣4,y3)关于直线x=﹣2的对称点是(6,y3),
∵2<3<6,
∴y1<y2<y3,
故答案为y1<y2<y3.
12.【解答】解:抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2,抛物线开口向下,
当B(﹣,y2)到直线x=﹣2的距离最小,点C(3,y3)到直线x=﹣2的距离最大,
所以y3<y1<y2.
故答案为y3<y1<y2.
13.【解答】解:函数y=﹣3(x+2)2的开口向下,对称轴是直线x=﹣2,顶点坐标是(﹣2,0),
故答案为:向下,直线x=﹣2,(﹣2,0).
14.【解答】解:∵抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b,
∴开口向下,对称轴为x=
当﹣1≤≤2,则﹣2≤b≤4,函数最大值m为≥1
当 ≤﹣1,则b≤﹣2,
当x=﹣1时,函数最大值m为﹣1﹣b+2﹣b=1﹣2b≥5
当≥2,则b≥4
当x=2时,函数最大值m为﹣4+2b+2﹣b=b﹣2≥2
∴m的最小值为1
故答案为1
15.【解答】解:∵A、B两点的横坐标分别为﹣1,4,
∴OA=1,OB=4,
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°,
∵CO⊥AB,
∴∠ABC+∠BCO=90°,
∴∠CAB=∠BCO,
又∵∠AOC=∠BOC=90°,
∴△AOC∽△COB,
∴=,
即=,
解得OC=2,
∴点C的坐标为(0,2),
∵A、B两点的横坐标分别为﹣1,4,
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣4),
把点C的坐标代入得,a(0+1)(0﹣4)=2,
解得a=﹣,
∴y=﹣(x+1)(x﹣4)=﹣(x2﹣3x﹣4)=﹣(x﹣)2+,
∴此抛物线顶点的坐标为(,).
故答案为:(,).

16.【解答】解:若甲乙对,则抛物线的解析式为y=5(x﹣1)2+3,
当x=﹣1时,y=23,此时丙错误;
当x=2时,y=8,此时丁正确.
而其中有且仅有一个说法是错误的,
所以只有丙错误.
故答案为丙.
 
三.解答题(共9小题)
17.【解答】解:(1)由图表可知抛物线的顶点坐标为(﹣1,2),
所以,设这个二次函数的表达式为y=a(x+1)2+2,
∵图象过点(1,0),
∴a(1+1)2+2=0,
∴a=﹣,
∴这个二次函数的表达式为y=﹣(x+1)2+2;

(2)x=2时,m=﹣(2+1)2+2=﹣;

(3)函数图象如图所示;

(4)y<0时,x<﹣3或x>1.

18.【解答】解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b,
则,
解得,
即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+160;
(2)由题意可得,w=(x﹣20)(﹣2x+160)=﹣2x2+200x﹣3200,
即w与x之间的函数表达式是w=﹣2x2+200x﹣3200;
(3)∵w=﹣2x2+200x﹣3200=﹣2(x﹣50)2+1800,20≤x≤60,
∴当20≤x≤50时,w随x的增大而增大;
当50≤x≤60时,w随x的增大而减小;
当x=50时,w取得最大值,此时w=1800元
即当商品的售价为50元时,商场每天获得的总利润最大,最大利润是1800.
19.【解答】解:(1)把点A(﹣4,0代入抛物线y=ax2+2ax+3方程解得:a=﹣,
二次函数的表达式为:y=﹣x2﹣x+3,则B坐标为(0,3),
∵OA=4,OB=3,由勾股定理得:AB=5,
则二次函数表达式为:y=﹣x2﹣x+3,对称轴为x=﹣1,
答:a=﹣,AB的长为5;

(2)如上图,连接BP,作AH⊥PH于H,
在Rt△ABH中,AB=5,tan∠ABP=,可得:AH=,BH=2,
设:点P的坐标为(x,0),
在Rt△APH中,AP=﹣x,AH=,PH=BH﹣BP=2﹣,
由勾股定理得:(﹣x)2=5+[2﹣]2,
解得:x=10﹣14,
答:点P的坐标(10﹣14,0);

(3)如上图所示,正方形DBFE的E点在抛物线的对称轴上,
从E点作EN⊥PD,作DH⊥y轴,则Rt△BHD≌Rt△END(AAS),
∴NH=BH,
设P点坐标为(a,0),则D、E点的坐标分别为(a,﹣a2﹣a+3)、(﹣1,y),
BH=3﹣(﹣a2﹣a+3)=HN=﹣1﹣a,
解得:x=﹣(舍去),x=﹣4,
答:E恰好落在抛物线的对称轴上情况存在,点P的坐标为(﹣4,0);

(4)当BD旋转到如图DB′的位置时,点A,B到直线DB′的距离和最大,此时AB⊥B′D,
过点B′向PD和x轴作垂线,即BN⊥DP,BM⊥x轴,
由A、B两点坐标可得AB的直线方程为:y=x+3,则tan∠BAO=,
设P点坐标为(m,0),则C(m, m+3),
∵△BDC和△OBC是等高不等底的两个三角形,而1:2若S△BDC:S△OBC=1:2,
∴CD=OB=,则D点y坐标=C点y坐标+=m+,即:D(m, m+),
把点D的坐标(m, m+)代入二次函数方程y=﹣x2﹣x+3,解得:m=﹣2,
把m值代入,即D点坐标为:D(﹣2,3),P(﹣2,0),
∵B(0,3)则BD∥x轴,∴BD⊥DC,
∵BD⊥DC,AB⊥B′D,
∴∠BDP=∠BAO=∠BAO,∴tan∠B′DP=tan∠BAO=,
在Rt△B′MD中,B′D=BD=2,tan∠B′DP=,则:B′M=,DM=,
则:B′的横坐标为=xP﹣B′M=﹣2+=﹣,B′的纵坐标为=yD﹣DM=3﹣=;
答:当点A,B到直线DB′的距离和最大时点B′的坐标为(﹣,).
20.【解答】解:(1)∵直线l:y=x+m经过点B(0,﹣1),
∴m=﹣1,
∴直线l的解析式为y=x﹣1,
∵直线l:y=x﹣1经过点C(4,n),
∴n=×4﹣1=2,
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,﹣1),
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1;

(2)令y=0,则x﹣1=0,
解得x=,
∴点A的坐标为(,0),
∴OA=,
在Rt△OAB中,OB=1,
∴AB===,
∵DE∥y轴,
∴∠ABO=∠DEF,
在矩形DFEG中,EF=DE?cos∠DEF=DE?=DE,
DF=DE?sin∠DEF=DE?=DE,
∴p=2(DF+EF)=2(+)DE=DE,
∵点D的横坐标为t(0<t<4),
∴D(t, t2﹣t﹣1),E(t, t﹣1),
∴DE=(t﹣1)﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+2t,
∴p=×(﹣t2+2t)=﹣t2+t,
∵p=﹣(t﹣2)2+,且﹣<0,
∴当t=2时,p有最大值;


(3)∵
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