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2019年中考数学复习讲义:专题(一)有理数与数轴的数形结合
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2019/1/30  
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专题一 有理数与数轴的数形结合
要点归纳
1.像2,,0.25,π,30%等这样大于零的数叫做________;像-20,-,-0.25,-30%等这样在正数前面加上负“-”的数叫做________.
2.用正、负数可以表示具有相反意义的量,若一个相反意义的量中一个“意义”规定用“+”表示,则另一个“意义”必定用“_______”表示.
3.有理数按性质可分为_______、_______、______;整数和_______统称为有理数.
4.我们把规定了_______、_______、______的直线叫数轴,这条直线上的任意数轴一个点表示一个数,原点左边的数都是______数,原点右边的数都是______数,在实际问题中,一个单位长度可表示一定的数量,如1米,1千米,400千克等.
5.数轴上的点与有理数之间的关系:所有的______都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点不都表示有理数.

典例讲解
经典再现
一、正、负数的识别及应用
例1 下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?
+0.007,-200,,-,0.666…,-9,20.5,0,-
【思路点拨】由正、负数的定义进行判断.
解:整数:+0.007,,0.666…,20.5;负数:-200,-,-9,-.
【方法规律】正数前面可以加“+”号,也可以不加“+”号;负数前面的“-”号不可以省略.判断一个数是不是负数,要看它是不是在正数的前面加“-”号,而不是看它是不是带有“-”号,特别注意 ,“-a”不一定是负数,如-(-5)数不是负数.
例2 课桌的高度比标准高度高2cm记作+2cm,那么比标准高度低3cm记作什么?现有5  张课桌,小明测量了它们的高度,记录如下:+1cm,0cm,-1cm,+3cm,-1.5cm.若规定课桌的高度与标准高度相差最多不能超过2cm,问上述5张课桌有几张合格?
  【思路点拨】具有相反意义的量可以分别用“+”、“-”数来表示,与标准高相差2cm,是指可以高2cm,也可以低2cm.
  解:比标准高度低3cm记作-3cm,这5张课桌中,合格的有:比标准高度:+1cm、0cm、-1cm、-1.5cm,共4张.
  【方法规律】如果超过标准高度记为“+”,那么不是(或低于)标准高度记为“-”,在判断几张桌子合格的问题中,我们不管超过还是低于标准高度,不看数前面的“+”、“-”号,只看符号后面数是否小于或等于0.

二、有理数的相关概念
(1)整数:正整数、0、负整数的统称;(2)分数:正分数、负分数的统称;
(3)有理数:整数和分数的统称;(4)有理数包括有限小数和无限循环小数.
例3 下列说法中,正确的是( )
A.正有理数和负有理数统称为有理数 B.正整数和负整数统称为整数
C.整数和分数统称为有理数 D.非正整数就是指零、负整数和所有分数
  【思路点拨】A选项中,有理数应包括正有理数、0和负有理数;B选项中也漏掉了0;D选项中,非正整数是指负整数和0.
  解:C

三、有理数的分类
例4 把下列各数填在相应的横线上.
-25,3.14,48,-,-0.40,0,+,-3.5,1,
(1)
(2)
【思路点拨】此题考察有理数的两种分类方式,注意0是整数.
  解:(1)
  (2)
   【方法规律】对有理数进行分类时,必须按照同一标准,不能将两种分类方式混在一起,小数(有限小数、无限循环小数)都是分数.
例5 下面四个结论中,正确的结论是( )
A.两个不同的整数之间必有一个正分数 B.两个不同的整数之间必有一个整数
C.两个不同的整数之间必有一个有理数 D.两个不同的整数之间必有一个负数
【思路点拨】对于A,如果是两个负整数,那么中间就没有正分数;对于B,如果是两个连续的整数,中间就再没有整数;对于D,如果两个整数是正整数,中间就没有负数;只有C,不论是怎样的两个不同的整数,中间必有有理数,如2和3中间有,-2,-3之间有-.
解:选C
【方法规律】如果一个说法(结论)不正确,可举反例说明.

四、数轴上的点和数
例6 指出下面数轴上A、B、C、D、O各点分别表示什么数?

  【思路点拨】数的性质A点、B点在原点的左侧,表示的是负数;C点、D点在原点的右侧,表示的数是整数,0点在原点;其次,还要确定每个点到原点的距离.
  解:点A表示-5,点B表示-1,点C表示2,点D表示5,点O表示0.
  【方法规律】本题一个单位长度表示2,而不是1,容易看错,确定数轴上的点表示的数,一定性质,二定距离.
例7 数轴上表示到3的点的距离是5的点表示的数是__________.
  【思维点拨】数轴上与表示3的点相距5个单位长度的点有两个,一个表示3的点的右侧且相距5个单位长度,另一个表示3的点的左侧且相距5个单位长度.
   解:8或-2
  【方法规律】距离是一个长度,在数轴上表示与某个点的距离为a(a>0)的点时,用分类讨论思想时要考虑在这个点左侧且距此点a个单位长度有一个点;在这个点右侧且距此点a个单位长度也有一个点.

五、画数轴
画数轴时,一定要体现出数轴的三要素:原点、正方向、单位长度,画数轴的步骤可归纳为:一画、二定、三选、四统一、五标数,即画直线、定原点、选取正方向,统一单位长度,确定要表示的数的对应点的位置.
例8 如图,数轴上有A、B、C、D、E、F六个点,每两个相邻的点的距离相等,那么下列说法中错误的是( )
A.表示原点的数在C、D之间 B.有三个点表示的数是负数
C.这六个数中没有表示整数的点 D.C点与原点最接近

【思维点拨】A点到F点的距离是,且相邻的点之间的距离相等,所以每两个相邻点间距离为÷5=,原点在C、D之间,>,因此原点靠近D点,A、B、C三点表示的数是负数,B点表示的数是分数.
解:D

拓展研究
一、正、负数应用
在一些实际生产和生活的问题中,并没有出现常见的意义相反的量,而是把其中某一个量规定为“0”这个量作为正、负数的界限,解决问题时,要按题目的要求正确理解整数、负数所代表的实际的量的真正意义,把实际的量进行转化.
例1 图中这个游戏叫做(井底之蛙),一个人或几个人玩,每人投一次骰子(可以是一粒或二粒),按点数井底之蛙开始往上爬,爬到哪一格,就按那一格的数字再往上升或往下降,只有升到井上或回到井底,才轮到第二个人.例如,投得3,往上爬三格,得“+1”,再升一格,又得“-4”,降四格回到井底,于是轮到第二个人投骰子.
现在轮到你投骰子,请你简要分析一下,如果你投到哪些数,就可以把青蛙送到井上,不再坐井观天.
【思路点拨】读懂题意,将每个数按题意上升或下降这些格,看是否送到井上,是否仍回井底.
解:投到8~12时,可以把青蛙送到井上;投到1~7时,青蛙回到井底.
【方法规律】理解正、负数的意义是解题的关键.


二、有理数分类中0的位置
0既不是正数也不是负数,它是正数与负数的分界,是唯一的中性数.
例2 下列说法正确的有( )
①一个有理数不是正数就是分数; ②一个有理数不是正数就是负数;
③一个整数不是正数就是负数; ④一个分数不是正数就是负数.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【思路点拨】一个有理数可能是正数、负数或0,整数也包括零,其中①④是正确的.
解:B
【方法规律】在有关有理数概念的考察中,0最容易被忽视,要防止“一个有理数非正即负”和“一个整数非正即负”的错误出现.
三、利用正、负数探究数字的排列规律
例3 观察下列依次排列的两列数,它们的排列有什么规律?你能说出这两列数的第48个数,第101个数,第2015个数分别是什么吗?
(1)-1,,-3,,-5,,-7,,…;
(2),0,-,0,,0,-,0,….
【思路点拨】(1)这列数从数的性质看正、负交替出现,再考虑分子、分母的变化规律;(2)这列数是0、交替出现,再考虑性质符号的变化规律.
解:(1)这列数的排列规律是:对于第n个数,n为奇数时,此数是-n,n为偶数时,此数是,因此,第48个数为,第101个数为-101,第2015个数为-2015.
(2)这列数的排列规律是:,0,-,0,…,从前往后奇数位上数是或-,偶数位上是0,位数除4余1的是,位数除4余3的是-,所以,第48个数是0,第101个数是,第2015个数是-.
【方法规律】从数的性质和除性质外的数的大小两方面寻找规律.

四、有理数分类中小数的划分
例4 下列各数中,哪些是有理数,哪些不是有理数?
,-,-,0.121121112…,0.676767…,π,-π,0.4.
【思路点拨】,-是分数,-,0.676767…是循环小数,可以化为分数,0.4是有限小数,也可以化为分数,所以都是有理数.0.121121112…,π,-π都是无限不循环小数,不能化为分数,所以不是有理数.
解:有理数:,-,-,0.676767…,0.4;
不是有理数:0.121121112…,π,-π.
【方法规律】小数有三类:有限小数,无限循环小数和无限不循环小数,其中有限小数与无限小数都可以化为分数,故都是有理数,无限不循环小数不是有理数,分数可化为有限小数或无限循环小数.

五、数轴上的数形结合
例5 如图,数轴上有A、B、C三个点,请回答下列问题:
(1)将B点在数轴上移动3个单位长度后,所表示的数是什么?
(2)怎样在数轴上移点C,使移动后的C点(不与B点重合)与A点的距离等于B点与A点的距离?此时C点表示的数是什么?

【思维点拨】(1)B点在数轴的移动可向正方向,也可向负方向,有两个结果;(2)A、B两点间的距离是2,C点向左移动,可在A点左边,也可在A点右边距离为2,但A点右边距离为2的点与B点重合,应排除.
解:(1)-5或1
(2)将C点向左移动9个单位长度,此时C点表示的数是-6.
【方法规律】到数轴上某点的距离为a(a>0)的点有两个,在该点左、右两边各有一个点.
六、数轴的实际应用
利用数轴解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型,确定好原点、正方向和单位长度,将实际问题在数轴上表示出来,再根据要求求解.
例5 某人从A地向东走10米到达B地,然后向西走4米到达C地,又向东走7米到达D地,问此人现在在A地的哪个方向?距A地多远?

【思路点拨】本题可借助数轴来解决,按照此人行走的方向和距离找出他三次行走后的位置.
解:设A地是原点,向东为正方向,以1米为一个单位长度,由图可知D在A地的正东方向,距A地13米.
【方法规律】本题运用数形结合思想解决问题,根据已知条件画出一条数轴,在数轴上讲三次运动过程表示出来,便能顺利解决问题.

实战演练
A 链接中考
1.孔子出生于公元前551年,如果用-551表示,那么下列中国历史文化名人的出生年代表示为:①司马迁出生于公元前145年:__________;②李白出生于公元701年:_______.
2.林艳在东西向的路上,先向东走30米,又向西走30米,她一共走了______米,她最后的位置是在_________.
3.已知在数轴上有A、B两点,点A、B之间的距离为1,点A与原点的距离为3,那么点B表示的数是__________.
4.数轴上的点A、B位置如图所示,则线段AB的长度为_______.

5.点A为数轴上距原点距离4个单位长度的点,A点表示的数是_______.
6.下列各组量具有相反意义的是( )
A.收入3000元与增加5000元 B.向东走5km与向南走3.5km
C.温度上升12℃与水位下降 D.七(5)班在比赛中胜3场与负3场
7.下列说法中正确的有( )
①小数都是有理数;②存在最小的自然数;③-0.001是分数,也是有理数
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8.如图,数轴上的点A表示的数可能是( )

A.2.4 B.-2.4 C.-1.6 D.-1.4
9.点A在数轴上表示-2的点所在的位置,当点A沿数轴移动5个单位长度到达点B时,点B表示的有理数是( )
A.3 B.-7 C.3或-7 D.无法确定

B 冲刺中考
10.下列说法中,正确的个数有( )
①0℃表示没有温度; ②0是最小的整数; ③0是偶数,也是自然数; ④不带负号的数都是整数; ⑤带负号的数不一定是负数
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
11.下列说法中错误的是( )
A.正整数一定是自然数 B.自然数一定是正整数
C.一个有理数不是整数就是分数 D.任何有理数都可以表示为分数
12.下列说法正确的是( )
A.规定了原点、正方向的直线是数轴 B.数轴上原点及原点右边的点表示的数是非正数
C.有理数如在数轴上无法表示 D.任何一个有理数都可以在数轴上找到
13. 一次月考中,新欣所在班级平均分为95分,把高出平均分的部分记作正数,新欣105分,记为____, 兰慧记-12分,她实际得分为 分.
14.下列四个判断中,错误的是( )
A.存在着最小的自然数 B.存在最小的正有理数
C.不存在最大的正有理数 D.不存在最大的负有理数
15. -a 一定是( )
A.正数 B.负数 C.正数或负数 D.正数或零或负数
16.下列说法错误的是( )
A.数轴上原点右边的点表示的数是正数 B.数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数
C.所有的有理数都可以用数轴上的点表示 D.数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的数是3
17.已知数轴上的点A到原点的距离为2个单位长度,那么数轴上到点A的距离是3个单位长度的点所表示的数是( )
A.5 B.±5 C.±1 D.±1或±5
18.若b为正数,利用“<“号连接a,a-b,a+b为____.
19.写出5个数(不能重复),同时满足下列三个条件:
①其中三个数是非正数;②其中三个数非负数;③五个数都是有理数,这五个数可以是

20.数轴上点A表示3,点B表示-4.5,点C表示-2,则点A和点B中,距离点C较远的点是___ _.
21.点A在数轴上距原点3个单位长度,且位于原点的右侧,若将点A向左移动4个单位长度,此时点A所表示的数是____,若点B表示的数是点A开始时所表示的数的相反数,作同样的移动以后,点B所表示的数是____.
22.点A、B、C、D、E在数轴上的位置如图所示,其中,B、C、E分别为相邻整数点的中点,请回答下列问题:

(1)点A、B、C、D、E各表示什么数?
(2)点A、B之间的距离是多少?点B、E之间的距离是多少?
(3)现在把数轴的原点取在点C处,其余都不变,那么点A、B、C、D、E又分别表示什么数?



23.观察下列各数
,…
(1)写出第10个数;
(2)写出第2015个数.






24.检修组乘汽车,沿公路检修线路,约定向东为正,向西为负,某天自A地出发,到收工时,行走记录为(单位:千米):+8,-9,+4,+7,-2,-10,+18,-3,+7,+5
(1)收工时在A地的哪边?距A地多少千米?
(2)若每千米耗油0.4升,问从A地出发到收工时,共耗油多少升?






25.如图,数轴上A、B两点对应的有理数都是整数,若A、B对应的有理数a、b满足b- 2a=5,那么请指出数轴上原点的位置.



C决战中考
26.将…按一定规律排列如下:
第1行 1
第2行
第3行
第4行
第5行
则第20行从左到右第10个数是 .






27.在数轴任取一条长度为2015个单位长度的线段,则此线段在数轴上最多能盖住的整数点个数为 ( )
A. 2016 B.2015 C.2014 D.2013
28.小明家、学校、邮局、图书馆坐标落在一条东西走向的大街上,依次记为A、B、C、D,学校位于小明家西150米,邮局位于小明家东100米,图书馆位于小明家西400米.
(1)用数轴表示A、B、C、D的位置(建议以小明家为原点);
(2)一天,小明从家里先去邮局寄信后,以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟,试问这时小明约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?






29.如图,一条笔直的流水线上,依次有5个卡通人,它们站立的位置在数轴上依次用点M1、M2、M3、M4、M5表示.

(1)点M2和M5所表示的有理数是什么?
(2)点M1和M4之间的距离为多少?
(3)怎样将点M3移动,使它先到达M2,再到达M5,请说明;
(4)若原点是一休息游乐所,那么5个卡通人到游乐所休息的总路程为多少?

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