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2019年中考数学复习讲义:专题(四)有理数乘除法
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2019/1/30  
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专题四 有理数乘除法
要点归纳
有理数乘法:(1)两个数相乘,同号得正,异号得____,并把绝对值______;(2)任何数与0相乘,都是_______.
倒数:乘积是1的两个数互为_______,_____没有倒数,可表示为:若ab=1,则a与b互为倒数.
有理数乘法运算律:(1)乘法交换律:即________;(2)乘法结合律:即_______________;(3)分配律:即a(b+c)=_________.
有理数除法:(1)除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的_____;(2)两数相除,同号得______,异号得____,并把绝对值______;(3)0除以任何一个不等于0的数,都得_____.

典例再现
一、有理数乘法法则
有理数乘法的步骤:先看是否有0因数,只要有一个因数为0,积就为0,在没有0因数的情况下,先确定积的符号,再把绝对值之积的绝对值.任何与1相乘都等于这个数本身,任何数与-1相乘都等于它的相反数.
例1 计算
(1) (-6)×(+5); (2) ; (3) (4)
【思路点拨】(1)异号两数相乘,积为负;(2)同号两数相乘,积为正;(3)异号得负;(4)有0因数的式子结果为0.
解:(1) ;(2) ;
(3) ;(4)
【方法规律】有理数乘法法规中“同号得正,异号得负”是针对“两数相乘”而言的,不能与加法法则相混淆;当因数中有负号时,必须用括号将负因数括起来,第一个因数有负号可省略括号,如可写成,但不能写成.
例2 计算:(1) ; (2)
【思路点拨】非零因数相乘,首先根据负数的个数决定积的符号,把各因式相乘,0作因数连乘,积为0.
解:(1)
(2) .
【方法规律】一般情况下,算乘法时带分数化成假分数.
二、倒数
若a是非零有理数,则a的倒数是 ,即 A. b互为倒数.
A. b互为倒数.
例3.求下列各数的倒数:
⑴-5;⑵-;⑶-2;⑷1.5
【思路点拨】根据定义,要求a(a为非零数)的倒数,只要求即可.
解:⑴因为=-,所以-5的倒数是-;
⑵因为=-,所以-的倒数是-;
⑶因为=-,所以-2的倒数是-;
⑷因为1.5=,且=,所以1.5的倒数是.
【方法规律】求一个整数的倒数,直接写成a分之一即可;求一个真分数的倒数,把这个数的分子、分母交换位置即可;求一个带分数的倒数,先将带分数化成假分数,然后再交换分子、分母的位置;求一个小数的倒数,先把小数化成分数后再求其倒数.
三、有理数乘法的运算律
运用乘法分配律时,若括号前面为“-”号,去括号后,各项都要变号.
例4.计算:
⑴(-172)×(-0.25)×(-)×40
⑵(-8)×1×(-5)×(-)×(-0.125);
⑶-24×(1-1+2-1).
【思路点拨】⑴、⑵利用乘法的交换律的乘法的结合律计算;⑶利用乘法的分配律可使计算简便.
解:⑴原式=-(172×0.25××40)=-(172×)×(0.25×40)=-2×10=-20;
⑵原式=+(0.125××8××5)=(0.125×8)×(×)×5=5;
⑶原式=(-24)×1+(-24)×(-1)+(-24)×2+(-24)×(-1)=-28+36-54+26=-20.
【方法规律】运用乘法交换律时,要连同因数的符号一起交换位置;多个有理数相乘时,通常运用交换律、结合律把能约分或互为倒数的有理数先结合,使计算简便.
四、有理数的除法法则
有理数的除法法则:①除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即a÷b=a×(b≠0);②两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数,都得0.即:(ⅰ)当ab>0时,则a÷b=;(ⅱ)当ab<0时,a÷b=-;(ⅲ)0÷a=0(a≠0).
例5.计算:⑴(-48)÷(-6);⑵(-6)÷(+);⑶(-1)÷(-2);⑷0÷(-3.14);⑸1÷(-2.5);⑹(-3.14)÷1.
【思路点拨】⑴运用法则②,同号得正,先定符号,再算绝对值;⑵运用法则①,除号变乘号,除数变为它的倒数;⑶带分数化为假分数再相除;⑷0除以任何一个不为0的数都等于0;⑸小数化为分数再相除;⑹任何数除以1都等于它本身.
解:⑴(-48)÷(-6)=8; ⑵(-6)÷(+)=-6×(+4)=-24;
⑶(-1)÷(-2)=-×(-)=; ⑷0÷(-3.14)=0;
⑸1÷(-2.5)=1÷(-)=1×(-)=-; ⑹(-3.14)÷1=-3.14.
【方法规律】有理数除法的法则有两个,应注意灵活运用,一般在不能整除的情况下用法则①,在能整除的情况下用法则②;0不能作除数,0作除数无意义.
五、有理数乘除法的混合运算
有理数的除法可以化为乘法,因此有理数乘除混合运算可以统一成乘法运算,可以按如下步骤:①将所有除法转化为其倒数,所有的除法转化为乘法;②确定积的符号;③运用乘法运算律简化运算,并求出最后结果.
例6.计算:⑴(-15)÷(-3)×(+);⑵(-2)÷(-1)÷;⑶8÷(-)×÷(-);
⑷(-1)÷(×);⑸1×(-)÷(-2)÷(-)×0.
【思路点拨】⑴可以按从左向右的顺序计算;⑵可将除法转化为乘法再计算;⑶除法转化为乘法后,约分比较简便;⑷可先算括号里的;⑸在乘除的同级运算中,若算式中有0,则结果为0.
解:⑴(-15)÷(-3)×(+)=5×(+)=2;
⑵(-2)÷(-1)÷=-×(-)×2=4;
⑶8÷(-)×÷(-)=8×(-)××(-)=4
⑷(-1)÷(×)=-÷=-×=-2;
⑸1×(-)÷(-2)÷(-)×0=0
【方法规律】同级运算,从左向右,除法变乘法,方便运算.
拓展探究
一、带分数乘整数的技巧
有时带分数乘整数,可把被乘数拆成“整数+分数”或“整数-分数”,再用它们分别乘后面的整数,再把积相加或相减.
例1计算:9×(-15).
【思路点拨】如果把带分数化成假分数直接相乘很麻烦,根据题目的特点,可以把“9”拆成两项,然后用乘法分配律计算.
解:方法一:9×(-15)=-(9+)×15=-(9×15+×15)=-135-=-149;
方法二:9×(-15)=(10-)×(-15)=10×(-15)-×(-15)=-150+=-149.
【方法规律】相比较,方法二比方法一更简便,做这种乘法时,要注意:①巧妙拆项,运用乘法分配律;②不能漏乘;③要注意各数的符号.
二、乘法分配律的正用、逆用
乘法分配律正用:a(b+c)=ab+ac;逆用:ab+ac=a(b+c).
例2.计算:
⑴-3.14×35.2+6.28×(-23.3)-1.57×36.4;
⑵12×(+)-13×-17×.
⑶(-11)×+(+5)×-(-137)×(-)+(+113)×.
【思路点拨】⑴可找每部分中的相同乘数3.14提取,二、三部分的6.28、1.57可构造出3.14;⑵前面部分可正用分配律,后两部分可逆用分配律;⑶可提取公因数,其余的因数相加减时,可用加法的交换律、结合律,使计算简便.
解:⑴原式=-3.14×35.2-3.14×46.6-3.14×18.2=-3.14×(35.2+46.6+18.2)=-3.14×100=-314;
⑵原式=12×+12×-×(13+17)=4+3-15=-8;
⑶原式=×{[(-11+5]+[(+113)+(-137)]}=×{-6+(-4)}=×(-10)=-2.
【方法规律】在去括号时,要注意:①括号外面的因数是正数,去括号后式子的各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同;②括号外的因数是负数,去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反,添括号时与去括号的方法相同.
三、倒数的整体应用
例3.已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,求a-5cd+b的值.
【思路点拨】相反数之和等于0,即a+b=0;倒数之积为1,即cd=1.
解:由题意可知a+b=0,cd=1,所以a-5cd+b=(a+b)-5cd=0-5=-5.
【方法规律】本题用整体代入法可以使计算简便.
四、有理数除法与绝对值
形如求式子+值时,可按下面两种方法分类:⑴①a>0,b>0;②a>0,b<0;③a<0,b>0;④a<0,b<0;⑵a、b中两个正,一个正、0个正(即两个负).其中,方法⑵更简单.
例4⑴若三个有理数x,y,z,满足xyz>0,求式子++的值.
⑵已知ab<0,试求++的值.
【思路点拨】由xyz>0,根据所求式子的特点,不妨设x、y、z中有“一正两负”和“全正”两种情形;⑵由ab<0和所求式子的特点,不妨设a>0,b<0即可求解.
解:⑴因为xyz>0,所以x、y、z中负数有0个或2个.
当x、y、z三个数全正时,原式=++=3;
当x、y、z三个数中“一正两负”时,不妨设x>0,y<0,z<0,
原式=++=-1;所以,++=3或-1.
⑵因为ab<0,不妨设a>0,b<0,原式=++=-1.
【方法规律】本题的分数讨论中若对x、y、z的性质分别考虑,分的情形特别多而很多的答案又是重复的,因此,全面考虑负数或正数的个数比较简便,当一个式子的值与a>0、b<0与a<0、b>0无区别时,通常不妨设出其中一种情形而忽略另一种情形.
例5若+=0,则下列结论成立的是( )
A.x=0或y=0 B.x、y同号 C.x、y异号 D.x、y为任意有理数
【思路点拨】因为两数之和为0,所以与互为相反数.当x>0时,=1,此时=-1,则y<0;当x<0时,=-1,此时=1,则y>0,因为x与y作分母,所以x、y均不能为0,所以x、y异号.
解:C
【方法规律】若a>0,则=1;若a<0,则=-1,反过来也是成立的.
五、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算中,若没有括号,则先算乘除,再算加减,若有括号,按照先算括号里的,再算乘除,然后算加减的顺序计算.
例6.计算:⑴-3.5×(-0.5)×÷(-);⑵÷(-)+(1-0.2÷)×(-6).
【思路点拨】⑴先算括号里的,再把除法转化成乘法,作连乘计算;⑵先算括号里的,再算乘、除法,然后算加法.
解:⑴原式=-×(-)×÷(-)=-×(-)××(-4)=-×(-)××(-4)=-×××4=-2.
⑵原式=×(-4)+(1-×)×(-6)=-2+×(-6)=-6.
【方法规律】同级运算要按从左至右的顺序进行运算.
六、正确使用运算律,简化计算
在加减乘除混合运算中,合理运用运算律可简化运算.
例7.计算:⑴(-)÷(+--);⑵-÷[-(-)-];
⑶[(-)-(-)+]÷(-).
【思路点拨】⑴、⑵不能用乘法分配律,但是,我们可以先算(+--)÷(-)、[-(-)-]÷(-),再把结果倒过来;也可直接计算;⑶把除法转化为乘法,再用乘法分配律可使计算简化.
解:⑴原式=-÷(+--)=-÷=-×=-(此种解法不够简便);
⑵先算[-(-)-]÷(-)=×(-108)+×(-108)-×(-108)=--9+=-12.
所以,原式=-.
⑶原式=×105-×105+×(-105)=21-35-15=-29.
【方法规律】利用倒数法,先交换除数和被除数的位置,再用分配律计算,然后求其倒数,这种方法可以解决不能直接用分配律计算的问题.
七、新定义运算题
例8.a、b均为有理数,如果规定一种新的运算“⊕”;a⊕b=a2-ab+a-1,求(1⊕3)⊕(-3)的值.
【思路点拨】先算出1⊕3,再用它的结果与(-3)作新运算.
解:(1⊕3)⊕(-3)=(12-1×3+1-1)⊕(-3)=(-2)⊕(-3)=(-2)2-(-2)×(-3)+(-2)-1=4-6-3=-5.
【方法规律】理解新定义是解题的关键.
实战演练
A链接中考
1.若ab>0,则的值是( )
A.大于0 B.小于0 C.大于或等于0 D.小于或等于0
2.下列说法正确的是( )
A.两个有理数的和为正数,则这两个数中必有一个为正数
B.两个有理数的差为负数,则被减数为负数
C.两个有理数的积一定大于其中一个因数
D.两个有理数相除的商大于1,则被除数大于除数
3.下列各式,表示a,b互为倒数的是( )
A.a+b=1 B.a+b=0 C.ab=1 D.ab=0
4.如果a·=-1,那么a与b( )
A.互为相反数 B.a=b C.互为倒数 D.互为负倒数
5.(-0.125)×15×(-8)×(-)=[(-0.125)×(-8)]×[15×(-)],运算中没有运用的运算律是( )
A.乘法交换律 B.乘法结合律 C.分配律 D.乘法交换律和结合律
6.下列运算过程有错误的个数是( )
①(3-4)×2=3-4×2;②-4×(-7)×(-125)=-(4×125×7);③9×15=(10-)×15=150-;④[3×(-25)]×(-2)=3×[(-25)×(-2)]=3×50.
A.1 B.2 C.3 D.4
7.下列运算中,正确的是( )
A.2÷(-)×(-)=2×(-)×(-) B.(-1)÷(-5)×(-)=(-1)÷1
C.(-5)÷(-1)=(-5)÷-5÷(-1) D.-6÷25÷(-4)=-6÷[25×(-4)]
8.在算式□31中的□里,填入一个运算符号,使得算式的值最小,则这个符号是( )
A.+ B.- C.× D.÷
9.在算式每一步后面填上该步运用的运算律:

.
10.若两个数的商是2,被除数是-4,则除数是 .
11.化简:
12.被除数是,除数比被除数小,则商为 .
13.按下面程序计算,如果输入的数是-2,那么输出的数是 .

14.判断下列各式乘积的符号:
①;②;
③;④,其中积为正数的有 ,积为负数的有 (填序号);③的计算结果为 .
15.按下面的程序计算.,若输出的数y=3,则输入的数x= .

16.若a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值为2,则
B 冲刺中考
17.计算的结果是( )
A.-24 B.-12 C.-9 D.6
18.一个数值转换器如右图所示,根据要求回答问题:要使输出值y小于-100,输入的最大负整数x为 .

19.已知xy<0 ,则的值为( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
20.若,则( )
A. B.与a互为相反数 C.a <0 D.a的倒数为
21.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律,可知数2015坐标在( )

A.第504个正方形的左下角 B.第504个正方形的右下角
C.第504个正方形的左上角 D.第505个正方形的右下角
22.已知a,b,c都是负数,且,则xyz是( )
A.负数 B.非负效 C.正数 D.非正数
23.下列说法不正确的是( )
A.一个数与它的倒数之积是1 B.一个数与它的相反数的商为-1
C.两个数的商为-1,则这两个数互为相反数 D.两个数的积为1,则这两个数互为倒数
24.a,b互为相反数,下列结论中不一定正确的是( )
A. B. C. D.
25.已知,且xy<0,则的值为 .
26.对于有理数a,b(a十b≠0),定义运算“△”如下:a△b=,则2△3= ,-3△(-4) = ,
27.已知a,b,c是非零有理数,那么可能的值有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
28.计算:
; ;




; .




29.用简便方法计算



.





C 决战中考
30.对于任何有理数a、b定义运算“△”如下:如
求△4的值.







31.已知x,y,z都为不为0的有理数,求的最大值和最小值.



32.四个各不相等的整数a,b,c,d,它们的积abcd=25,求a+b+c+d的值.




33.观察图形,解答问题:

(1)按下表已填写的形式完成表中的空格:

(2)请用你发现的规律求出图④中的数S.
34.计算(能简算的要简算):





35.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值是

36.观察下列等式:,将以上三个等式两边分别相加得:

(1)猜想并写出:= ;
(2)直接写出下列各式的计算结果:
① ;
② ;
③当时,探究并计算
的值.






37.观察下列等式,并根据规律计算.




试计算:(1);
(2) ;
(3) .
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