三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项解析：专题03-导数的几何意义与运算_rar下载

专题3 导数的几何意义与运算
1.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）

年月日

年月日

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（）
A．升 B．升 C．升 D．升
2.【2014高考陕西版文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）
（A）（B）
（C）（D）
/
3.【2016高考四川文科】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )
(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)
4.【2017课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
5.【2017天津，文10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .
6.【2014高考广东卷.文.11】曲线在点处的切线方程为________.
7. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程式_____________________________.
9.【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则.
10.【2014，安徽文15】若直线与曲线满足下列两个条件：
直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线，
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线：
②直线在点处“切过”曲线：
③直线在点处“切过”曲线：
④直线在点处“切过”曲线：
⑤直线在点处“切过”曲线：
11.【2015高考天津，文11】已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为．
12.【2015新课标2文16】已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=．
13.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数.,
(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；
(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
14.【2017北京，文20】已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
15.【2016高考新课标2文数】已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
16.【2015高考山东，文20】设函数. 已知曲线在点处的切线与直线平行.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）是否存在自然数，使得方程在内存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数（表示，中的较小值），求的最大值.
17.【2014全国2，文21】（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，曲线与直线只有一个交点.
18.【2016高考北京文数】（本小题13分）
设函数
（I）求曲线在点处的切线方程；
（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.
19.【2014高考重庆文第19题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值.
20.【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数
（I）求的单调区间;
（II）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;
（III）若方程有两个正实数根且,求证:

“专题03_导数的几何意义与运算—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(有答案).docx”内容如下：

/
1.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）

年月日

年月日

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】B
/
【考点定位】平均变化率.
【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“每千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．
2.【2014高考陕西版文第10题】如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）
（A）（B）
（C）（D）
/
【答案】
【解析】
试题分析：由题目图像可知：该三次函数过原点，故可设该三次函数为，则，由题得：，，
即，解得，所以，故选.
考点：函数的解析式.
【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的性质，函数的解析式等知识，属于难题.解题时要认真理解题意，“一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连续（相切），已知环湖弯曲
路段为某三次函数图像的一部分”，确定函数为三次函数，然后由已知函数图像，将图像语言转化为数学语言，，，，从而确定出参数
3.【2016高考四川文科】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )
(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)
【答案】A
/，切线的方程为，即.分别令得又与的交点为，故选A.
考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点坐标，由两直线相交得出点坐标，从而求得面积，题中把面积用表示后，可得它的取值范围．解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论．这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．

4.【2017课标1，文14】曲线在点（1，2）处的切线方程为______________．
【答案】
/
【考点】导数几何意义
【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
5.【2017天津，文10】已知，设函数的图象在点（1，）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 .
【答案】
【解析】
试题分析：，切点为，，则切线的斜率为，切线方程为：，令得出，在轴的截距为.
【考点】导数的几何意义
【名师点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题型，函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．相应地，切线方程为．注意：求曲线切线时，要分清在点处的切线与过点的切线的不同,谨记，有切点直接带入切点，没切点设切点，建立方程组求切点.
6.【2014高考广东卷.文.11】曲线在点处的切线方程为________.
【答案】或.
【解析】,,故所求的切线的斜率为,
故所求的切线的方程为,即或.
【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题,属于中等题.
【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“在点处”，否则很容易出现错误．解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．
7. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程式_____________________________.
【答案】
/
考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．
8. 【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.
【答案】
【解析】，令，此时
函数在其极值点处的切线方程为
【考点定位】：导数的几何意义.
【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处导函数值等于切线斜率.
9.【2015高考新课标1，文14】已知函数的图像在点的处的切线过点，则.
【答案】1
/
考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；
【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.
10.【2014，安徽文15】若直线与曲线满足下列两个条件：
直线在点处与曲线相切；曲线在附近位于直线的两侧，则称直线在点处“切过”曲线，
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线：
②直线在点处“切过”曲线：
③直线在点处“切过”曲线：
④直线在点处“切过”曲线：
⑤直线在点处“切过”曲线：
【答案】①③④，
【解析】
试题分析：由题意，①上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；②上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的同侧，不满足条件；③上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；④上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的两侧，满足条件；⑤上在处的切线方程为，曲线在附近位于切线的同侧，不满足条件，故选①③④，如下图：
///
//
考点：1，函数的切线方程；2，对定义的理解，
【名师点睛】对于函数新定义的创新题，要紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.已知在点处的切线方程为.
11.【2015高考天津，文11】已知函数 ,其中a为实数,为的导函数,若 ,则a的值为．
【答案】3
/
【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.
【名师点睛】本题考查内容单一,求出由,再由可直接求得a的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.
12.【2015新课标2文16】已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=．
【答案】8
/
【考点定位】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.
【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的方法是：求出函数在该点处的导数值即为切线斜率,然后用点斜式就可写出切线方程.而直线与抛物线相切则可以通过判别式来解决,本题将导数的几何意义与二次函数交汇在一起进行考查,具有小题综合化的特点.
13.【2017山东，文20】（本小题满分13分）已知函数.,
(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；
(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【答案】(I),（2）(II)⑴无极值；⑵极大值为,极小值为；
⑶极大值为,极小值为.
【解析】
试题分析：(I)根据求出切线斜率,再用点斜式写出切线方程；(II)由,通过讨论确定单调性,再由单调性确定极值.
试题解析：（I）由题意，
所以，当时，，，
所以，
因此，曲线在点处的切线方程是，
即.
（II）因为，
所以，

令，
则，
所以在上单调递增，
因为，
所以，当时，；当时，.
/
所以，当时，取到极大值，极大值是，
当时，取到极小值，极小值是.
（2）当时，，
当时，，单调递增；
所以，在上单调递增，无极大值也无极小值.
（3）当时，，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
所以，当时，取到极大值，极大值是；
当时，取到极小值，极小值是.
综上所述：
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.
当时，函数在上单调递增，无极值；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.
【考点】导数的几何意义及导数的应用
【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．
14.【2017北京，文20】已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.
【解析】
/
试题解析：（Ⅰ）因为，所以.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）设，则.
当时，，
所以在区间上单调递减.
所以对任意有，即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.
15.【2016高考新课标2文数】已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
/
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，
所以曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
令，
则，
（i）当，时，，
故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得，
由和得，
故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
考点：导数的几何意义，函数的单调性.
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<
…………………………
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