三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项解析：专题19-立体几何中体积与表面积_rar下载

专题19 立体几何中体积与表面积
1.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A． B． C． D．
2.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为?，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
（A）/ （B）/ （C）?/ （D）?/ ?
3.【2016高考新课标1文数】平面/过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A/,/,/,则m,n所成角的正弦值为（）
（A）/（B）/（C）/（D）/
4.【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
5.【2015新课标2文10】已知/是球/的球面上两点,/,/为该球面上的动点.若三棱锥/体积的最大值为36,则球/的表面积为（）
A./ B. / C./ D. /
6. [2016高考新课标Ⅲ文数]在封闭的直三棱柱/内有一个体积为/的球，若/，
/，/，/，则/的最大值是（）
（A）4π （B）/ （C）6π （D）/
7.【2014全国2，文7】正三棱柱/的底面边长为/，侧棱长为/，/为/中点，则三棱锥/的体积为( )
（A）/（B）/（C）/（D）/
8.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）
（A）/斛（B）/斛（C）/斛（D）/斛
9.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
10.【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为
11.【2017江苏，6】如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 ▲ .
/
12【2015高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.
13.【2016高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.
/
14.【2017课标II，文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,
（1）证明：直线平面;
（2）若△面积为，求四棱锥的体积.
/
15.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
/
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
16.【2017北京，文18】如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．
/
（Ⅰ）求证：PA⊥BD；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．
17.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）如图,在已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.
（I）证明G是AB的中点；
（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．
/
18.【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥/中，平面/平面/，/为等边三角形，
/且/，/，/分别为/，/的中点．
（I）求证：/平面/；
（II）求证：平面/平面/；
（III）求三棱锥/的体积．
/
19.[2016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥/中，/平面/，/，/，/，/为线段/上一点，/，/为/的中点．
/
（I）证明/平面/；
（II）求四面体/的体积.
20.【2015高考陕西，文18】如图1，在直角梯形/中，//，/是/的中点，/是/与/的交点，将/沿/折起到图2中/的位置，得到四棱锥/.
(I)证明：/平面/；
(II)当平面/平面/时，四棱锥/的体积为/，求/的值.
//
21. 【2014全国2，文18】（本小题满分12分）
如图，四棱锥/中，底面/为矩形，/平面/，/是/的中点.
（Ⅰ）证明：///平面/；
（Ⅱ）设/，三棱锥/的体积/，求/到平面/的距离.
/
22.【2015高考新课标1，文18】（本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，/，
/
（I）证明：平面/平面/；
（II）若/，/三棱锥/的体积为/，求该三棱锥的侧面积.
23.【2015高考重庆，文20】如题（20）图，三棱锥P-ABC中，平面PAC/平面ABC，/ABC=/，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.
(Ⅰ)证明：AB/平面PFE.
(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.
/
24.【2015高考安徽，文19】如图，三棱锥P-ABC中，PA/平面ABC，/.
（Ⅰ）求三棱锥P-ABC的体积；
（Ⅱ）证明：在线段PC上存在点M，使得AC/BM，并求/的值.
/
25.【2015高考湖北，文20】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马/中，侧棱/底面/，且/，点/是/的中点，连接/.
（Ⅰ）证明：/平面/. 试判断四面体/是
否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马/的体积为/，四面体/的体积为/，求/的值．
26.【2015高考福建，文20】如图，/是圆/的直径，点/是圆/上异于/的点，/垂直于圆/所在的平面，且/．
（Ⅰ）若/为线段/的中点，求证/平面/；
（Ⅱ）求三棱锥/体积的最大值；
（Ⅲ）若/，点/在线段/上，求/的最小值．
/
27.(2014课标全国Ⅰ，文19)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.

(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．
28.【2015新课标2文19】（本小题满分12分）如图,长方体/中AB=16,BC=10,/,点E,F分别在/上,/过点E,F的平面/与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
/
（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（II）求平面/把该长方体分成的两部分体积的比值.

“专题19_立体几何中体积与表面积—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(有答案).docx”内容如下：

/
1.【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如果，画出圆柱的轴截面，
/
，所以，那么圆柱的体积是，故选B.
【考点】圆柱体积
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
2.【2015高考山东，文9】已知等腰直角三角形的直角边的长为?，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
（A）/ （B）/ （C）?/ （D）?/ ?
【答案】/
/
【考点定位】1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.
【名师点睛】本题考查了旋转体的几何特征及几何体的体积计算，解答本题的关键，是理解所得旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量.
本题属于基础题，在考查旋转体的几何特征及几何体的体积计算方法的同时，考查了考生的空间想象能力及运算能力，是“无图考图”的一道好题.
3.【2016高考新课标1文数】平面/过正文体ABCD—A1B1C1D1的顶点A/,/,/,则m,n所成角的正弦值为（）
（A）/（B）/（C）/（D）/
【答案】A
【解析】
/
考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.
/
【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.
4.【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .
【答案】
【解析】
试题分析：设正方体边长为，则，
外接球直径为.
【考点】球与几何体的组合体
【名师点睛】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单.
5.【2015新课标2文10】已知/是球/的球面上两点,/,/为该球面上的动点.若三棱锥/体积的最大值为36,则球/的表面积为（）
A./ B. / C./ D. /
【答案】C
【解析】
/
【考点定位】本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力.
【名师点睛】由于三棱锥/底面AOB面积为定值,故高最大时体积最大,本题就是利用此结论求球的半径,然后再求出球/的表面积,由于球与几何体的切接问题能很好的考查空间想象能力,使得这类问题一直是高考中的热点及难点,提醒考生要加强此方面的训练.
6. [2016高考新课标Ⅲ文数]在封闭的直三棱柱/内有一个体积为/的球，若/，/，/，/，则/的最大值是（）
（A）4π （B）/ （C）6π （D）/
【答案】B
【解析】
试题分析：要使球的体积/最大，必须球的半径/最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值/，此时球的体积为/，故选B．
考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．
【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．
7.【2014全国2，文7】正三棱柱/的底面边长为/，侧棱长为/，/为/中点，则三棱锥/的体积为( )
（A）/（B）/（C）/（D）/
/
【答案】C
/
【考点定位】棱柱、棱锥、棱台的体积
【名师点睛】本题考查几何体的体积的求法，属于中档题，求解几何体的底面面积与高是解题的关键，对于三棱锥的体积还可利用换底法与补形法进行处理．
8.【2015高考新课标1，文6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）
（A）/斛（B）/斛（C）/斛（D）/斛
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r，则/，所以/，所以米堆的体积为/=/，故堆放的米约为/÷1.62≈22，故选B.
【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式
【名师点睛】本题以《九章算术》中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是/圆锥，底面周长是两个底面半径与/圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的方程，解出底面半径，是基础题.
9.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
【答案】
/
因为平面平面
所以平面
设

所以，所以球的表面积为
【考点】三棱锥外接球
【名师点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．
10.【2017课标II，文15】长方体的长、宽、高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为
【答案】
【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以
【考点】球的表面积
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
11.【2017江苏，6】如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 ▲ .
/
【答案】
/
【考点】圆柱体积
【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
12【2015高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P－A1MN的体积是______.
【答案】/
【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的
等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为/
如图，因为AA1∥PN，故AA1∥面PMN，
故三棱锥P－A1MN与三棱锥P－AMN体积相等，
三棱锥P－AMN的底面积是三棱锥底面积的/，高为1
故三棱锥P－A1MN的体积为/
【考点定位】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图及空间线面关系、三棱柱与三棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、图形分割与转换的能力，考查基本运算能力.
【名师点睛】解决本题，首先要正确画出三棱柱的直观图，包括各个点的对应字母所在位置，结合条件，三棱锥P－A1MN的体积可以直接计算，但转换为三棱锥P－AMN的体积，使得计算更为简便，基本上可以根据条件直接得出结论.属于中档偏难题.
13.【2016高考浙江文数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.
/
【答案】80；40．
/
考点：三视图.
【方法点睛】解决由三视图求空间几何体的表面积与体积问题，一般是先根据三视图确定该几何体的结构特征，再准确利用几何体的表面积与体积公式计算该几何体的表面积与体积．
14.【2017课标II，文18】如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面 ,
（1）证明：直线平面;
（2）若△面积为，求四棱锥的体积.
/
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）4
3

【解析】
/
试题解析：（1）在平面ABCD内，因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD.又，，故BC∥平面PAD.
（2）取AD的中点M，连结PM，CM，由及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
/
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，因为，所以PM⊥CM.
设BC=x，则CM=x，CD=
2
，PM=
3
，PC=PD=2x.取CD的中点N，连结PN，则PN⊥CD，所以PN=

14

2

因为△PCD的面积为2
7
，所以

1
2
×
2
×

14

2
=2
7
，
解得x=-2（舍去），x=2，于是AB=BC=2，AD=4，PM=2
3
，
所以四棱锥P-ABCD的体积 =
1
3
×
2(2+4)
2
×2
3
=4
3
.
【考点】线面平行判定定理，面面垂直性质定理，锥体体积
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
15.【2017课标3，文19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
/
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
【答案】（1）详见解析；（2）1
/
试题解析：（1）证明：取中点，连
∵，为中点
…………………………
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