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2019年广西柳州市中考专题训练05:函数与几何图形的综合(有答案)-(数学)
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:试题、练习
上传日期:2019/3/15  
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专题训练(五) 
[函数与几何图形的综合]
1.[2017·济宁]已知函数y=mx2-(2m-5)x+m-2的图象与x轴有两个公共点.
(1)求m的取值范围,并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式;
(2)题(1)中求得的函数记为C1.
①当n≤x≤-1时,y的取值范围是1≤y≤-3n,求n的值;
②函数C2:y=m(x-h)2+k的图象由函数C1的图象平移得到,其顶点P落在以原点为圆心,半径为
5
的圆内或圆上.设函数C1的图象顶点为M,求点P与点M距离最大时函数C2的解析式.



2.[2017·攀枝花改编]如图ZT5-1,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,B点坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,3).
/
图ZT5-1
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在x轴下方的抛物线上,过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的最大值.
(3)点D为抛物线对称轴上一点.当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,求点D的坐标.


3.[2017·无锡]如图ZT5-2,以原点O为圆心,3为半径的圆与x轴分别交于A,B两点(点B在点A的右边),P是半径OB上一点,过点P且垂直于AB的直线与☉O分别交于C,/D两点(点C在点D的上方),直线AC,DB交于点E.若AC∶CE=1∶2.
/
图ZT5-2
(1)求点P的坐标;
(2)求过点A和点E,且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式.



4.[2018·柳北区三模]如图ZT5-3,抛物线y=a(x-2)2-1过点C(4,3),交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧).
/
图ZT5-3
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点M的坐标;
(2)连接OC,CM,求tan∠OCM的值;
(3)若点P在抛物线的对称轴上,连接BP,CP,BM,当∠CPB=∠PMB时,求点P的坐标.


5.[2018·柳北区4月模拟]如图ZT5-4①,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=
3
4
x+m与x轴,y轴分别交于点A和点B(0,-1),抛物线y=
1
2
x2+bx+c经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).
/
图ZT5-4
(1)求n的值和抛物线的解析式.
(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标/为t(0<t<4),DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图②).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式及p的最大值.
(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋/转90°后,得到△A1O1B1,点A,O,B的对应点分别是点A1,O1,B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.



6.[2017·重庆A卷]如图ZT5-5,在平面直角坐标系中,抛物线y=

3

3
x2-
2
3

3
x-
3
与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.
/
图ZT5-5
(1)求直线AE的解析式.
(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是线段CP上的一点,点N是线段CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值.
(3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=

3

3
x2-
2
3

3
x-
3
沿x轴正方向平移得到新抛物线y',y'经过点D,y'的顶点为点F.在新抛物线y'的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.



参考答案
1.解:(1)由题意可得:


≠0,
[-(2 -5)
]
2
-4 ( -2)>0.


解得:m<
25
12
,且m≠0.
当m=2时,函数解析式为y=2x2+x.
(2)①函数y=2x2+x图象开口向上,对称轴为直线x=-
1
4
,
∴当x<-
1
4
时/,y随x的增大而减小.
∵当n≤x≤-1/时,y的取值范围是1≤y≤-3n,
∴2n2+n=-3n.
/
∴n=-2或n=0(舍去).
∴n=-2.
②∵y=2x2+x=2/x+
1
4
/2-
1
8
,
∴函数C1的图象顶点M的坐标为/-
1
4
,-
1
8
/.
由图形可知当P为射线MO与圆的交点时,距离最大.
∵点P在直线OM上,由O(0,0),M/-
1
4
,-
1
8
/可求得直线的解析式为y=
1
2
x.
设P(a,b),则有a=2b/.
根据勾股定理可得PO2=(2b)2+b2=(
5
)2,解得b=1(负值已舍).
∴a=2.
∴PM最大时函数C2的解析式为y=2(x-2)2+1.
2.解:(1)由题意得


3
2
+3 + =0,
=3,

解得

=-4,
=3.


∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
(2)方法1(代数法):如图①,过点P作PG∥CF交CB于点G,
/
由题意知∠BCO=∠CFE=45°,F(0,m),C(0,3),
∴△CFE和△GPE均为等腰直角三角形,
∴EF=

2

2
CF=

2

2
(3-m),PE=

2

2
PG.
又易知直线BC的解析式为y=-x+3.
设xP=t(1<t<3),则PE=

2

2
PG=

2

2
(-t+3-t-m)=

2

2
(-m-2t+3).
又∵t2-4t+3=t+m,∴m=t2-5t+3.
∴PE+EF=

2

2
(3-m)+

2

2
(-m-2t+3)=

2

2
(-2t-2m+6)=-
2
(t+m-3)=-
2
(t2-4t)=-
2
(t-2)2+4
2
,
∴当t=2时,PE+EF取最大值4
2
.
方法2:(几何法)如图②,由题易知直线BC的解析式为y=-x+3,OC=OB=3,
/
∴∠OCB=45°.
同理可知∠OFE=45°,
∴△CEF为等腰直角三角形.
以BC为对称轴将△FCE对称得到△F'CE,作PH⊥CF'于点H
则PE+EF=PF'=
2
PH.
又PH=yC-yP=3-yP.
∴当yP最小时,PE+EF取最大值.
∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),
∴当yP=-1时,(PE+EF)max=
2
×(3+1)=4
2
.
(3)由(1)知对称轴为直线x=2,设D(2,n),如图③.
/
当△BCD是以BC为直角边的直角三角形,且D在BC上方D1位置时,
由勾股定理得C

1
2
+BC2=B

1
2
,
即(2-0)2+(n-3)2+(3
2
)2=(3-2)2+(0-n)2,解得n=5;
当△BCD是以BC为直角边的直角三角形,且D在BC下方D2位置时,
由勾股定理得B

2
2
+BC2=C

2
2
,
即(2-3)2+(n-0)2+(3
2
)2=(2-0)2+(n-3)2,解得n=-1.
∴当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时,D点坐标为(2,5)或(2,-1).
3.解:(1)过点E作EF⊥x轴于点F,
/
∵CD⊥AB,
∴CD∥EF,PC=PD.
∴△ACP∽△AEF,
△BPD∽△BFE.
∵AC∶CE=1∶2,
∴AC∶AE=1∶3.



=


=
1
3
,


=


=
1
3
.∴AF=3AP,BF=3PB.∵AF-BF=AB.
∴3AP-3PB=AB.
又∵☉O的半径为3,设P(m,0),
∴3(3+m)-3(3-m)=6,∴m=1.∴P(1,0).
(2)∵P(1,0),∴OP=1,∵A(-3,0).
∴OA=3,∴AP=4,BP=2.∴AF=12.
连接BC.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.
/
∵CD⊥AB,∴△ACP∽△CBP,



=


.
∴CP2=AP·BP=4×2=8.
∴CP=2
2
(负值已舍).∴EF=3CP=6
2
.
∴E(9,/6
2
).
∵抛物线的顶点在直线CD上,
∴CD是抛物线的对称轴,
∴抛物线过点(5,0).
设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c.
根据题意得

0=9 -3 + ,
0=25 +5 + ,
6
2
=81 +9 + ,


解得

=

2

8
,
=-

2

4
,
=-
15
2

8
,


∴抛物线的函数表达式为y=

2

8
x2-

2

4
x-
15
2/

8
.
4.解:(1)由抛物线y=a(x-2)2-1过点C(4,3),
得3=a(4-2)2-1,解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x-2)2-1,顶点M的坐标为(2,-1).
(2)如图,连接OM,
/
/∵OC2=32+42=25,OM2=22+12=5,CM2=22+42=20,
∴CM2+OM2=OC2,
∴∠OMC=90°.
OM=
5
,CM=2
5
,tan∠OCM=


=

5

2
5

=
1
2
.
(3)如图,过C作CN垂直于对称轴,垂足N在对称轴上,取一点E,使EN=CN=2,连接CE,EM=6.
/
当y=0时,(x-2)2-1=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0).
∵CN=EN,∴∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°,
∵∠EPB=∠EPC+∠CPB=∠PMB+∠PBM,
∴∠EPC=∠PBM,∴△CEP∽△PMB,



=


,易知MB=
2
,CE=2
2
,

6-

2

=
2
2


,解得PM=3±
5
,
/∴P点坐标为(2,2+
5
)或(2,2-
5
).
5.解:(1)∵直线l:y=
3
4
x+m经过点B(0,/-1),
∴m=-1,
∴直线l的解析式为y=
3
4
x-1.
∵直线l:y=
3
4
x-1经过点C(4,n),
∴n=
3
4
×4-1=2.
∵抛物线y=
1
2
x2+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,-1),



1
2
×
4
2
+4 + =2,
=-1,


解得

=-
5
4
,
=-1,


∴抛物线的解析式为y=
1
2
x2-
5
4
x-1.
(2)令y=0,则
3
4
x-1=0,
解得x=
4
3
,
∴点A的坐标为/
4
3
,0/,
∴OA=
4
3
.
在Rt△OAB中,OB=1,
∴AB=


2
+

2

=
(
4/
3
)
?
2
+
1
2

=
5
3
.
∵DE∥y轴,
∴∠ABO=∠DEF,
在矩形DFEG中,EF=DE·cos∠DEF=DE·


=
3
5
DE,
DF=DE·sin∠DEF=DE·


=
4
5
DE,
∴p=2(DF+EF)=2×/
4
5
+
3
5
/DE=
14
5
DE,
∵点D的横坐标为t(0<t<4),
∴D/t,
1
2
t2-
5
4
t-1/,E/t,
3
4
t-1/,
∴DE=/
3
4
t-1/-/
1
2
t2-
5
4
t-1/=-
1
2
t2+2t,
∴p=
14
5
×/-
1
2
t2+2t/=-
7
5
t2+
28
5
t,
∴p=-
7
5
(t-2)2+
28
5
,且-
7
5
<0,
∴当t=2时,p有最大值
28
5
.
(3)∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°,
∴A1O1∥y轴,B1O1∥x轴.设点A1的横坐标为x,
如图①,点O1,B1在抛物线上时,点O1的横坐标为x,点B1的横坐标为x+1,

1
2
x2-
5
4
x-1=
1
2
(x+1)2-
5
4
(x+1)-1,
解得x=
3
4
.
/
如图②,点A1,B1在抛物线上时,点B1的横坐标为x+1,点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大
4
3
,

1
2
x2-
5
4
x-1=
1
2
(x+1)2-
5
4
(x+1)-1+
4
3
,
解得x=-
7
12
.
综上所述,点A1的横坐标为
3
4
或-
7
12
.
6.解:(1)令y=0,得

3

3
x2-
2
3

3
x-
3
=0,
解得x1=-1,x2=/3,
∴点A(-1,0),B(3,0).
∵点E(4,n)在抛物线上,
∴n=

3

3
×42-
2
3

3
×4-
3
=
5
3

3
,
即点E
4,
5
3

3

,
设直线AE的解析式为y=kx+b,


- + =0,
4 + =
5
3

3


,解得

=

3

3
,
=

3

3
,


∴直线AE的解析式为y=

3

3
x+

3

3
.
(2)令y=

3

3
x2-
2
3

3
x-
3
中x=0,得y=-
3
,
∴C(0,-
3
).由(1)得点E
4,
5
3

3

,
∴直线CE的解析式为y=
2
3

3
x-
3
.
过点P作PH∥y轴,交CE于点H,如图①,
设点P/t,

3

3
t2-
2
3

3
t-
3
/,则H/t,
2
3

3
t-
3
/,
∴PH=
2
3

3
t-
3
-


3

3


2
-
2
3

3
-
3

=-

3

3
t2+
4
3

3
t,
∴S△PCE=S△PHC+S△PHE=
1
2
·PH·



-




=
1
2
×
-

3

3


2
+
4
3

3

×4
=-
2
3

3
t2+
8
3

3
t
=-
2
3

3
(t2-4t)
=-
2
3

3
(t-2)2+
8
3

3
.
∵-
2
3

3
<0,
∴当t=2时,S△PCE最大,此时点P(2,-
3
).
∵C(0,-
3
),
∴PC∥x轴.
∵B(3,0),K为BC的中点,
∴K/
3
2
,-

3

2
/.
/
如图②,作点K关于CP,CD的对称点K1,K2,连接K1K2,分别交CP,CD于点M,N.
此时KM+MN+NK最小,易知K1/
3
2
,-
3
3

2
/.
∵OC=
3
,OB=3,OD=1,
∴∠OCB=60°,∠OCD=30°,
∴CD平分∠OCB,
∴点K2在y轴上.
∵CK=OC=
3
,
∴点K2与原点O重合,
∴KM+MN+NK=K1M+MN+NO=OK1=



3
2


2
+

-
3
3

2


2

=3,
∴KM+MN+NK的最小值为3.
/
(3)存/在.如图③,点Q的坐标分别为Q1(3,2
3
),Q2/3,
-4
3
+2
21

3
/,Q3/3,-
2
3

5
/,
Q4/3,
-4
3
-2
21

3
/.
/
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