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2019年广西柳州市中考数学专题训练06:分类讨论思想(有答案)
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:试题、练习
上传日期:2019/3/15  
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专题训练(六)
[分类讨论思想]
1.[2017·聊城]如图ZT6-1是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上,如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是 (  )
/
图ZT6-1
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.[2017·义乌]如图ZT6-2,∠AOB=45°,点M,N在边OA上,OM=x,ON=x+4,点P是边OB上的点,若使P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有三个,则x的值是    .?
/
图ZT6-2
3.[2017·齐齐哈尔]如图ZT6-3,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC=10,BC=12,沿底边BC上的高AD剪成/两个三角形,用这两个三角形拼成平行四边形,则这个平行四边形较长的对角线的长是    .?
/
图ZT6-3
4.[2017·绥化]在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=
1
2
BC,则△ABC的顶角的度数为    .?
5.[2018·安徽]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为     .?
6.[2017·眉山]如图ZT6-4,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,已知A(3,0),且M/1,-
8
3
/是抛物线上一点.
/
图ZT6-4
(1)求a,b的值;
(2)连接AC,设点P是y轴上任一点,若以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,求P点的坐标;
(3)若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点(不与O,A重合),过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于点H.设ON=t,△ONH的面积为S,求S与t之间的函数关系式.



7.[2017·烟台]如图ZT6-5①,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,AB=4.矩形OBDC的边CD=1,延长DC交抛物线于点E.
/
图ZT6-5
(1)求抛物线的表达式.
(2)如图ZT6-5②,点P是直线EO上方抛物线上的一个动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PH⊥EO,垂足为H.设PH的长为l,点P的横坐标为m,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范围),并求出l的最大值.
(3)如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上是否存在点M,使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.


8.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.
/
图ZT6-6
(1)如图ZT6-6①,在△ABC中,CD为角平/分线,∠A=40°,∠B=60°,求证:CD为△ABC的完美分割线.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD为等腰三角形,求∠ACB的度数.
(3)如图②,△ABC中,AC=2,BC=
2
,CD是△ABC的完美分割线,且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.







参考答案
1.B [解析] 由图可知,矩形的长是宽的2倍,以点B为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有2个,以点A为直角顶点构成等腰直角三角形的点P有1个,∴满足条件的有3个.
2.0或4
2
-4或4<x<4
2

3.10或4
13
或2
73
 [解析] ∵AB=AC=10,BC=12,底边BC上的高是AD,
∴∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD=
1
2
BC=
1
2
×12=6,
∴AD=
1
0
2
-
6
2

=8.
∴用这两个三角形拼成平行四边形,可以分三种情况:
(1)按照如图所示的方法拼成平行四边形,
/
则这个平行四边形较长的对角线的长是10.
(2)按照如图所/示的方法拼成平行四边形,
/
则这个平行四边形较长的对角线的长是

8
2
+1
2
2

=4
13
.
(3)按照如图所示的方法拼成平行四边形,
/
则这个平行四边形较长的对角线的长是

6
2
+1
6
2

=2
73
.
综上所述,这个平行四边形较长的对角线的长是10或4
13
或2
73
.
4.30°或90°或150° [解析] 应分下列三种情况求顶角.(1)若角A是顶角,如图①,AD=
1
2
BC,则AD=BD,底角为45°,所以顶角为90°;(2)若角A不是顶角,当三角形是锐角三角形时,如图②,则在△ACD中,AD=
1
2
BC=
1
2
AC,所以顶角为30°;若三角形是钝角三角形,如图③,则∠ACD=30°,所以顶角为150°.故填30°或90°或150°.
/
5.3或
6
5
 [解析] 由题意知,点P在线段BD上.(1)如图所示,若PD=PA,则点P在AD的垂直平分线上,故点P为BD的中点,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=
1
2
DC=3;
/
(2)如图所示,
若DA=DP,则DP=8,在Rt△BCD中,BD=


2
+

2

=10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴


=


=
1
5
,∴PE=
1
5
CD=
6
5/
.
/
综上所述,PE的长为3或
6
5
.
6.解:(1)由题意,得

9 +3 -2=0,
+ -2=-
8
3
,


解得

=
2
3
,
=-
4
3
.


(2)由(1)得,抛物线的关系式为y=
2
3
x2-
4
3
x-2,当x=0时,y=-2,∴C(0,-2).
∵以P,A,C三点为顶点的三角形是等腰三角形,∴分三种情况:
/
①若AC=AP(如图①),
由AO⊥CP,得OP=OC=2,∴P1(0,2);
②若CA=CP(如图②),
∵AC=


2
+

2

=

3
2
+
2
2

=
13
,
∴P2(0,-2+
13
),P3(0,-2-
13
);
③若AP=PC(如图③),设点P的坐标为(0,m),则AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,∴(m+2)2=m2+32,解得m=
5
4
,
∴P4/0,
5
4
/.
综上所述,符合条件的点P有4个,坐标分别为P1(0,2),P2(0,-2+
13
),P3(0,-2-
13
),P4/0,
5
4
/.
(3)设抛物线的对称轴交x轴于点D,交AC于点E,
∵抛物线y=
2
3
x2-
4
3
x-2的对称轴为直线x=1,
∴D(1,0).
又∵tan∠OAC=


=
/

,


2
=
2
3
/,
∴DE=
4
3
.
∵NH∥AC,∴△DHN∽△DEA,



=


,即


4
3

=
| -1|
2
,
∴DH=
2
3
|t-1|.
/
分两种情况:
①当0<t<1时(如图④),S=
1
2
·t·
2
3
(1-t)=-
1
3
t2+
1
3
t;
②当1<t<3时(如图⑤),S=
1
2
·t·
2
3
(t-1)=
1
3
t2-
1
3
t.
综上所述,S与t之间的函数关系式为S=

-
1
3


2
+
1
3
(0< <1);

1
3


2
-
1
3
(1< <3).


7.解:(1)将x=0代入抛物线的解析式,得y=2.∴C(0,2).
∵四边形OBDC为矩形,
∴OB=CD=1.∴B(1,0).
又∵AB=4,∴A(-3,0).
设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1).
将点C的坐标代入得-3a=2,
解得a=-
2
3
,
∴抛物线的解析式为y=-
2
3
x2-
4
3
x+2.
(2)∵点E在CD上,∴yE=2.
将y=2代入抛物线的解析式,得-
2
3
x2-
4
3
x+/2=2,解得x/=0或x=-2.
∴E(-2,2).
∴EC=OC=2,∴∠CO/E=45°.
∵PG∥y轴,
∴∠PGH=∠COE=45°.
又∵PH⊥OE,
∴PH=

2

2
PG.
设直线OE的解析式为y=kx,将点E的坐标代入,得-2k=2,解得k=-1.
∴直线OE的解析式为y=-x.
设点P的坐标为/m,-
2
3
m2-
4
3
m+2/,则点G的坐标为(m,-m).
∴PG=-
2
3
m2-
4
3
m+2+m=-
2
3
m2-
1
3
m+2./
∴l=

2

2
×/-
2
3
m2-
1
3
m+2/=-

2

3
m2-

2

6
m+
2
=-

2

3
/m+
1
4
/2+
49
2

48
.
∴l的最大值为
49
2

48
.
(3)抛物线的对称轴为直线x=-

2
=-1.设点N的坐标为(-1,n),点M的坐标为(x,y).
①当AC为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知
-1+
2
=
0-3
2
,解得x=-2.
将x=-2代入抛物线的解析式得y=2.
∴M(-2,2).
②当AM为平行四边形的对角线时,依据线段的中点坐标公式可知
-3+
2
=
-1+0
2
,
解得x=2.
将x=2代入抛物线的解析式得y=-
2
3
×4-
4
3
×2+2=-
10
3
.
∴M/2,-
10
3
/.
③当AN为平行四边形的/对角线时,依据线段的中点坐标公式可知
0+
2
=
-1+(-3)
2
,解得x=-4.
将x=-4代入抛物线的解析式得y=-
10
3
.
∴M/-4,-
10
3
/.
综上所述,点M的坐标为(-2/,2)或/2,-
10
3
/或/-4,-
10
3
/.
8.解:(1)证明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,
∴△ABC不是等腰三角形,
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=
1
2
∠ACB=40°,
∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD为等腰三角形,
∵∠DCB=∠A=40°,∠CBD=∠ABC,
∴△BCD∽△BAC,
/
∴CD是△ABC的完美分割线.
(2)①当AD=CD时,如图①,∠ACD=∠A=48°,
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
②当AD=AC时,如图②,∠ACD=∠ADC=
180°-48°
2
=66°,
/
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.
③当AC=CD时,如图③,∠ADC=∠A=48°,
∵△BDC∽△BCA,
/
∴∠BCD=∠A=48°,
∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去.
∴∠ACB=96°或114°.
(3)由已知AC=AD=2,
∵△BCD∽△BAC,



=


,设BD=x,
∴(
2
)2=x(x+2),∵x>0,∴x=
3
-1,
∵△BCD∽△BAC,



=


=

3
-1

2

,∴CD=

3
-1

2

×2=
6
-
2
.
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