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山东肥城市2018-2019学年度初三上期中模拟数学试题(青岛版)
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:试题、练习
上传日期:2019/6/1  
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肥城市2018-2019学年度上学期期中考试初三数学试题
(青岛版数学九上第一章--第三章)
题号
一
二
三
总分

得分





说明:本试卷满分150分,第一卷80分,第二卷70分。
一、选择题(本大题共12小题,共48.0分)
下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则在网格图1中的三角形与△ABC相似的是(  ) A. B. C. D.
在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=
3
5
,BC=6,则AB=(  )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
如图2,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是(  )
A.


=


B.


=


C. ∠ =∠ D. ∠ =∠





图1 图2 图3


下列语句正确的个数是(  ) ①过平面上三点可以作一个圆; ②平分弦的直径垂直于弦; ③在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角相等; ④三角形的内心到三角形各边的距离相等.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图3,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连线DE,下列结论: ①


=
1
2
;②








=
1
2
;③


=


;④








=
1
4
其中正确的个数有(  )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
已知在△ABC中,∠A、∠B都是锐角,( ?

3

2

)
2
+| ?
1
2
|=0,则∠C的度数是(  )
A.
30
°
B.
45
°
C.
60
°
D.
90
°

如图4,水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4:3,背水坡BC的坡比为1:2,大坝高DE=20m,坝顶宽CD=10m,则下底AB的长为(  )
A. 55m B. 60m C. 65m D. 70m
在RT△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心,以2.5cm为半径画圆,则⊙C与直线AB的位置关系是(  )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定
如图5,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2
2
,点P在以斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是(  ) A.
2
B. C. 2
2
D. 2
图4 图5 图6

已知:如图6,在⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为(  )
A.
30
°
B.
35
°
C.
45
°
D.
70
°



如图7,等腰直角△ABC中,AB=AC=8,以AB为直径的半圆O交斜边BC于D,则阴影部分面积为(结果保留π)(  )
A. 16B. 24?4 C. 32?4 D. 32?8


如图8,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连接BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论: ①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PH?PC 其中正确的是(  )
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④


图7 图8 图9
二、填空题(本大题共8小题,共32.0分)
如图9,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为______时,△ADP和△ABC相似.


如图10,在平行四边形ABCD中,E为边BC上一点,AC与DE相交于点F,若CE=2EB,S△AFD=9,则S四边形ABEF等于_____.


已知在平面直角坐标系中,点A(-3,-1)、B(-2,-4)、C(-6,-5),以原点为位似中心将△ABC缩小,位似比为1:2,则点B的对应点的坐标为______.
某兴趣小组借助无人飞机航拍,如图11,无人飞机从A处飞行至B处需12秒,在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为3米/秒,则这架无人飞机的飞行高度为(结果保留根号)______ 米.
图10 图11 图12


如图12,点E(0,3),O(0,0),C(4,0)在⊙A上,BE是⊙A上的一条弦.则cos∠OBE=______.


如图13,在⊙O中,弦AB=8,M是弦AB上的动点,且OM的最小值为3.则⊙O的半径为______.


半径为2的圆内接正三角形,正四边形,正六边形的边心距之比为______.
如图14,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为________



图13 图14
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
(10分)某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度.他们在C处仰望建筑物顶端,测得仰角为48°,再往建筑物的方向前进6米到达D处,测得仰角为64°,求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米) (参考数据:sin48°≈
7
10
,tan48°≈
11
10
,sin64°≈
9
10
,tan64°≈2)



(12分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E,F分别是AC,BC边上一点. (1)求证:


=


; (2)若CE=
1
3
AC,BF=
1
3
BC,求∠EDF的度数.





(12分)如图,在△BCE中,点A是边BE上一点,以AB为直径的⊙O与CE相切于点D,AD∥OC,点F为OC与⊙O的交点,连接AF. (1)求证:CB是⊙O的切线; (2)若∠ECB=60°,AB=6,求图中阴影部分的面积.



(12分)如图,正方形ABCD、等腰Rt△BPQ的顶点P在对角线AC上(点P与A、C不重合),QP与BC交于E,QP延长线与AD交于点F,连接CQ. (1)①求证:AP=CQ;②求证:PA2=AF?AD; (2)若AP:PC=1:3,求tan∠CBQ.



(12分)如图,在⊙O中,直径CD垂直于不过圆心O的弦AB,垂足为点N,连接AC,点E在AB上,且AE=CE (1)求证:AC2=AE?AB; (2)过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P,试判断PB与PE是否相等,并说明理由; (3)设⊙O半径为4,点N为OC中点,点Q在⊙O上,求线段PQ的最小值.

答案和解析
1.【答案】B 【解析】
解:根据勾股定理,,BC=, 所以,夹直角的两边的比为, 观各选项,只有B选项三角形符合,与所给图形的三角形相似. 故选:B. 可利用正方形的边把对应的线段表示出来,利用三边对应成比例两个三角形相似,分别计算各边的长度即可解题. 此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法,本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键.
2.【答案】D 【解析】
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA==,BC=6, ∴AB===10, 故选:D. 在直角三角形ABC中,利用锐角三角函数定义表示出sinA,将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可. 此题考查了解直角三角形,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.
3.【答案】A 【解析】
解:∵∠DAE=∠CAB, ∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时,△ABC∽△AED; 当=即=时,△ABC∽△AED. 故选:A. 根据相似三角形的判定定理进行判定即可. 本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似.
4.【答案】A 【解析】
解:①过平面上不在同一直线上的三点可以作一个圆,错误; ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,故错误; ③在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆周角相等,错误; ④三角形的内心到三角形各边的距离相等,正确, 正确的有1个, 故选A. 利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项; 本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质等知识,解题的关键是能够了解有关的定义及定理,难度不大.
5.【答案】B 【解析】
解:∵BE、CD是△ABC的中线, ∴DE是△ABC的中位线, ∴,①正确; =,②错误; ∵D是AB的中点, ∴=, 由题意得,点O是△ABC的重心, ∴=, ∴,③正确; =,④错误, 故选:B. 根据三角形的重心的概念和性质、相似三角形的性质计算即可. 本题考查的是三角形的重心的概念和性质、相似三角形的性质,掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点,且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键.
6.【答案】C 【解析】
解:∵, ∴sinA=,cosB=, ∴∠A=60°,∠B=60°, 故可得∠C=180°-∠A-∠B=60°. 故选C. 根据绝对值及完全平方的非负性可得出sinA及cosB的值,继而可得出∠A及∠B的度数,利用三角形的内角和定理求解即可. 此题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质,属于基础题,解答本题的关键是根据特殊角的三角函数值得出∠A及∠B的度数.
7.【答案】C 【解析】
解:∵DE=20m,DE:AE=4:3, ∴AE=15m, ∵CF=DE=20m,CF:BF=1:2, ∴BF=40m, ∴AB=AE+EF+BF=15+10+40=65m. 故选C. 利用坡比的比值关系,求出AE与BF的长度即可得出下底的长. 本题考查了坡度和坡角的知识,解答本题的关键是根据坡比和已知条件求出三角形的边长.
8.【答案】A 【解析】
解:过C作CD⊥AB于D,如图所示: ∵在Rt△ABC中,∠C=90,AC=4,BC=3, ∴AB==5, ∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD, ∴3×4=5CD, ∴CD=2.4<2.5, 即d<r, ∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交; 故选A. 过C作CD⊥AB于D,根据勾股定理求出AB,根据三角形的面积公式求出CD,得出d<r,根据直线和圆的位置关系即可得出结论. 本题考查了直线和圆的位置关系,用到的知识点是勾股定理,三角形的面积公式;解此题的关键是能正确作出辅助线,并进一步求出CD的长,注意:直线和圆的位置关系有:相离,相切,相交.
9.【答案】B 【解析】
解:取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F,连结OC、OP、OM、OE、OF、EF,如图, ∵在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2, ∴AB=BC=4, ∴OC=AB=2,OP=AB=2, ∵M为PC的中点, ∴OM⊥PC, ∴∠CMO=90°, ∴点M在以OC为直径的圆上, 当P点在A点时,M点在E点;当P点在B点时,M点在F点, 易得四边形CEOF为正方形,EF=OC=2, ∴M点的路径为以2为直径的半圆, ∴点M运动的路径长=?π?2=π. 故选B. 取AB的中点O、AE的中点E、BC的中点F,连结OC、OP、OM、OE、OF、EF,如图,利用等腰直角三角形的性质得到AB=BC=4,则OC=AB=2,OP=AB=2,再根据等腰三角形的性质得OM⊥PC,则∠CMO=90°,于是根据圆周角定理得到点M在以OC为直径的圆上,由于点P点在A点时,M点在E点,点P点在B点时,M点在F点,则利用四边形CEOF为正方得到EF=OC=2,所以M点的路径为以2为直径的半圆,然后根据圆的周长公式计算点M运动的路径长. 本题考查了轨迹:点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹.解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以2为直径的半圆.
10.【答案】B 【解析】
解:∵OA⊥BC,∠AOB=70°, ∴=, ∴∠ADC=∠AOB=35°. 故选:B. 先根据垂径定理得出=,再由圆周角定理即可得出结论. 本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
11.【答案】B 【解析】
解:连接AD,OD, ∵等腰直角△ABC中, ∴∠ABD=45°. ∵AB是圆的直径, ∴∠ADB=90°, ∴△ABD也是等腰直角三角形, ∴=. ∵AB=8, ∴AD=BD=4, ∴S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD =S△ABC-S△ABD-(S扇形AOD-S△ABD) =×8×8-×4×4-+××4×4=16-4π+8 =24-4π. 故选B. 连接AD,因为△ABC是等腰直角三角形,故∠ABD=45°,再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°,故△ABD也是等腰直角三角形,所以=,S阴影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD由此可得出结论. 本题考查的是扇形面积的计算,根据题意作出辅助线,构造出三角形及扇形是解答此题的关键.
12.【答案】C 【解析】
解:∵△BPC是等边三角形, ∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°, 在正方形ABCD中, ∵AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°, ∴BE=2AE;故①正确; ∵PC=CD,∠PCD=30°, ∴∠PDC=75°, ∴∠FDP=15°, ∵∠DBA=45°, ∴∠PBD=15°, ∴∠FDP=∠PBD, ∵∠DFP=∠BPC=60°, ∴△DFP∽△BPH;故②正确; ∵∠FDP=∠PBD=15°,∠ADB=45°, ∴∠PDB=30°,而∠DFP=60°, ∴∠PFD≠∠PDB, ∴△PFD与△PDB不会相似;故③错误; ∵∠PDH=∠PCD=30°,∠DPH=∠DPC, ∴△DPH∽△CPD, ∴, ∴DP2=PH?PC,故④正确; 故选C. 由正方形的性质和相似三角形的判定与性质,即可得出结论. 本题考查的正方形的性质,等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质,解答此题的关键是熟练掌握性质和定理.
13.【答案】4或9 【解析】
【分析】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质,利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键.分别根据当△ADP∽△ACB时,当△ADP∽△ABC时,求出AP的长即可. 【解答】 解:当△ADP∽△ACB时, ∴=, ∴=, 解得:AP=9, 当△ADP∽△ABC时, ∴=, ∴=, 解得:AP=4, ∴当AP的长度为4或9时,△ADP和△ABC相似. 故答案为4或9.
14.【答案】11 【解析】
【分析】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质,解题首先利用平行四边形的构造相似三角形的相似条件,然后利用其性质即可求解.由于四边形ABCD是平行四边形,所以得到BC∥AD、BC=AD,而CE=2EB,由此即可得到△AFD∽△CFE,它们的相似比为3:2,最后利用相似三角形的性质即可求解. 【解答】 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC∥AD、BC=AD, 而CE=2EB, ∴△AFD∽△CFE,且它们的相似比为3:2, ∴S△AFD:S△EFC=()2, 而S△AFD=9, ∴S△EFC=4, ∴S△DFC=9×=6, ∴S△ADC=15, S四边形ABEF=15-4=11. 故答案为11.
15.【答案】(1,2)或(-1,-2) 【解析】
解:∵点B的坐标为(-2,-4),以原点为位似中心将△ABC缩小,位似比为1:2, ∴点B的对应点的坐标为(1,2)或(-1,-2), 故答案为:(1,2)或(-1,-2). 根据在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k解答. 本题考查的是位似变换的概念和性质,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
16.【答案】9
3
+9 【解析】
解:如图,作AD⊥BC,BH⊥水平线, 由题意得:∠ACH=75°,∠BCH=30°,AB∥CH, ∴∠ABC=30°,∠ACB=45°, ∵AB=3×12=36m, ∴AD=CD=18m,BD=AB?cos30°=18m, ∴BC=CD+BD=(18+18)m, ∴BH=BC?sin30°=(9+9)m. 故答案为:9+9. 作AD⊥BC,BH⊥水平线,根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数,利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长,由CD+BD求出BC的长,即可求出BH的长. 此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.
17.【答案】
4
5
【解析】
解:连接EC,由∠EOC=90°得到BC为圆A的直径, ∴EC过点A, 又OE=3,OC=4,根据勾股定理得:EC=5, ∵∠OBE和∠OCE为所对的圆周角, ∴∠OBE=∠OCE, 则cos∠OBE=cos∠OCE==. 故答案为: 连接EC,由90°的圆周角所对的弦为直径,根据∠EOC=90°得到EC为圆A的直径,所以点A在EC上且为EC中点,在直角三角形EOC中,由OE和OC的长,利用勾股定理求出EC的长,根据同弧所对的圆周角都相等得到∠EBO与∠ECO相等,而∠ECO在直角三角形EOC中,根据余弦函数定义即可求出cos∠ECO的值,进而得到cos∠EBO. 此题考查学生掌握90°的圆周角所对的弦为直径以及同弧所对的圆周角相等,考查了数形结合以及转化的数学思想,是一道中档题.连接EC且得到EC为圆A的直径是解本题的突破点.
18.【答案】5 【解析】
解:根据垂线段最短知,当OM⊥AB时,OM有最小值, 此时,由垂径定理知,点M是AB的中点, 连接OA,AM=AB=4, 由勾股定理知,OA2=OM2+AM2. 即OA2=42+32, 解得OA=5. 所以⊙O的半径为5; 故答案为5. 根据垂线段最短知,当OM⊥AB时,OM有最小值.根据垂径定理和勾股定理求解. 本题考查了垂径定理和勾股定理,根据垂线段最短知,当OM⊥AB时,OM有最小值是解题的关键.
19.【答案】1:
2

3
【解析】
解:由题意可得, 正三角形的边心距是:2×sin30°=2×=1, 正四边形的边心距是:2×sin45°=2×, 正六边形的边心距是:2×sin60°=2×, ∴半径为2的圆内接正三角形,正四边形,正六边形的边心距之比为:1::, 故答案为:1::. 根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形,正四边形,正六边形的边心距,从而可以求得它们的比值. 本题考查正多边形和圆,解答本题的关键是明确题意,求出相应的图形的边心距.
20.【答案】
17
4
. 【解析】
【分析】
本题考查了圆的切线的性质,矩形的性质,平行线的性质,勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质,本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大.当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时,△AOP面积的最大,由于P为切点,得出MP垂直与切线,进而得出PM⊥AC,根据勾股定理先求得AC的长,进而求得OA的长,根据△ADM∽△ACD,求得DM的长,从而求得PM的长,最后根据三角形的面积公式即可求得.
【解答】
解:当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时,△AOP面积的最大,如图,
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∵P是⊙D的切线,
∴DP垂直与切线,延长PD交AC于M,则DM⊥AC,
∵在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,
∴.
∴.
∵∠AMD=∠ADC=90°,∠DAM=∠CAD,
∴△ADM∽△ACD,
∴,
∵AD=4,CD=3,AC=5,
∴DM=,
∴,
∴△AOP的最大面积=.
故答案为.
21.【答案】解:根据题意,得∠ADB=64°,∠ACB=48° 在Rt△ADB中,tan64°=


, 则BD=


64
°


1
2
AB, 在Rt△ACB中,tan48°=


, 则CB=


48
°


10
11
AB, ∴CD=BC-BD 即6=
10
11
AB-
1
2
AB 解得:AB=
132
9
≈14.7(米), ∴建筑物的高度约为14.7米. 【解析】
Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC,根据CD=BC-BD可得关于AB 的方程,解方程可得. 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系,然后找出所求问题需要的条件.
22.【答案】解:(1)∵CD⊥AB, ∴∠A+∠ACD=90° 又∵∠A+∠B=90° ∴∠B=∠ACD ∴Rt△ADC∽Rt△CDB ∴


=


; (2)∵


=

1…………………………
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