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河南省开封市2018年5月高三第三次模拟考试数学试卷(理)有答案
所属科目:高考试题    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2018/5/17  
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高三数学试题(理科)
一、选择题
1. 已知集合A={x|y=lg(1-x)},B={y|},则
A. B.
C. D.
【答案】D
2.下面是关于复数的四个命题:;;;.其中真命题为( B )
A. B. C. D.
3.已知,则( C )
A. B. C. D.
4. 已知函数,则
(A)是奇函数,且在R上是增函数 (B)是偶函数,且在R上是增函数
(C)是奇函数,且在R上是减函数 (D)是偶函数,且在R上是减函数
【答案】C
5.已知数列{an}为等比数列,Sn是它的前n项和.若a2·a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为,则S5=( C )
A. 35 B. 33 C. 31 D. 29
6. 已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附:若随机变量ξ服从正态分布 ,则 , 。)( B )
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%

7.直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( C )
A. B.2 C. D.


8.中国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出结果
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】B


8. 设函数,,若实数满足,则(  )D
A. B. C. D.
9.设双曲线的右焦点为,右顶点为,过作的垂线与双曲线交于两点,过分别作AB,AC的垂线交于,若到直线的距离不小于a+c,则该双曲线的离心率的取值范围是( C )
A. B. C. D.
10.

11. 如图,网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为( B )
A. B.2 C.8 D.6

12. 已知定义在上的可导函数的导函数为,若对于任意实数,有,且为奇函数,则不等式的解集为( B )
A.B.C.D.
二、填空题
13.已知非零向量的夹角为,且,则 .
14.若满足,则的最大值为 .2
15.甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是9、0、2、1、5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为 .80
16.设数列是首项为0的递增数列,,满足:对于任意的总有两个不同的根,则的通项公式为___________.
三、解答题
17. 的内角的对边分别为,面积为,已知.
(1)求;
(2)若,求周长的取值范围.
解:(1),由已知得:,
化简得:,,,
(2)在中,由正弦定理得:

记周长为,
化解得:
,周长
综上所述:周长的取值范围.


18.如图,在四棱锥中,底面是正方形,,,二面角,点为线段的中点,点在线段上.

(Ⅰ)平面平面;
(Ⅱ)设平面与平面所成二面角的平面角为,
试确定点的位置,使得.

解:(Ⅰ)∵,,∴,又,∴平面,-----3分
又平面,∴平面平面. ………………5分
(Ⅱ)过作交于点,则由平面平面知,平面,故两两垂直,以为原点,以所在直线分别为轴,建立如图所示空间直角坐标系, ………………7分
∵平面,,
则,,,,又为的中点,设,则,,
,.…………8分
设平面的法向量为,
则∴
取,可求得平面的一个法向量,…………9分
设平面的法向量为,则
所以取. …………10分
∴,解得
∴当时满足. ………………12分

19.某商场销售某种品牌的空调器,每周周初购进一定数量的空调器,商场每销售一台空调器可获利500元,若供大于求,则每台多余的空调器需交保管费100元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调器仅获利润200元。
(Ⅰ)若该商场周初购进20台空调器,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量n(单位:台,)的函数解析式;
(Ⅱ)该商场记录了去年夏天(共10周)空调器需求量n(单位:台),整理得下表:
周需求量n
18
19
20
21
22

频数
1
2
3
3
1

以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进20台空调器,X表示当周的利润(单位:元),求X的分布列及数学期望.
解:(I)当时,---2分
当时,------------4分
所以------------------------5分
(II)由(1)得--------------------------6分
-----------------------7分
-------------9分
的分布列为














--12分

20.在平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率,为分别为左、右焦点,过的直线交椭圆于两点,且的周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的直线交椭圆于不同两点,为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ)∵ ∴
又,所以椭圆方程是 …………………………4分
(Ⅱ)设N(x,y),AB的方程为
由 整理得.
由,得.


则,
由点N在椭圆上,得化简得…① ………8分
又由即
将,代入得
化简,得则,∴ ②
由①,得 ,联立②,解得
∴或 ………………………12分
21.已知函数在处的切线与直线垂直.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)函数,若函数存在单调递减区间,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设是函数的两个极值点,若,求的最小值.
解:(Ⅰ)∵∴
∵切线与直线垂直,∴∴………………2分
(Ⅱ)∵
∴………………………………3分
由题知在上有解
∵ ∴设
而,所以要使在上有解,则只需
即 ,所以的取值范围为.………………………………5分
(Ⅲ)∵
令 , 得
∵是函数的两个极值点 ∴是的两个根
∴,…………………………………………6分


…………8分
令,则
∵ ∴
又,所以, 所以
整理有,解得
∴…………………………………………11分
而 ,所以在单调递减

故的最小值是.…………………………12分

22.(本题满分10分) 已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l经过定点,倾斜角为.
(Ⅰ)写出直线l的参数方程,将圆锥曲线C的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,到到曲线写出
标准方程;
(Ⅱ)设直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,求的值.
解:(Ⅰ)l经过定点,倾斜角为
直线l的参数方程为(为参数)……………………2分
,且,
圆锥曲线C的标准方程为 …………………………………………4分
(Ⅱ)把直线的参数方程代入圆锥曲线C的标准方程得
①…………………………………………………………6分
设是方程①的两个实根,则,…………………………………………8分

23.已知函数.
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式,对任意的实数恒成立,求实数的最小值.
解:(Ⅰ)
的解集为.
(Ⅱ)
当时,,令
当且仅当时,,
当时,依题意知,
综上所述,的最小值为3.





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