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(真题)2018年天津市高考数学(理科)试题(有答案)
所属科目:高考试题    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2018/6/15  
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第I卷1至2页,第II卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
如果事件A,B互斥,那么 .
如果事件A,B相互独立,那么 .
棱柱的体积公式,其中表示棱柱的底面面积,表示棱柱的高.
棱锥的体积公式,其中表示棱锥的底面面积,表示棱锥的高.
一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集为R,集合,,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析:由题意首先求得,然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解:由题意可得:,
结合交集的定义可得:.
本题选择B选项.
点睛:本题主要考查交集的运算法则,补集的运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2. 设变量x,y满足约束条件 则目标函数的最大值为
A. 6 B. 19 C. 21 D. 45
【答案】C
【解析】分析:首先画出可行域,然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点,最后求解最大值即可.【21教育名师】
详解:绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,
联立直线方程:,可得点A的坐标为:,
据此可知目标函数的最大值为:.
本题选择C选项.

点睛:求线性目标函数z=ax+by(ab≠0)的最值,当b>0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大,在y轴截距最小时,z值最小;当b<0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最小,在y轴上截距最小时,z值最大.
3. 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】分析:由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.
详解:结合流程图运行程序如下:
首先初始化数据:,
,结果为整数,执行,,此时不满足;
,结果不为整数,执行,此时不满足;
,结果为整数,执行,,此时满足;
跳出循环,输出.
本题选择B选项.
点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.
(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.
(3)按照题目的要求完成解答并验证.
4. 设,则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不重复条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析:首先求解绝对值不等式,然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.
详解:绝对值不等式 ,
由 .
据此可知是的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛:本题主要考查绝对值不等式的解法,充分不必要条件的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5. 已知,,,则a,b,c的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析:由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.
详解:由题意结合对数函数的性质可知:
,,,
据此可得:.
本题选择D选项.
点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减
【答案】A
【解析】分析:由题意首先求得平移之后的函数解析式,然后确定函数的单调区间即可.
详解:由函数图象平移变换的性质可知:
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为:
.
则函数的单调递增区间满足:,
即,
令可得一个单调递增区间为:.
函数的单调递减区间满足:,
即,
令可得一个单调递减区间为:.
本题选择A选项.
点睛:本题主要考查三角函数的平移变换,三角函数的单调区间的判断等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7. 已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点. 设A,B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析:由题意首先求得A,B的坐标,然后利用点到直线距离公式求得b的值,之后求解a的值即可确定双曲线方程.
详解:设双曲线的右焦点坐标为(c>0),则,
由可得:,
不妨设:,
双曲线的一条渐近线方程为:,
据此可得:,,
则,则,
双曲线的离心率:,
据此可得:,则双曲线的方程为.
本题选择C选项.
点睛:求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为,再由条件求出λ的值即可.
8. 如图,在平面四边形ABCD中,,,,. 若点E为边CD上的动点,则的最小值为

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析:由题意建立平面直角坐标系,然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示,最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.21·cn·jy·com
详解:建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,

点在上,则,设,则:
,即,
据此可得:,且:
,,
由数量积的坐标运算法则可得:

整理可得:,
结合二次函数的性质可知,当时,取得最小值.
本题选择A选项.
点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.2·1·c·n·j·y

2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项:
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题,共110分。
二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
9. i是虚数单位,复数___________.
【答案】4–i
【解析】分析:由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解:由复数的运算法则得:.
点睛:本题主要考查复数的运算法则及其应用,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10. 在的展开式中,的系数为____________.
【答案】
【解析】分析:由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值,然后求解的系数即可.
详解:结合二项式定理的通项公式有:,
令可得:,则的系数为:.
点睛:(1)二项式定理的核心是通项公式,求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r,如常数项指数为零、有理项指数为整数等);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项.
(2)求两个多项式的积的特定项,可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
11. 已知正方体的棱长为1,除面外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥的体积为__________.21教育网

【答案】
【解析】分析:由题意首先求解底面积,然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.
详解:由题意可得,底面四边形为边长为的正方形,其面积,
顶点到底面四边形的距离为,
由四棱锥的体积公式可得:.
点睛:本题主要考查四棱锥的体积计算,空间想象能力等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12. 已知圆的圆心为C,直线(为参数)与该圆相交于A,B两点,则的面积为___________.21*cnjy*com
【答案】
【解析】分析:由题意首先求得圆心到直线的距离,然后结合弦长公式求得弦长,最后求解三角形的面积即可.
详解:由题意可得圆的标准方程为:,
直线的直角坐标方程为:,即,
则圆心到直线的距离:,
由弦长公式可得:,
则.
点睛:处理直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用代数法.【21教育】
13. 已知,且,则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】分析:由题意首先求得a-3b的值,然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果,注意等号成立的条件.
详解:由可知,
且:,因为对于任意x,恒成立,
结合均值不等式的结论可得:.
当且仅当,即时等号成立.
综上可得的最小值为.
点睛:在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.www-2-1-cnjy-com
14. 已知,函数若关于的方程恰有2个互异的实数解,则的取值范围是______________.
【答案】
【解析】分析:由题意分类讨论和两种情况,然后绘制函数图像,数形结合即可求得最终结果.
详解:分类讨论:当时,方程即,
整理可得:,
很明显不是方程的实数解,则,
当时,方程即,
整理可得:,
很明显不是方程的实数解,则,
令,
其中,
原问题等价于函数与函数有两个不同的交点,求的取值范围.
结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象,
同时绘制函数的图象如图所示,考查临界条件,
结合观察可得,实数的取值范围是.
点睛:本题的核心在考查函数的零点问题,函数零点的求解与判断方法包括:
(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

三.解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. 在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知.
(I)求角B的大小;
(II)设a=2,c=3,求b和的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ),.
【解析】分析:(Ⅰ)由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得,则B=.
(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理可得b=.结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得
详解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理,可得,
又由,得,
即,可得.
又因为,可得B=.
(Ⅱ)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,
有,故b=.
由,可得.因为a<c,故.
因此,
所以,
点睛:在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.

16. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
【答案】(Ⅰ)从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(Ⅱ)(i)答案见解析;(ii).
【解析】分析:(Ⅰ)由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.且分布列为超几何分布,即P(X=k)=(k=0,1,2,3).据此求解分布列即可,计算相应的数学期望为.【21cnj*y.co*m】
(ii)由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为.
详解:(Ⅰ)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(Ⅱ)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3

P






随机变量X的数学期望.
(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;
事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,
则A=B∪C,且B与C互斥,
由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),
故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.
所以,事件A发生的概率为.
点睛:本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考查对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:(1) ;(2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.

17. 如图,且AD=2BC,,且EG=AD,且CD=2FG,,DA=DC=DG=2.
(I)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:;
(II)求二面角的正弦值;
(III)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°,求线段DP的长.

【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】分析:依题意,可以建立以D为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系.www.21-cn-jy.com
(Ⅰ)由题意可得:平面CDE的一个法向量n0=(1,0,–1).又=(1,,1),故,MN∥平面CDE.
(Ⅱ)依题意可得平面BCE的一个法向量n=(0,1,1).平面BCF的一个法向量为m=(0,2,1).据此计算可得二面角E–BC–F的正弦值为.
(Ⅲ)设线段DP的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),结合空间向量的结论计算可得线段的长为.
详解:依题意,可以建立以D为原点,
分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),
可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),
E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,,1),N(1,0,2).

(Ⅰ)依题意=(0,2,0),=(2,0,2).
设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量,
则 即
不妨令z=–1,可得n0=(1,0,–1).
又=(1,,1),可得,
又因为直线MN平面CDE,所以MN∥平面CDE.
(Ⅱ)依题意,可得=(–1,0,0),,=(0,–1,2).
设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量,
则 即
不妨令z=1,可得n=(0,1,1).
设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量,
则 即
不妨令z=1,可得m=(0,2,1).
因此有cos<m,n>=,于是sin<m,n>=.
所以,二面角E–BC–F的正弦值为.
(Ⅲ)设线段DP的长为h(h∈[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),
可得.
易知,=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量,
故,
由题意,可得=sin60°=,解得h=∈[0,2].
所以线段的长为.
点睛:本题主要考查空间向量的应用,线面平行的证明,二面角问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21世纪教育网
18. 设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知,,,.
(I)求和的通项公式;
(II)设数列的前n项和为,
(i)求;
(ii)证明.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ)(i).(ii)证明见解析.
【解析】分析:(I)由题意得到关于q的方程,解方程可得,则.结合等差数列通项公式可得
(II)(i)由(I),有,则.
(ii)因为,裂项求和可得.
详解:(I)设等比数列的公比为q.由
可得.因为,可得,故.
设等差数列的公差为d,由,可得
由,可得
从而 故
所以数列的通项公式为,
数列的通项公式为
(II)(i)由(I),有,
故.
(ii)因为,
所以.
点睛:本题主要考查数列通项公式的求解,数列求和的方法,数列中的指数裂项方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【21·世纪·教育·网】

19. 设椭圆(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B. 已知椭圆的离心率为,点A的坐标为,且.21·世纪*教育网
(I)求椭圆的方程;
(II)设直线l:与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ,求k的值.21*教*育*名*师
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或
【解析】分析:(Ⅰ)由题意结合椭圆的性质可得a=3,b=2.则椭圆的方程为.
(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).由题意可得5y1=9y2.由方程组可得.由方程组可得.据此得到关于k的方程,解方程可得k的值为或
详解:(Ⅰ)设椭圆的焦距为2c,由已知知,
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得,,,
由,可得ab=6,从而a=3,b=2.
所以,椭圆的方程为.
(Ⅱ)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).
由已知有y1>y2>0,故.
又因为,而∠OAB=,故.
由,可得5y1=9y2.
由方程组消去x,可得.
易知直线AB的方程为x+y–2=0,
由方程组消去x,可得.
由5y1=9y2,可得5(k+1)=,
两边平方,整理得,
解得,或.
所以,k的值为或
点睛:解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:
(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.21-cnjy*com

20. 已知函数,,其中a>1.
(I)求函数的单调区间;
(II)若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行,证明;
(III)证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.
【答案】(Ⅰ)单调递减区间,单调递增区间为;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】分析:(I)由题意可得.令,解得x=0.据此可得函数的单调递减区间,单调递增区间为.21cnjy.com
(II)曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率为.原问题等价于.两边取对数可得.
(III)由题意可得两条切线方程分别为l1:.l2:.则原问题等价于当时,存在,,使得l1和l2重合.转化为当时,关于x1的方程存在实数解,构造函数,令,结合函数的性质可知存在唯一的x0,且x0>0,使得,据此可证得存在实数t,使得,则题中的结论成立.
详解:(I)由已知,,有.
令,解得x=0.
由a>1,可知当x变化时,,的变化情况如下表:
x

0




0
+



极小值



所以函数的单调递减区间,单调递增区间为.
(II)由,可得曲线在点处的切线斜率为.
由,可得曲线在点处的切线斜率为.
因为这两条切线平行,故有,即.
两边取以a为底的对数,得,所以.
(III)曲线在点处的切线l1:.
曲线在点处的切线l2:.
要证明当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线,
只需证明当时,存在,,使得l1和l2重合.
即只需证明当时,方程组有解,
由①得,代入②,得. ③
因此,只需证明当时,关于x1的方程③存在实数解.
设函数,
即要证明当时,函数存在零点.
,可知时,;
时,单调递减,
又,,
故存在唯一的x0,且x0>0,使得,即.
由此可得在上单调递增,在上单调递减.
在处取得极大值.
因为,故,
所以.
下面证明存在实数t,使得.
由(I)可得,
当时,


所以存在实数t,使得
因此,当时,存在,使得.
所以,当时,存在直线l,使l是曲线的切线,也是曲线的切线.
点睛:导数是研究
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