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吉林省实验中学2019届高三上学期第四次模拟考试数学(理)试卷(有答案)
所属科目:高考试题    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2019/1/23  
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吉林省实验中学2018-2019学年度高三上学期第四次考试
数学(理科)试题
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
的值为( )
A. B. C. D .
已知平面向量,,且,则=( )
A. –3 B. –1 C. 1 D . 3
设是等差数列的前项和,若,则( )
A.1 B.5 C.7 D. 9
函数的定义域为( )
A.( ,1) B. (,∞) C.(1,+∞) D. ( ,1)∪(1,+∞)
设a∈R ,则“a=1”是“函数在定义域上是奇函数”的( )
A. 充分不必要条件     B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件       D . 既不充分也不必要条件
函数的部分图象如图所示,设是图象的最高点,是图象与轴的交点,则( )
A. B. C. D.



设变量满足约束条件则目标函数的最大值为( )
A. B.1 C. D.3
设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是( )
A.若; B.若;
C.若; D.若;

如图,是圆的直径,是圆上的点,,,,则的值为( )
A. B. C. D.


( )
A. B. C. D.
已知等比数列中,,,(其中为虚数单位,,且),则数列的前2019项的和为( )
A. B. C. D.
直线(m为实常数)与曲线E:的两个交点A,B的横坐标分别为,且,曲线E在点A,B处的切线PA,PB与y轴分别交于点M,N,有下面5个结论:
①的取值集合为;
②△PAB可能为等腰三角形;
③若直线与轴的交点为Q,则;
④当是函数的零点时,(O为坐标原点)取得最小值.
其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4



第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分)
抛物线的准线方程为_____________
设数列的通项公式为,则其前5项的和为______
正方体的棱长为2,是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,当弦的长度最大时,的取值范围为______________
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且BC边上的高为,则当取得最大值时,角A的值为______________
三、解答题:(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
(本小题满分12分)设函数,
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)保持函数图象上每一点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象。在锐角△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且满足,求的取值范围.













(本小题满分12分)已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的。
(Ⅰ)第一小组做了四次实验,求该小组恰有两次失败的概率;
(Ⅱ)第二小组做了四次实验,设实验成功与失败的次数的差的绝对值为X,求X的分布列及数学期望;
(Ⅲ)第三小组进行实验,到成功了四次为止,已知在第四次成功之前共有三次失败的前提下,求恰有两次连续失败的概率。




(本小题满分12分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,且AB⊥AC,M是CC1的中点,N是BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足。
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)当平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为时,试求直线PM与平面ABC所成角的正弦值大小。




(本小题满分12分)已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F(2,0),过点F的直线交椭圆于M、N两点且MN的中点坐标为(1,) .
(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)设直线l不经过点P(0,b)且与C相交于A,B两点,若直线PA与直线PB的斜率的和为1,试判断直线 l是否经过定点,若经过定点,请求出该定点;若不经过定点,请给出理由.[:.]


(本小题满分12分)已知关于的函数,
(I)试求函数的单调区间;
(II)若在区间内有极值,试求a的取值范围;
(III)时,若有唯一的零点,试求.
(注:为取整函数,表示不超过的最大整数,如;以下数据供参考:)


请考生在第 (22) ~ (23) 二题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题计分.做答时, 用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑, 并将所选题号填入括号中.
(本小题满分10分) 选修4-4: 坐标系与参数方程
在极坐标系中, 已知圆C的圆心C(), 半径r =.
(Ⅰ) 求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ) 若 α ∈ , 直线的参数方程为为参数), 直线交圆C于A、 B两点, 求弦长|AB|的取值范围.



(本小题满分10分) 选修4-5: 不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)若不等式的解集为,求实数a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在实数使成立,求实数的取值范围.
吉林省实验中学2019届高三模拟考试题
数学(理)试题
参考答案及评分标准
一、选择题(每题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

答案
D
C
B
A
A
D
D
C
B
C
DXXK
B

二、填空题(每题5分,共20分)
13. 14. 129 15. 16.
三、解答题
17.解:(Ⅰ)
……………………4分
所以函数的最小正周期为………………6分
(Ⅱ)由于,故由正弦定理得,由于,所以,又在锐角△ABC中,所以……………8分
由(Ⅰ)知,所以,……………10分
又因为,所以,从而,所以的取值范围为……………12分
18.解(Ⅰ)该小组恰有两次失败的概率……………4分
(Ⅱ)由题可知X的取值集合为。……………1分



……………6分
故其分布列为
X
0
2
4

P




§xx§k.Com]
,即所求数学期望为……………8分
(Ⅱ)由题可知,在第四次成功之前共有三次失败的前提下共有个基本事件,而满足恰有两次连续失败的基本事件共有个基本事件
从而由古典概型可得所求概率为……………4分
可以根据实际情况适当赋分。如第一问2分,加重第二问的合理赋分。
解:以分别作为轴正方向建立空间直角坐标系,如图,则,
M是CC1的中点,N是BC的中点
,设平面PMN的一个法向量为,则令,则
又平面ABC的一个法向量为,平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为
解得,此时

所以直线PM与平面ABC所成角的正弦值为。
解:(1)设,则,两式相减得
,…………2分
MN的中点坐标为(1,) ,且M、N、F、Q共线
,…………4分
椭圆C的方程为…………6分
设直线AB:,联立方程得:
设则 …………8分


,…………10分
直线AB:,所以直线AB过定点……11分
又当直线AB斜率不存在时,设AB:,则
适合上式,所以直线AB过定点……12分
21.解:(I)由题意的定义域为

(i)若,则在上恒成立,为其单调递减区间;
(ii)若,则由得,
时,,时,,
所以为其单调递减区间;为其单调递增区间;-------------4分
(II)方法一

所以的定义域也为,且

令 (*)
则 (**)
(1)当时, 恒成立,所以为上的单调递增函数,又,所以在区间内存在唯一一个零点,由于为上的单调递增函数,所以在区间内,
从而在,所以此时在区间内有唯一极值且为极小值,适合题意
(2)当时,即在区间(0,1)上恒成立,此时, 无极值.
综上所述,若在区间内有极值,则a的取值范围为.-------8分
(III) ,由(II)且知时, .
由(**)式知,。
由于,所以,
又由于,
所以
亦即,

从而得
所以,
从而,又因为有唯一的零点,所以 即为,


消去a,得
时令,
则在区间上为单调递增函数, 为单调递减函数,


----------------------------------12分
22. .解:(Ⅰ)由得,直角坐标,
所以圆的直角坐标方程为,
由得,圆的极坐标方程为
………………(5分)
(Ⅱ)将,代入的直角坐标方程,
得 ,则,
设,对应参数分别为,,则
,,

因为,所以所以,
所以的取值范围为.………………(10分)
23解:(Ⅰ)由得,∴,即,
∴,∴。………………(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,令,
则,
∴的最小值为4,故实数的取值范围是。………………(10分)

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