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人教版初中数学《第19章整数的整除性》竞赛专题复习有答案
所属科目:竞赛试题    文件类型:rar
类别:试题、练习
上传日期:2018/2/28  
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第19章整数的整除性(上半部分).doc
第19章整数的整除性(下半部分).doc

“第19章整数的整除性(上半部分).doc”内容如下:


第三篇 初等数论
第19章 整数的整除性
§19.1整除
19.1.1★证明:三个连续奇数的平方和加1,能被12整除,但不能被24整除.
解析 要证明一个数能被12整除但不能被24整除,只需证明此数等于12乘上一个奇数即可.设三个连续的奇数分别为、、(其中是整数),于是

所以

又,而、是相邻的两个整数,必定一奇一偶,所以是偶数,从而是奇数,故

19.1.2★★若、为整数,且,之一能被17整除,那么另一个也能被17整除.
解析 设,.若,从上面两式中消去,得
. ①
所以 .
因为(17,3)=1,所以即.
若,同样从①式可知.因为(17,5)=1,所以,即.
19.1.3★★设是奇数,求证:

解析 因为,、3、5是两两互质的,所以只需证明、3、5能整除即可.
由于是奇数,有
,,
所以;
又有,,
所以;
又有,,
所以.
所以.
评注 我们通常把整数分成奇数和偶数两类,即被2除余数为0的是偶数,余数为1的是奇数.偶数常用表示,奇数常用表示,其实这就是按模2分类.又如,一个整数被3除时,余数只能是0、1、2这三种可能,因此,全体整数可以分为、、这三类形式,这是按模3分类.有时为了解题方便,还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类,但这要具体问题具体处理.
19.1.4★★设为任意奇正整数,证明:能被2006整除.
解析 因为,所以为证结论成立,只需证为奇正整数时,能被2、17、59整除.显然,表达式能被2整除.
应用公式,为奇数时,

.
由于,,所以能被59整除.
又,,所以能被17整除.
19.1.5★★若整数不被2和3整除,求证:.
解析 因为既不能被2整除,也不能被3整除,所以,按模2分类与按模3分类都是不合适的.较好的想法是按模6分类,把整数分成、、、、、这六类.由于、、是2的倍数,是3的倍数,所以只能具有或的形式,有时候为了方便起见,也常把写成(它们除以6余数均为5).
故具有的形式,其中是整数,所以

由于与为一奇一偶(若为奇数,则为偶数,若为偶数,则为奇数),所以,于是便有.
19.1.6★★★求证:(为正整数)能被2或22整除,但不能被2的更高次幂整除.
解析 按模2分类.若为偶数,为正整数,则

由是奇数,是奇数的平方,奇数的平方除以8余1,故可设,于是

是奇数,不含有2的因数,所以能被2整除,但不能被2的更高次幂整除.
若为奇数,为非负整数,则

由于是奇数,所以此时能被整除,但不能被2的更高次幂整除.
19.1.7★★设是质数,证明:满足的正整数、不存在.
解析 用反证法.假定存在正整数、,使得
.
令,,,则.所以
,,
所以.由于是质数,可知,.令,则,所以.同理可得,.即、都含有这个因子,这与矛盾.
19.1.8★★如果与都是大于3的质数,那么6是的约数.
解析 每一整数可以写成、、、、、中的一种(为整数),其中、、、在时都是合数,分别被6、2、2、3整除.因此,质数是或的形式.
如果,那么

是3的倍数,而且大于3,所以不是质数.与已知条件矛盾.
因此.这时
是6的倍数.
评注 本题是将整数按照除以6,所得的余数分为6类.
质数一定是或的形式.当然,反过来,形如或的数并不都是质数.但可以证明形如的质数有无穷多个,形如的质数也有无穷多个.
猜测有无穷多个正整数,使与同为质数.这是孪生质数猜测,至今尚未解决.
19.1.9★★已知、是整数,能被3整除,求证:和都能被3整除.
证 用反证法.如果、不都能被3整除,那么有如下两种情况:
(1)、两数中恰有一个能被3整除,不妨设,.令,(、都是整数),于是

不是3的倍数,矛盾.
(2),两数都不能被3整除.令,,则

不能被3整除,矛盾.
由此可知,、都是3的倍数.
19.1.10★★若正整数、使得是素数,求证:.
解析 设是素数,则,所以,故,或者,故可得,且.令,是大于1的整数,则

19.1.11★证明:形如的六位数一定被7、11、13整除.
解析 .
由此可见,被7、11、13整除.
19.1.12★任给一个正整数,把的各位数字按相反的顺序写出来,得到一个新的正整数,试证明:被9整除.
解析 除以9,与的数字和除以9,所得余数相同.除以9,与的数字和除以9,所得余数相同.与的数字完全相同,只是顺序相反,所以与的数字和相等.除以9与除以9,所得的余数相同,所以被9整除.
19.1.13★.求被11除所得的余数.
解 显然,的奇数位数字和与偶数位数字和的差为.除以11的余数与除以11的余数相同,即余数为9.从而除以11,所得的余数为9.
19.1.14★在568后面补上三个数字,组成一个六位数,使它能被3、4、5分别整除.符合这些条件的六位数中,最小的一个是多少?
解析 要命名这个六位数尽可能小,而且能被5整除,百位数字和个位数字都应选0.这样,已知的五个数位上数字之和是5+6+8+0+0=19.要使这个六位数能被3整除,十位上可填2、5、8.由能被4整除的数的特征(这个数的末两位数应该能被4整除)可知,应在十位上填2.
这个六位数是568020.
19.1.15★★已知四位数是11的倍数,且有,为完全平方数,求此四位数.
解析 在三个已知条件中,说明给出和,就随之给定,再由,可定.而为完全平方数,将和的取值定在两位平方数的十位和个位数字范围中,只要从这个范围中挑选符合要求的即可.
由完全平方数,只可能为16、25、36、49、64、81这六种情况.由,此时相应的为7、7、9、13、10、9.其中13和10显然不可能是四位数的千位数字.
在、、、,这四种可能性中,由,应有.
时,可为1;
时,这种不存在;
时,可为1;
时,可为2.
故满足条件的四位数有:7161、9361、9812.
评注 为完全平方数,表示是两位整数,,因此,不考虑00、01、04、09这四种情况,否则还应加上1012、4048、9097这三个四位数.
19.1.16★★用0,1,2,…,9这十个数字组成能被11整除的最大的十位数是多少?
解析 因为0+1+2+…+9=45.这个最大十位数若能被11整除,其奇数位上数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)为0或11的倍数.由于这十个数字之和是45(奇数),所以这个差不可能是0、22、44(偶数).
若这个差为33,则只能是,但0+1+2+3+4=10,即最小的五个数字之和都超过6,不可能.若这个差为11,,.
如果偶数位为9、7、5、3、1,其和为25;奇数位为8、6、4、2、0,其和为20.交换偶数位上的1与奇数位上的4,可得偶数位上的数为9、7、5、4、3,奇数位上的数为8、6、2、1、0.于是所求的最大十位数为9876524130.
19.1.17★★一个六位数12 34 是88的倍数,这个数除以88所得的商是多少?
解析 设这个六位数为,因为它是88的倍数,而,8与11互质,所以,这个六位数既是8的倍数,又是11的倍数.由能被8整除,可知能被8整除(一个数末三位组成的数能被8整除,这个数就能被8整除),所以是4.由能被11整除的数的特征(一个数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,这个数就能被11整除),可知奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除,则,即.

所以,这个六位数是124344,它除以88的商是1413.
19.1.18★★如果六位数1993 能被105整除,那么,它的最后两位数是多少?
解析 因为这个六位数能被105整除,而,3、5、7这三个数两两互质,所以,这个六位数能同时被3、5、7整除.根据能被5整除的数的特征,它的个位数可以是0或5.根据能被3整除的数的特征,可知这个六位数有如下七种可能:199320,199350,199380,199305,199335,199365,199395.而能被7整除的数的特征是:这个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差(以大减小)能被7整除.经试算:,196能被7整除.
所以,199395能被105整除,它的最后两位数是95.
19.1.19★★形如,且能被11整除的最小数是几?
解析 本题实质上确定的最小值.利用被11整除的数的特征:偶数位数字之和与奇位数字之和的差能被11整除.该数的偶数位数字之和为,奇数位数字之和为,两者之差为.要使,不难看出最小的,故所求最小数为.
19.1.20★★★是否存在100个不同的正整数,使得它们的和与它们的最小公倍数相等?
解析 存在满足条件的100个数.
事实上,对任意正整数,下述个数
3,,,…,,,
它们的最小公倍数为,和为.所以,这几个数的和等于它们的最小公倍数.
取,可知存在符合要求的100个数.
19.1.21★★下面这个41位数 能被7整除,问中间方格代表的数字是几?
解析 因为,,,所以555555和999999都能被7整除,那么由18个5和18个9分别组成的18位数,也能被7整除.而
原数=+55 ,
因此右边的三个加数中,前后两个数都能被1整除,那么只要中间的55 99能被7整除,原数就能被7整除.
把55 99拆成两个数的和:

其中 .因为,,所以 .
评注 记住111111能被7整除很有用.
19.1.22★★一位魔术师让观众写下一个六位数,并将的各位数字相加得,他让观众说出中的5个数字,观众报出1、3、5、7、9,魔术师便说出余下的那个数,问那个数是多少?
解析 由于一个数除以9所得的余数与这个数的数字和除以9所得的余数相同,所以是9的倍数.设余下的那个数为,则

即 ,
由于,所以,.
19.1.23★★若、、、都是整数,并且,.求的值.
解析 若,则

不是整数,所以.不妨设,于是

而是整数,故,即.又

是整数,所以只能为3,从而.所以

19.1.24★★★试求出两两互质的不同的三个正整数、、使得其中任意两个的和能被第三个数整除.
解析 题中有三个未知数,我们设法得到一些方程,然后从中解出这些未知数.
不妨设,于是、、都是正整数.先考虑最小的一个:

所以,即.再考虑,因为,即,所以,于是,
所以,即,从而这三个数为、、.又因为这三个数两两互质,所以.
所求的三个数为1、2、3.
19.1.25★★★求所有的有理数,使得,并且为整数.
解析 由条件,可知.当时,是整数;下面考虑的情形,此时设,、为正整数,且.则由为正整数和可知,进而,导致,再结合,得.
于是,又.故,易知仅当时为正整数.
综上可知,满足条件的或.
19.1.26★★设正整数、、、满足.求的最小值.
解析 由条件,可知
.
等号在时取到,因此所求的最小值为.
19.1.27★★已知正整数、、、、、满足条件
,.
证明:.
解析 由条件,可知,,故
, ①
. ②
将①与②,然后相加,得

结合,可知.
19.1.28★★★将正整数接写在任意一
…………………………
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“第19章整数的整除性(下半部分).doc”内容如下:


综上可知,命题成立.
评注如果两个互质的正整数之积是一个完全平方数,则这两个正整数都是完全平方数.这一命题是我们证明此题的出发点.
19.4.27★★★如果正整数、、满足.
证明:数和都可以表示为两个正整数的平方和.
解析 巧妙运用下述命题:如果正整数可表示为两个正整数的平方和,则也可表示为两个整数的平方和.事实上,设,这里、、都是正整数.则.于是,可表示为两个整数和的平方和,命题获证.
注意到,由条件有

利用已证命题,可知

记,,由可知、都是正整数,并且.若、不同为偶数,则由平方数或,可知或,这是一个矛盾.所以,、都是偶数,从而,这就是
要证的结论.
评注 这里本质上只是恒等式的应用,在处理竞赛问题时,代数式变形能力显得十分重要.
19.4.28是否存在正整数、使得是完全平方数?
解析 分如下三种情形讨论:
(1)若m、都是偶数,则,,所以,
故此时不是完全平方数.
(2)若、都是奇数,则,,所以,
故此时不是完全平方数.
(3)若、是一奇一偶,不妨设是奇数,是偶数,则,,所以,故此时不是完全平方数.
综上所述,对于任意正整数、,正整数都不是完全平方数.
评注 判断一个数不是完全平方数,我们也可以用“模”的方法,例如,我们知道,偶数的平方是4的倍数,奇数的平方除以4余1,所以,若一个整数同余2或者3模4,则它一定不是完全平方数;类似地,若一个整数同余2模3,则它一定不是完全平方数;一个整数同余2、3模5,则它一定不是完全平方数等等.
其实,考虑末位数也是用“模”的方法,即模10.
19.4.29★★★已知是正整数,且和都是完全平方数,求证:.
解析 因为,所以,只需证明:,且即可.
设,,其中、都是正整数.由于是奇数,所以,,从而,于是,是奇数,所以,,即,从而.
又对于任意整数,有,所以,,于是,故只能是,
所以,,从而.
因为(8,5)=1,所以,
19.4.30★★★—个正整数若能表示为两个正整数的平方差,称为“智慧数”,比如,16就是一个“智慧数”,从1开始数起,第2008个“智慧数”是哪个数?
解析 1不是“智慧数”,大于1的奇正整数,都是“智慧数”.
被4整除的偶数,有,都是“智慧数”,而4不能表示为两个正整数的平方差,4不是“智慧数”.
被4除余2的数,设,其中、为正整数,当、奇偶性相同时,,均为偶数,被4整除,而不被4整除,所以、奇偶性相同的假设不可能成立;当、奇偶性不同时,,均为奇数,为奇数,而为偶数,故、奇偶性不同的假设也不可能成立.即不存在正整数、,使,即形如的数均不是“智慧数”.
综述,在正整数列中,前四个正整数中只有3为“智慧数”,之后每连续四个数中有三个“智慧数”,其中第二个数,即形如的数不是智慧数.
,.因此,第2008个“智慧数”是2680.
19.4.31★★★把能表示成两个正整数平方差的这种正整数,从小到大排成一列:,例如:,求的值.
解析 当时,若是奇数,则,即能表示成两个正整数的平方差;若,则,即也能表示成两个正整数的平方差;若,则,即也能表示成两个正整数的平方差;若,则不能表示成两个正整数的平方差.
所以,,,,…,一般地,
,,

故,
而,所以


19.4.32★★在二个连续的平方数之间能不能有二个完全立方数?换言之,是否存在正整数、、使得?
解析 假设存在正整数、、,使得.
因,可得.又因为,可得,即.故,矛盾.
故假设不成立,即二个连续的平方数之间不能有二个完全立方数.
19.4.33★★★设为正整数,如果存在一个完全平方数,使得在十进制表示下此完全平方数的各位数字之和为,那么称为好数(例如13是一个好数,因为的各位数字之和等于13).问:在1,2,…,2007中有多少个好数?
解析 首先,对分别计算,可得,利用十进制下一个数与它的数码和模9同余,可知满足条件的,即或.
其次,注意到,因此,若存在非负整数,使得,则为好数,又由,可知,4是好数,因此,若,则为好数.最后,由

可知若,则是好数.
综上可知,为好数的充要条件是或.依此可求得1,2,…,2007中好数的个数为个.
19.4.34★★★在黑板上依如下规则写下了若干个数:第一个数为1,以后的每一个数都等于已写数的个数加上这些已写数的平方和.证明:黑板上不可能出现除1以外的完全平方数.
解析 利用相邻两个完全平方数之间的正整数都不是完全平方数这一结论.
设第次所写的数为,则,,并且
,. ①
利用递推式①,可知
,,②
由①-②,可知
,,
即,.
注意到,,故时,不是完全平方数,又不是完全平方数,故命题成立.
评注 用递推式表示题中的条件后,问题得以数学化,从而获得解决.用恰当的方式将问题表示,这一过程是一个数学化的过程,是处理实际问题时必要的第一步.
19.4.35★★★如果对的一切整数值,的二次三项式都是平方数(即整数的平方).证明:
(1)、、都是整数;
(2)、、都是整数,并且是平方数.
反过来,如果(2)成立,是否对一切的整数值,的值都是平方数?
解析 (1)令得平方数.
令得,,其中、都是整数,所以

都是整数.
(2)如果是奇数(是整数),那么令得

其中是整数.
由于是整数,所以被4整除,

除以4余2.
而,在、的奇偶性不同时,是奇数;在、的奇偶性相同时,被4整除.
因此,从而是偶数,是整数.也是整数.
在(2)成立时,不一定对的整数值都是平方数.例如,,,,时,
不是平方数.
19.4.36★★★设为任意正整数,为正整数.
试确定正整数,使都是某个正整数的平方.
解析 令.
首先我们知道:
(1),.
因此,均不为完全平方数.
所以,2不满足所要求的条件.
(2),对任意正整数而言,必为整数,所以必为完全平方数.
(3)对任意而言,必为奇数,但任一奇数,设(为整数),则

显然不可能是型的数.(因为必为一奇一偶,除之外,,又时,,而时,也不为的数).
由(1)、(2)、(3)的讨论得知是唯一使恒为完全平方数的正整数.


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