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人教版初中数学《第22章[x]与{x}》竞赛专题复习有答案
所属科目:竞赛试题    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2018/3/2  
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第22章 与

22.1.1★ 求的值.
解析 因为





所以.
故.
22.1.2★ 若是正整数,求的值.
解析 因为

所以,
所以.
22.1.13★ 数的末尾有多少个连续的零?
解析 的质因数分解式中,5的最高次方幂为


所以的末尾有499个零.
评注 在中,质数的最高次幂是

其中,且.
22.1.4★★ 设,求.
解析 要求,只需证明介于两个连续的整数之间.所以需要对进行适当的变形,通过放大、缩小
的手段求出的范围,从而确定的取值.
由题设知,.考虑到
,2,3,4,…,2007,可以得到


所以.
评注 上述解题过程中,首先对进行了“放缩”,又通过“拆项”的方法使和式中前后两项能够相互抵消一部分,使和式化简,从而得到了的范围.
在对和式取整时,利用和式本身的性质进行“缩放”的方法非常重要,需要在平时的学习中多积累一
些和式的性质以及变形技巧.
22.1.5★★ 计算和式

的值.
解析 因为(23,101)=1,所以,当时,都不是整数,即都不为零.又因为

=23,
而,且是整数,所以

则.
从而,可以把,,…,首尾配对,共配成50对,每一对的和为22,所以

22.1.6★★ 已知,且满足,求的值.
解析 因为,所以,,…,等于0或者1.由题设知,其中有18个等于1,所以


所以,

故,于是,所以.
22.1.7★★ 求满足的所有实数的和.
解析 原方程可化为,所以,可得,于是101,102,…,125,从而,满足条件的实数为

,,…,,
它们的和为

22.1.8★★ 已知,如果要求是正整数,求满足条件所有实数的和.
解析 显然,,2003是质数,,
设,由题设,是整数,.
,1,2,3,…,2002.


22.1.9★ 解方程.
解析 原方程可改写为

将其代人,可得

解此不等式组,有

即,
所以.
将代入原方程,得

所以,原方程的解是.
评注 若一次方程中同时出现和的一次项,可以通过以下的步骤进行求解:(1)从方程中解出或,分别代入不等式组
或,
求解后得到或的范围,从而求得的“可能取值”(注意不一定是解!).
(2)将这些“可能值”代人原方程进行求解.
(3)检验.因为在(1)中将或代人不等式组,实际上是“放大”了的范围,所以必须验根!
22.1.10★ 解方程:.
解析 设,则为整数,且
, ①
由原方程知,即
. ②

即.
所以,或.
代入②,得,.
22.1.11★★ 解方程:.
解析 由原方程可化为,代入不等式组
,有

整理后得到.
当时,因为,所以,即,所以,与矛盾.
当时,因为,所以,即.
又因为,所以.
所以,故.代入原方程,得.
22.1.12★★ 解方程.
解析 这是一个关于的二次方程,如果从方程中解出或,并代入不等式组将会使问题复杂化.可
以利用的性质,通过建立不等关系缩小的取值范围,从而得到的可能取值.
由原方程知,.因为,所以将和分别代入中,得到不等式组


所以或,2,6,7,8.
代入原方程得,得,,,.
经检验知,,,,均为原方程的解.
22.1.13★★ 已知、、满足:

对于数,表示不大于的最大整数,.求、、的值.
解析 首先注意到,对于任意有理数,,所以.①+②+③得

即. ④
④-①得到,从而,;
④-②得到,从而,;
④-③得到,因此,.
故,,.
22.1.14★★ 解方程(其中表示不超过的最大整数).
解析 若是整数,则,于是非零整数都是原方程的解.
若不是整数,则,由题设得

所以.
设,则,.代入上式得

当时,,这样的整数不存在.
当时,,只有整数满足,此时.于是

综上所述,原方程的解为所有非零整数和-9.9.
22.1.15★★ 证明:对于任意实数,有

解析 设,其中,则有,.
当时,,,所以
,,
于是.
当时,,,所以


于是.
所以,对于任意实数,恒成立.
说明 本题中的等式有更为一般的形式:对任意实数,有

其中为大于l的一切正整数.
这个等式称为埃尔米特(Hermite)恒等式.
22.1.16★★ 设、为正整数,,求证:

解析 设为整数,且,则有

两边同时叠加,得到


所以

评注 对任意实数,有

(请读者自证)
22.1.17★★★ 如果是正整数,求证:
解析 任意正整数,总存在正整数,满足,不妨设,其中.
(1)当时,即.则

. ①
又因为,所以
. ②
由①、②式,得
,所以.
另一方面,



即.
故当时,等式成立.
(2)当时,



则. ③

,,

因为

所以
.即

所以. ④
由③、④式,得

另一方面,




所以.
故当时,等式亦成立.
综上所述,原等式成立.
22.1.18★★ 设、、是正实数,求的最小值.
解析 对于实数,有,所以




由于是整数,所以.
当,,时,.
故的最小值为4.
22.1.19★★ 在1,2,…,2005这2005个正整数中,有多少个可以表示成的形式,其中是正实数.(这里表示不超过的最大整数.)
解析 令,则,于是
,因为,所以,令,则可以表示数,,…,.
由于,,所以,欲求的数的个数为

22.1.20★★★ 将正整数中所有被4整除以及被4除余1的数全部删去,剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列:2,3,6,7,10,11,….数列的前项之和记为,其中1,2,3,….求
的值.(其中表示不超过的最大整数)
解析 易知,,,2,…,因此





所以


故,,从而,于是



22.1.21★★★★ 在,,,…,中,有多少个不同的整数?(其中,表示不超过的最大整数)
解析 设,则当2,3,…,1003时,



而,,,所以,从0到501的整数都能取到.
当1004,1005,…,2006时,有





所以,,,…,是互不相同的整数.
从而,在,,,…,中,共有个不同的整数.
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