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河南省洛阳市新安县2017年九年级数学竞赛试卷有答案
所属科目:竞赛试题    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2018/3/26  
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新安县2017年初中数学竞赛试卷
九年级
温馨提示:
1.本试卷共 8 页,三大题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。
2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚。
题号
一
二
三
总分数


1-10
11-20
21
22
23
24
25


分数









得分
评卷人





一、选择题(每小题4分,满40分)
下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确
答案的代号字母填入题前小括号内
1.下列说法中不正确的是( )
A.若 a 为任一有理数,则 a 的倒数是
B.若∣a∣=∣b∣,则 a=±b
C.x2=(-2)2,则 x=±2
D.x2+1 一定是正数
2.图中从三个方向看所得的图形所对应的直观图是( )
/
3.的值( )
A.是正数 B.是负数 C.是非负数 D.可为正也可为负
4.四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD
=BC;③OA=OC;④OB=OD,从中任选两个条件,能使四边形 ABCD 为平行四边形的选法有( )
A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种
5.在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆的图案,现将印有图案的一面朝下,混合后从中一次性随机抽取两张,则抽到的卡片上印有的图案都是轴对称图形的概率为( )
A. B. C. D.
6.如图所示,半径为 5 的☉A 中,弦 BC、ED 所对的圆心角分别是∠BAC,∠EAD.已知 DE=6,∠BAC+∠EAD=180°,则弦 BC 的弦心距等于( )
A. B.
C.4 D.3
7.如图所示,P 为☉o 的直径 BA 延长线上一点,PC与☉O相切.切点为 C.点 D 是☉O 上一点,连接PD.已知 PC=PD=BC.下列结论:①PD 与☉O 相切;②四边形 PCBD 是菱形;③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
8.如图,在平面直角坐标系中,放置一个半径为 1 的圆,与两坐标轴相切,若该圆沿 x 轴正方向滚动 2016 圈后(滚动时在 x 轴上不滑动),则该圆的圆心坐标为( )
(4032π+1,0) B.(4032π+1,1)
C.(4032π-1,0) D.(4032π-1,1)
9.如图所示,平行四边形 ABCD 中,AB:BC=3:2,∠DAB=60°,E 在 AB 上,且 AE:EB=1:2,F 是 BC 的中点,过 D 分别作 DP⊥AF 于 P,DQ⊥CE 于 Q,则 DP:DQ等于( )
A.3:4 B. 13 : 25 C. 13 : 26 D. 23 : 13

10.如图,菱形 ABCD 中,AB=2,∠B=60°,M 为 AB 的中点,动点 P 在菱形的边上从点 B 出发,沿 B→ C→D 的方向运动,到达点 D 时停止。连接 MP,设点 P 运动的路程为 x,MP2=y,则 y 与 x 之间的函数关系图象大致为( )
/

得分
评卷人





二、填空题(每小题 4 分,满 40 分)

关于 x 的方程的解为负数,则 a 的取值范围为 .
已知 abc≠0,且 a+b+c=0,则代数式的值为 .
若关于 x 的方程 ax2-2x+1=0 有两个实数根,则 a 的取值范围是 .
14.已知∠AOB=3∠BOC,射线 OD 平分∠AOC,若∠BOD=20°,则∠BOC 的度数为 .
15.如图所示,点 A(-1,m)和 B(2,m+33 )在反比例函数 y= 的图象上,直线 AB 与 x 轴交于点 C,则点 C 的坐标是 .
16.如图所示,在边长为 2 的等边三角形 ABC 中,点 E,F,G 分别为 AB,AC,BC 的中点,点 P 是线段 EF 上的一个动点,连结 BP,GP,则△BPG 的周长的最小值等于 .
/
17.如右图所示,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AB,BC上,且 AE=3 AB,将矩形沿直线 EF 折叠,点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处,连结 BP 交 EF 于点 Q,对于下列结论:
①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF 是等边三角形.其中正确的是 .
18.已知关于 x 的方程 2kx2-2x-3k-2=0 的两实数根一个小于 1,另一个大于 1,
则 K 的取值范围是 .
19.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴交于点(-2,0),(x 1 ,0),且 1
<x1 <2,与 y 轴的正半轴的交点在(0,2)的下方,判断下列结论:①4a-2b+c=0;②a<b<0;③2a+c>0;④2a-b+1>0,其中正确的结论有 个.
20.如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=5,点 E 为 BC 边上一个动点(不与 B,C重合),连接 AE,过点 E 作 EF⊥AE 交 CD 于点 F,则 CF 的取值范围是 .
/
得分
评卷人





解答题(共 5 个小题,满 70 分)

21.(10 分)如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2.在以 AB 的中点O 为坐标原点、AB 所在直线为 x 轴建立的平面直角坐标系中,将△ABC绕点 B 顺时针旋转,使点 A 旋转至 y 轴的正半轴上的 A 1 处。求图中阴影部分的面积.


(15 分)已知关于 x 的一元二次方程 2 x 2+4 x +k-1=0 有实数根,k 为正整数.(1)求 k 的值;
(2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x 的二次函数 y =2 x 2+4 x +k-1 的图象向下平移 8 个单位,求平移后的图象的解析式;
(3)在(2)的条件下,将平移后的二次函数的图象在 x 轴下方的部分沿 x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当直线 y =12 x +b(b<k)与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.

23.(15 分)如图①,在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(点 E 不与 A、B 重合),分别连结 ED、EC,可以把四边形 ABCD 分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的“强相似点”.
解决问题:
(1)如图①,∠A=∠B=∠DEC=45°,试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点,并说明理由;(2)如图②,在矩形 ABCD 中,A、B、C、D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图②中画出矩形 ABCD 的边上的强相似点;
(3)如图③,将矩形 ABCD 沿 CM 折叠,使点 D 落在 AB 边上的点 E 处,若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点,试探究 AB 与 BC 的数量关系.
/
24.(15 分)问题背景:已知在△ABC 中,AB 边上的动点 D 由 A 向 B 运动(与 A,B 不重合),同时,点 E 由点 C 沿 BC 的延长线方向运动(E 不与 C 重合),连接 DE 交 AC 于点 F,点 H 是线段 AF 上一点,求 的值.
(1)初步尝试
如图①,若△ABC 是等边三角形,DH⊥AC,且点 D,E 的运动速度相等,小王同学发现可以过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,先证 GH=AH,再证GF=CF,从而求得 的值为 ;
(2)类比探究如图②,若在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°,且点 D,E
的运动速度之比是 3 : 1 ,求 的值;
(3)延伸拓展
如图③,若在△ABC 中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36°,记 =m,且点 D,E 的运动速度相等,试用含 m 的代数式表示的值(直接写结果,不必写解答过程)
/

25.(15 分)如图所示,已知抛物线 y =- x 2+2 x +3 与 x 轴交于两点(点 A 在点 B 的 左边),与 y 轴交于点 C,连结 BC.
(1)求 A、B、C 三点的坐标;
(2)若点 P 为线段 BC 上的一点(不与 B、C 重合),PM∥ y 轴,且 PM 交抛物线与点 M,交 x 轴于点 N,当△BCM 的面积最大时,求△BPN 的周长;(3)在(2)的条件下,当△BCM 的面积最大时,在抛物线的对称轴上存在点 Q,使得△CNQ 为直角三角形,求点 Q 的坐标。

/




新安县 2017 年初中数学竞赛试卷
九年级参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 4 分,共 40 分)
1-5 ACBBC 6-10 DABDB
二、填空题(每小题 4 分,共 40 分)
11.a>0 且 a≠2 12.3 13.a≤1 且 a≠0
14.10 0 或 20 0 15.(1,0) 16.3
17.①④ 18.k>0 或 k<-4 19.4
20.0<CF≤ 1225
三、解答题(共 70 分,共 5 个小题)
21.解:因为∠ACB=90°,AC=BC=2,所以 AB==,在△A′OB 中,因为 OB= A′B,所以∠A′BO=60°,则,,

所以
==……10分
22.解:(1)由题意,得△=16-8(k-1)≥0.∴k≤3. ∵K 为正整数,∴k=1,2,3. ……5 分
(2)当 k=1 时,方程 2x2+4x+k-1=0 有一个根为零;当k=2 时,因为 x1x2= 12 ,所以方程 2x2+4x+k-1=0 无整数根;当 K=3 时,方程 2x2+4x+k-1=0 有两个非零的整数根.综上
所述,k=1 和 k=2 不合题意,舍去;k=3 符合题意.当 k=3时,二次函数为 y=2x2+4x+2,把它的图象向下平移 8 个单位长度得到的图象的解析式为 y=2x2+4x-6.……10 分
(3)设二次函数 y=2x2+4x-6 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,则 A(-3,0)B(1,0).依题意翻折后的图象如右图所示.当直线 y= 12 x +b 经过点 A 时,可得 b= ;当直线 y=x+b 经过点 B 时,可得 b=.由图像可知,符合题意的 b(b<3)的取值范围为<b< . ……15 分
23.解:(1)E 点是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点.理由如下:因为∠DEC=45°,所以∠DEA+∠CEB=135°;因为∠A=45°,所以∠ADE+∠AED=135°,所以∠ADE=∠CEB,所以△ADE∽△BEC,所以 E 点是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点.……5 分
(2)作法:以 CD 为直径作圆,它与 AB 交于 E 1、E 2点, E 1 、E 2 点即为所作.
/……10 分
(3)点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点,可分为两种情况.第一种情况:△MAE∽△EBC∽△MEC,则有:.过 E 点作 EN⊥MC 于 N点.由角平分线性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”易证 AE=EN=EB.则 E 为 AB 中点, AMME = 12 ,∠MEA=∠ECB=30°,,.
第二种情况:△MAE∽△EBC∽△CEM,则∠CEB=∠ ECM,CM∥EB,与题意不符,假设不成立.综上所述,.………15 分
24.解:(1)2; ……5 分
(2)如图 2,过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,则∠ADG=∠B=90°. ∵∠BAC=∠ADH=30°,∴∠HGD=∠HDG=60°. ∴AH=DH=GH=GD,AD=GD由题意可知,AD=CE,∴GD=CE.
∵DG∥BC,∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF. ∴△GDF≌△CEF.∴GF=CF. ∴GH+GF=AH+CF.即 HF=AH+CF.
∴ = 2. ……10 分
(3)=.
解法提示:如图 3,过点 D 作 DG∥BC,交 AC 于点 G,则 AD=AG,DH=DG,AD=EC.
∴ = m .
∴GH=mAH.
又∵DG∥BC,∴ =m .
∴=m.
∴FG=mFC.
∴GH+FG=m(AH+FC)=m(AC-HF).
即 HF=m(AC-HF).
得=. ………15 分
25.解:(1)设 x=0,得 y=3,所以点 C 坐标为(0,3),设 y=0,得 x1 =-1,x2 =3,所以点 A 的坐标为(-1,0),点 B的坐标为(3,0).……4 分(2)易求得直线 BC 的解析式为 y=-x+3,设点 P 的坐标为(x,-x+3)(0<x<3),因为 PM∥y 轴,所以点 M 坐标为(x,-x 2 +2x+3),所以 PM=(-x2+2x+3)-(-x+3)=-x2+3x.因为 S△BCM=S△PCM+S△PBM = ×PM×3=PM ,所以当 x= 时,S △BCM 最大.此时点 P 的坐标为( , ),所以 PN = ,BN= ,BP= ,所以 C △BPN =3+.……10分
(3)抛物线的对称轴为 x=1,设点 Q 的坐标为(1,a),所以 CQ2=(a-3)2+1=a2-6a+10,QN2=a2+ ,CN2= ①当∠CNQ=90°时,即 CQ2=QN2+CN2时,a2-6a+10=a2+ + ,解得:a= ,此时点 Q 的坐标为(1,)
②当∠QCN=90°时,即 CQ2+CN2=QN2,a2-6a+10+=a2+,解得:a= ,此时点 Q 的坐标为(1,).
③当∠CQN=90°时,即 CQ2+QN2=CN2,a2-6a+10+a2+ 1 = ,解得:a1= ,a2=此时点 Q 的坐标为(1,)或(1,).
综上所述,当△CNQ 为直角三角形时,点 Q 的坐标为(1,)或(1,)或(1,)或(1,)……15 分
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