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第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛九年级A卷复赛(有答案)
所属科目:竞赛试题    文件类型:rar
类别:试题、练习
上传日期:2018/5/31  
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第15届地方复赛9年级A卷.doc
第15届地方复赛9年级A卷答案.doc

“第15届地方复赛9年级A卷.doc”内容如下:


第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛
---------------------------------------------------------------------------------
考生须知:
每位考生将获得一份试卷。考试期间,不得使用计算工具或手机。
本卷共120分,选择题每小题4分,填空题每小题5分,解答题共5小题,共50分。
3. 请将答案写在本卷上。考试完毕时,考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数,请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛A卷
(本试卷满分120分 ,考试时间90分钟 )
选择题(每小题4分,共40分)
1.用科学记数法可以表示为( )
A.8×10-1 B.8×10-2 C.2.3×10-1 D.2.3×10-2
如图,O为线段AB的中点,AB=4cm,P1、P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、
2.8cm、1.7cm,下列四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是(  )
A.P1 B.P2 C.P3 D.P4

第2题图 第3题图 第4题图
如图,圆上有A、B、C三点,直线l与圆相切于点A,CD平分∠ACB,且与l交于点D,
若=80°,=60°,则∠ADC的度数为( )
A.80° B.85° C.90° D.95°
如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:4,∠OCD=90°, 
  CO=CD.若点B的坐标为(1,0),则点C的坐标为(  )
A.(2,2) B.(2,4) C.(2,2) D.(4,2)
方程组的解的个数为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若等式(a、b为常数)成立,则a、b的值为(  )
A.a=4,b=-3 B.a=2,b=-1 C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=2
小梦每周有100元零用钱,一小块巧克力3元,一根棒棒糖2元.小梦的幸福值可以用公
式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示,则小梦一个月可达到的幸福值最高为(  )
A.300 B.405 C.416 D.450
如图,矩形台球桌ABCD,其中A、B、C、D处有球洞,已知DE=4,
CE=2,BC=,球从E点出发,与DC夹角为α,经过BC、AB、AD
三次反弹后回到E点,则关于tanα的说法下列正确的是(  )
A.≤tanα< B.<tanα< C.tanα= D.<tanα<3
如图,已知反比例函数y=的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D,与直
角边AB相交于C,连结AD、OC,若△ABO的周长为4+2,AD=2,
则△ACO的面积为(  )
A. B. C.1 D.2
将直线l1:y=x和直线l2:y=2x+1及x轴围成的三角形面积记为S1,直线l2:y=2x+1和
直线l3:y=3x+2及x轴围成的三角形面积记为S2,…,以此类推,直线ln:y=nx+n-1
和直线ln+1:y=(n+1)x+n及x轴围成的三角形面积记为Sn,记W=S1+S2+…+Sn,当n
越来越大时,你猜想W最接近的常数是(  )
A. B. C. D.

填空题(每小题5分,共30分)
已知a2-5a-1=0,则5(1+2a)-2a2=___________.
12.宜君手上有24张卡片,其中12张卡片作上“O”记号,另外12张卡片作上“X”记号.
右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形,且她打算从手上剩下的卡片中抽出一
张卡片,若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等,则她抽出记号为“O”
的卡片的概率是___________.
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD是经过A点的一条直线,且B、C在AD
的两侧,BD⊥AD于D,CE⊥AD于E,交AB于点F,CE=10,BD=4,则DE的长为_________.

第13题图 第14题图 第16题图
如图,将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b,然后把半圆沿直线b进行无滑动
滚动,直到半圆的直径与直线b重合为止,则圆心O运动路径的长度为  .
15.正数m,n满足m++4n=3,则的值为   .
已知正方形ABCD的边长为5,点E在BC边上运动,点G是DE的中点,EG绕点E顺
时针旋转90°得到EF,当CE=   时,点A、C、F在一条直线上.
三、解答题(共5小题,共50分)
17.解不等式:(8分)





如果有理数m可以表示成2x2-6xy+5y2(其中x、y是任意有理数)的形式,我们就称m
为“世博数”.那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗?请证明.(9分)







如图,要设计一本画册的封面,封面长40cm,宽30cm,正中央是一个与整个封面长宽比例
相同的矩形画.如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的,上、下边衬等宽,左、右边
衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度.(结果精确到0.1cm,参考数据≈2.236)(10分)




如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑,将其侧面抽象成如图②所示的几何图形,若
显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm,点P为眼睛所在位置,D
为AO的中点,连接PD,当PD⊥AO时,称点P为“最佳视角点”,作PC⊥BC,垂足C
在OB的延长线上,且BC=12cm.
(1)当PA=45cm时,求PC的长;(5分)



(2)若∠AOC=120°时,“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化?此时PC的
长是多少?请通过计算说明.(结果精确到0.1cm,参考数据:≈1.414,≈1.732)
(5分)



图① 图②






已知二次函数图象的顶点坐标为A(2,0),且与y轴交于点(0,1),B点坐标为(2,2),
点C为抛物线上一动点,以C为圆心,CB为半径的圆交x轴于M,N两点(M在N的左
侧).
(1)求此二次函数的表达式;(3分)
(2)当点C在抛物线上运动时,弦MN的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不发
生变化,求出弦MN的长;(4分)
(3)当△ABM与△ABN相似时,求出M点的坐标.(6分)

备用图



“第15届地方复赛9年级A卷答案.doc”内容如下:


九年级A卷答案
选择题(每小题4分,共40分)
1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.C 9.A 10.B
5.当x≥0,y≤0时,原方程组可化为:解得由于y≤0,所以此种情况不成
立;当x≤0,y≥0时,原方程组可化为:解得当x≥0,y≥0时,
无解;当x≤0,y≤0时,无解;因此只有一组解.
设巧克力和棒棒糖的数量分别为x,y,幸福值为W,根据题意得:3x+2y≤100,W=xy,∴y=,
∴3x+2≤100,∴W≤50x-x2=-(x-)2+,∵x,y为整数,∴x=16,y=26
时,W最大=xy=416.
如图,∵DE=4,CE=2,球从E点出发,与DC夹角为α,经过BC、AB、AD三次反弹后
回到E点,∴四个三角形相似,并且相对的两个三角形全等,
∴CF=BC=2,∴在Rt△CEF中,tanα==.
9.在Rt△AOB中,AD=2,AD为斜边OB的中线,∴OB=2AD=4,
由周长为4+2,得到AB+AO=2,设AB=x,则AO=2-x,
根据勾股定理得:AB2+OA2=OB2,即x2+(2-x)2=42, 整理得:x2-2x+2=0,
解得x1=+,x2=-,∴AB=+,OA=-,过D作DE⊥x轴,
交x轴于点E,可得E为AO中点,∴OE=OA=(-)(若OA=+,
求出结果相同),在Rt△DEO中,利用勾股定理得:
DE=(+),∴k=-DE?OE=-(+)×
(-)=-,∴S△AOC=|k|=.
将y=nx+n-1和y=(n+1)x+n联立得:解得:∴无论k取何
  值,直线ln和直线ln+1均交于定点(-1,-1),k≠1时,ln与ln+1的图象的示意图如图,

∵y=nx+n-1与x轴的交点为A(,0),y=(n+1)x+n与x轴的交点为B(,
0),∴Sn=S△ABC=×|AB|×|-1|=××1=,
当n=1时,结论同样成立.∴W=S1+S2+S3+…+Sn=
=(1-+-+…+)=
(1-)=.当n越来越大时,越来越接近与1.
∴越来越接近于,∴W越来越接近于.



填空题(每小题5分,共30分)
11.3 12. 13.6 14.5π 15. 16.
∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠BAD+∠CAD=90°,∵CE⊥AD于E,∴∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠BAD=∠ACE,∴△ABD≌△CAE(AAS),∴AE=BD=4,AD=CE=10,∴DE=AD-
AE=6.
由图形可知,圆心先向前走OO1的长度,圆心从O到O1的运动轨迹是一条直线,长度为
圆的周长,然后沿着弧O1O2旋转圆的周长,则圆心O运动路径的长度为:×2π×5+
×2π×5=5π.
15.∵m+4+4n=3,∴m+4+4n-2(+2)-3=0,
∴(+2)2-2(+2)-3=0,∴(+2-3)(+2+1)=0,
∴+2=3,+2)=-1(不合题意,舍去),∴原式==.
16.过F作FN⊥BC,交BC延长线于N点,连接AC,
∵∠DCE=∠ENF=90°,∠DEC+∠NEF=90°,∠NEF+∠EFN=90°,
∴∠DEC=∠EFN,∴Rt△FNE∽Rt△ECD,
∵DE的中点G,EG绕E顺时针旋转90°得EF,∴DE:EF=2:1,
∴CE:FN=DE:EF=DC:NE=2:1,∴CE=2NF,NE=CD=.
∵∠ACB=45°,∴当∠NCF=45°时,A、C、F在一条直线上.
则△CNF是等腰直角三角形,∴CN=NF,∴CE=2CN,
∴CE=NE=×=.∴CE=时,A、C、F在一条直线上.

解答题(共5小题,共50分)
17.解:∵y2+1>0,则原不等式可化为1+>1-,解得y>1.2.
18.解:是的.证明如下:∵m=2x2-6xy+5y2=(x-2y)2+(x-y)2,其中x、y是有理数,
∴“世博数”m=p2+q2(其中p、q是任意有理数),只需p=x-2y,q=x-y即可.
∴对于任意两个“世博数”,不妨设一个为a=j2+k2,另一个为b=r2+s2,其中j、k、r、
s为任意给定的有理数,则ab=(j2+k2)(r2+s2)=(jr+ks)2+(js-kr)2是“世博数”.
19.解一:设上、下边衬宽均为4xcm,左、右边衬宽均为3xcm,则(40-8x)(30-6x)=×40×30.
整理,得x2-10x+5=0,解之得x=5±2,∴x1≈0.53,x2≈9.47(舍去),
答:上、下边衬宽均为2.1cm,左、右边衬宽均为1.6cm.
解二:设中央矩形的长为4xcm,宽为3xcm,则4x×3x=×40×30,解得x1=4,x2=
-4(舍去),∴上、下边衬宽为20-8≈2.1,左、右边衬宽均为15-6≈1.6,
答:上、下边衬宽均为2.1cm,左、右边衬宽均为1.6cm.
20.解:(1)如图,当PA=45cm时,连接PO.∵D为AO的中点,PD⊥AO,∴PO=PA=45cm.
∵BO=24cm,BC=12cm,∠C=90°,∴OC=OB+BC=36cm,PC==27(cm);
(2)当∠AOC=120°,如图,过D作DE⊥OC交BO延长线于E,过D作DF⊥PC于F,
则四边形DECF是矩形.在Rt△DOE中,∵∠DOE=60°,DO=AO=12,
∴DE=DO?sin60°=6,EO=DO=6,∴FC=DE=6,DF=EC=EO+OB+BC=
6+24+12=42.在Rt△PDF中,易求得∠PDF=30°,
∴PF=DF?tan30°=42×=14,
∴PC=PF+FC=14+6=20≈34.64>27,
∴点P在直线PC上的位置上升了.
21.解:(1)设抛物线的表达式为y=a(x-2)2.∵将(0,1)代入得:4a=1,解得a=,
∴抛物线的解析式为y=(x-2)2.
(2)MN的长不发生变化.理由如下:
如图1所示,过点C作CH⊥x轴,垂足为H,连接BC、CN.
设点C的坐标为(a,).∵CH⊥MN,∴MH=HN.
∵HN2=CN2-CH2=CB2-CH2,∴HN2=[2-]2+(a-2)2-[]2=4.
∴HN=2.∴MN=4.∴MN不发生变化.
(3)①如图2所示,当点C与点A重合时.∵MN经过点C,∴MN为圆C的直径.∴MC=2.
∵点C(2,0),∴M(0,0).
②如图3所示,∵△ABM∽△ANB,∴,即AB2=AM?AN.
设AM=a,则4=a(a+4),解得:a1=-2+2,a2=-2-2(舍去),
又∵点A(2,0),∴2+(-2+2)=2.∴点M的坐标为(2,0).
③如图4所示,∵△ABN∽△AMB,∴AB2=AN?AM.
设AM=a,则4=a(a-4),解得:a1=2+2,a2=2-2(舍去).
又∵点A(2,0),∴2-(2+2)=-2.∴点M的坐标为(-2,0).



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