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第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛九年级B卷复赛(有答案)
所属科目:竞赛试题    文件类型:rar
类别:试题、练习
上传日期:2018/5/31  
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第15届地方复赛9年级B卷.doc
第15届地方复赛9年级B卷答案.doc

“第15届地方复赛9年级B卷.doc”内容如下:


第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛
---------------------------------------------------------------------------------
考生须知:
每位考生将获得一份试卷。考试期间,不得使用计算工具或手机。
本卷共120分,选择题每小题4分,填空题每小题5分,解答题共5小题,共50分。
3. 请将答案写在本卷上。考试完毕时,考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数,请化至最简。
九年级地方晋级赛复赛B卷
(本试卷满分120分 ,考试时间90分钟 )
选择题(每小题4分,共40分)
将4.31×10-5写成小数的形式,则其小数点后第四位数字是( )
A.0 B.1 C.3 D.4
如图,在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑,使它与图中阴影部分组成
的新图形为中心对称图形,该小正方形的序号是(  )
A.① B.② C.③ D.④
如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位
似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C,并把△ABC的边长放大到原来的2
倍.设点A′的对应点A的纵坐标是1.5,则点A′的纵坐标是(  )
A.3 B.-3 C.-4 D.4

第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
如图,已知∠MON=60°,OP是∠MON的角平分线,点A是OP上一点,过点A作ON的
平行线交OM于点B,AB=4.则直线AB与ON之间的距离是(  )
A. B.2 C. D.4
如图,圆O为△ABC的外接圆,其中点D在弧AC上,且OD⊥AC,若∠A=36°,∠C=
60°,则∠BOD的度数为( )
A.132° B.144° C.156° D.162°
6.已知,其中A、B为常数,则4A-B的值为(  )
A.7 B.9 C.13 D.5
如图,直线y1=kx+b过点A(0,2),且与直线y2=mx交于点P(1,m),则不等式组
mx>kx+b>mx-2的解集是(  )
A.x>1 B.0<x<2 C.0<x<1 D.1<x<2
8.如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC=2,O为AC中
点,若点D在直线BC上运动,连接OE,则在点D运动过程中,线段OE的最小值是为(  )
A. B. C.1 D. 

第7题图 第8题图 第9题图
9.如图,已知AD∥BC,AB⊥AD,点E、F分别在射线AD、BC上,若点E与点B关于AC
  对称,点E与点F关于BD对称,AB=1,则cos∠AGB等于(  )
A. B. C. D.
10.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,点A是函
数y=(x<0)图象上一点,AO的延长线交函数y=(x>0,
k是不等于0的常数)的图象于点C,点A关于y轴的对称点为A′,
点C关于x轴的对称点为C′,CC′交x轴于点B,连接AB、AA′、
A′C′.若△ABC的面积等于6,则由线段AC,CC′,C′A′,A′A所
围成的图形的面积等于(  )
A.8 B.10 C.3 D.4

填空题(每小题5分,共30分)
11.若2m=3,4n=8,则2m-2n的值是____________.
12.如图,将边长为2的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚,当正方形翻滚一周时,正
方形的中心O所经过的路径长为____________.
  
    第12题图 第13题图
如图,抛物线y=ax2-4和y=-ax2+4都经过x轴上的A、B两点,两条抛物线的顶点分别
为C、D.当四边形ACBD的面积为40时,a的值为_____________.
m、n是两个连续自然数,且q=mn,p=,则p的值是      .(填
“奇数”、“偶数”或“奇偶都可以”)
甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球,已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的
  ,乙箱内没有红球,丙箱内的红球占丙箱内小球总数的.小荣将乙、丙两箱内的球
全部倒入甲箱后,要从甲箱内取出一球,若甲箱内每个球被取出的机会相等,则小荣取出
的球是红球的概率为_____________. 如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,O是EG的中点,∠EGC的平
分线GH过点D,交BE于点H,连接OH,FH,EG与FH交于点M,
对于下面三个结论:①GH⊥BE;②S正方形ABCD:S正方形ECGF=1:;
③EM:MG=1:(1+),其中正确结论的序号为   .


解答题(共5小题,共50分)
请分别用配方法和因式分解法解方程:6x2+7x-3=0.(8分)
配方法: 因式分解法:






已知a,b,c,d四个数成比例,且a,d为外项.试说明点(a,b),(c,d)和坐标原点
  O(0,0)在同一条直线上.(9分)






如果有理数m可以表示成2x2-6xy+5y2(其中x、y是任意有理数)的形式,我们就称m为
“世博数”.证明:两个“世博数”a、b(b≠0)之商也是“世博数”.(10分)







如图,△ABC中,BD为AC边上的中线,BE平分∠CBD,AF⊥BE,分别交BC、BE、BD
于F、G、H.
(1)求证:CF=2DH;(4分)


(2)若AB=BC,cos∠BCA=,DE=4,求HD的长.(6分)





在平面直角坐标系中,以D(-4,)为圆心的⊙D与y轴相切于点Q,与x轴交于A、
B两点,其中点B坐标为(-1,0).以CD为对称轴的抛物线与⊙D交于A、B两点,点
C坐标为(-4,9),CD与x轴交于点H.
(1)求抛物线和直线AC的解析式;(3分)
(2)P为直线AC上方抛物线上一点,当S△APC=S△AHC时,求点P坐标;(4分)
(3)PM⊥AC于点M,PE⊥x轴于点E且与AC交于点N,△PMN的周长为l,求l的最大
值.(6分)



“第15届地方复赛9年级B卷答案.doc”内容如下:


九年级B卷答案
选择题(每小题4分,共40分)
1.A 2.B 3.B 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.B 10.B
7.由于直线y1=kx+b过点A(0,2),P(1,m),则有,解得
∴y1=(m-2)x+2.故所求不等式组可化为:mx>(m-2)x+2>mx-2,
不等号两边同时减去mx得,0>-2x+2>-2,解得:1<x<2.
8.设Q是AB的中点,连接DQ,∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE,∵AB=AC=2,O为AC中点,∴AQ=AO,∴△AQD≌△AOE(SAS),
∴QD=OE,∵点D在直线BC上运动,
∴当QD⊥BC时,QD最小,∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=45°,∵QD⊥BC,∴△QBD是等腰直角三角形,
∴QD=QB,∵QB=AB=1,∴QD=,∴线段OE的最小值是为.
9.如图,连接CE,设EF与BD相交于点O,由对称性可得,AB=AE=1,则BE=,
∵点E与点F关于BD对称,∴DE=BF=BE=,∴AD=1+,∵AD∥BC,AB⊥AD,  
 AB=AE,∴四边形ABCE是正方形,∴BC=AB=1,∴tan∠ADB=,
 在Rt△OED中,可设OD=x,OE= ,∴()2=x2+[]2,解得x=
,∴OE=,∵∠EBG+∠AGB=90°,
 ∠EBG+∠BEF=90°,∴∠AGB=∠BEF,
 又∵∠BEF=∠DEF,∴cos∠AGB==.
过A作AD⊥x轴于D,连接OA′,∵点A是函数y=(x<0)图象上一点,
∴设A(a,),∵点C在函数y=(x>0,k是不等于0的常数)的图象上,
∴设C(b,),∵AD⊥BD,BC⊥BD,∴△OAD∽△OCB,∴,
∵S△ADO=,S△BOC=,∴k2=,∴k=-,
∵S△ABC=S△AOB+S△BOC=×(-)?b+=6,∴k2-=12,
∴k2+k-12=0,解得:k=3,k=-4(不合题意舍去),
∵点A关于y轴的对称点为A′,点C关于x轴的对称点为C′,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°,
∴OA′,OC′在同一条直线上,∴S△OBC′=S△OBC==, ∵S△OAA′=2S△OAD=1,
∴由线段AC,CC′,C′A′,A′A所围成的图形的面积=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10.


填空题(每小题5分,共30分)
11. 12.π 13.0.16 14.奇数 15. 16.①③
13.∵抛物线y=ax2-4和y=-ax2+4都经过x轴上的A、B两点,∴点A、B两点的坐标分别
是(-,0)、(,0);又∵抛物线y=ax2-4和y=-ax2+4的顶点分别为C、
D.∴点C、D的坐标分别是(0,-4)、(0,4);∴CD=8,AB=,
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△ABC=AB?OD+AB?OC=AB?CD=×8×=40,
即×8×=40,解得a=0.16.
14.因为m、n是两个连续自然数,设m<n,则n=m+1,且q=mn,代入得:
p===m+1+m=2m+1;
因为m为自然数,所以2m为偶数,即2m+1为奇数.
设甲、乙、丙三箱子内原本都装有x个小球,则甲有个红球,丙有个红球,则一
共有+=(个)红球,甲箱内最后共有3x个小球,因此取出红球的概率为

∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCE=90°,同理可得CE=CG,∠DCG=90°,
∴△BCE≌△DCG,∴∠BEC=∠DGC,∵∠EDH=∠CDG,∠DGC+∠CDG=90°,
∴∠EDH+∠BEC=90°,∴∠EHD=90°,∴HG⊥BE,故①正确;
易证得△BGH≌△EGH,∴BH=EH,又∵O是EG的中点,∴HOBG,
设EC和OH相交于点N.设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,
CD=2a,∵OH∥BC,∴△DHN∽△DGC,∴,即,即a2+2ab
-b2=0,解得:a=b=(-1+)b,或a=(-1-)b(舍去),则=
-1;则S正方形ABCD:S正方形ECGF=(-1)2=3-2,故②错误;
∵EF∥OH,∴△EFM∽△OMH,∴,∴,
,∴,故③正确.
因此正确的结论是①③.

解答题(共5小题,共50分)
解:配方法:6x2+7x-3=0,x2+x=,(x+)2=+=,故x+=±,
解得:x1=-,x2=.
因式分解法:6x2+7x-3=0,6x2+9x-2x-3=0,3x(2x+3)-(2x+3)=0,(2x+3)(3x-1)=0,
解得x1=-,x2=.(只写了一种正确方法的得4分)
解:设经过(0,0)和(a,b)的直线是y=kx,则b=ak,则k=,设经过(0,0)和(c,
d)的直线的解析式是:y=mx,则d=cm,解得:m=,∵a,b,c,d四个数成比例,
∴=,∴k=m,则直线y=kx和直线y=mx是同一直线,即点(a,b),(c,d)和坐
标原点O(0,0)在同一条直线上.
19.证明:∵m=2x2-6xy+5y2=(x-2y)2+(x-y)2,其中x、y是有理数,∴“世博数”m=p2+q2
(其中p、q是任意有理数),只须p=x-2y,q=x-y即可.∴对于任意的两个“世博数”
a、b,不妨设a=j2+k2,b=r2+s2,其中j、k、r、s为任意给定的有理数,因此有:
==+也是
“世博数”.
(1)证明:取AF的中点M,连接MD,∵AD=DC,∴CF=2MD,且MD∥BC,
∴∠DMH=∠BFH,又∵∠BGH=∠BGF=90°,∠HBG=∠FBG, ∴∠BHG=∠BFH,
而∠DMH=∠BFH,∠DHM=∠BHG,∴∠DMH=∠DHM,∴DH=DM.
而CF=2MD,∴CF=2DH;
(2)解:过E作EN⊥BC于N,∵AB=BC,AD=DC,∴BD⊥AC,而BE平分∠CBD,
EN⊥BC,∴EN=DE=4,在Rt△CEN中,cos∠BCA=,∴设CN=3k,则CE=5k,
得EN=4k=4.∴k=1,CE=5,CD=9,在Rt△BCD中,
cos∠BCA=,∴BC=15,BD=12,
又∵∠BHG=∠BFH,∴BH=BF,设DH=x,则FC=2x,
BH=12-x,BF=15-2x.由12-x=15-2x,得x=3,∴HD=3.
21.解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+4)2+9.∵将B(-1,0)代入得:9a+9=0,解得;
a=-1,∴解析式为y=-(x+4)2+9,即y=-x2-8x-7.∵点A与点B关于x=-4对称,
B(-1,0)∴A(-7,0).设直线AC的解析式为y=kx+b.∵将A(-7,0)、C(-
4,9)代入得:解得:k=3,b=21,∴直线AC的解析式为y=3x+21.
(2)∵AH=3,CH=9,∴S△AHC=.∵S△APC=S△AHC,∴S△APC==3.
设p(a,-a2-8a-7),N(a,3a+21).则PN=-a2-8a-7-(3a+21)=-a2-11a
-28.连PA、PC,则S△APC=PN?AE+PN?EH=PN?AH=3,∴×(-a2-11a-28)
×3=3,解得a1=-5,a2=-6.∴点P(-5,8)或(-6,5).
(3)∵由(2)可知PN=-a2-11a-28=-(a+)2+.∴PN的最大值为.
∵EN∥CH,∴∠ACH=∠ANE.∵∠PNM=∠ENA,∴∠PNM=∠ACH.又∵∠PMN=
∠AHC=90°,∴△PMN∽△AHC.∴PM:MN:PN=HA:CH:CA=1:3:.
∴l=PN×.


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