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第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛八年级A卷复赛(有答案)
所属科目:竞赛试题    文件类型:rar
类别:试题、练习
上传日期:2018/5/31  
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第15届地方复赛8年级A卷.doc
第15届地方复赛8年级A卷答案.doc

“第15届地方复赛8年级A卷.doc”内容如下:


第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛
---------------------------------------------------------------------------------
考生须知:
每位考生将获得考卷一份。考试期间,不得使用计算工具或手机。
2. 本卷共120分,选择题每小题4分,填空题每小题5分,解答题共5小题,共
50分。
3. 请将答案写在本卷上。考试完毕时,考卷及草稿纸会被收回。
4. 若计算结果是分数,请化至最简。
八年级地方晋级赛复赛A卷
(本试卷满分120分 ,考试时间90分钟 )
选择题(每小题4分,共40分)
1.函数的自变量x的取值范围是( )
A.x≥0 B.x≠1且x≠2 C.x≥0且x≠2 D.x≥0且x≠2且x≠1
某车由甲地等速前往丁地,如图,过程是:自甲向东直行8分钟至乙后,
朝东偏南直行8分钟至丙,左转90°直行15分钟至丁.若此车由甲地
按原来的速度匀速向东直行可到达丁地,则此车程需要( )
A.19.5分钟 B.24分钟 C.25分钟 D.28分钟
3.如果等式(2x-3)x+3=1,则等式成立的x的值的个数为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.如右图,在一条笔直的小路上有一盏路灯,晚上小雷从点B处径直走到点A处再远离A处
时,小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是(  )
A. B. C. D.
如图,△ABC内有一点P,点D、E、F分别是点P关于AB、BC、AC对称的点.若△ABC
的内角∠BAC=70°,∠ABC=60°,∠ACB=50°,则∠ADB+∠BEC+∠CFA等于( )
A.180° B.270° C.360° D.480°
6.若实数x,y满足x-y+1=0且1<y<2,化简得( )
A.7 B.2x+2y-7 C.11 D.9-4y
如图,正三角形ABC的三边表示三面镜子,BP=AB=1,一束光线从点P发射至BC上R
点,且∠BPR=60°.光线依次经BC反射,AC反射,AB反射…一直继续下去.当光线第
一次回到点P时,这束光线所经过的路线的总长为(  )
A.6 B.9 C. D.27
8.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CE⊥AB于E,F为AD的中点,若∠AEF=54°,
则∠B的度数为(  )
A.54° B.60° C.66° D.72°

第5题图 第7题图 第8题图
如图,在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,P是AD上异于A的任意一点,设PB=m,
PC=n,AB=c,AC=b,则(m+n)与(b+c)的大小关系是(  )
A.m+n>b+c B.m+n<b+c C.m+n=b+c D.无法确定

第9题图 第10题图
如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=x上一点P(1,1),C为y轴上一点,连接PC,
线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD,过点D作直线AB⊥x轴,垂足为B,直线AB
与直线y=x交于点A,且BD=2AD,连接CD,直线CD与直线y=x交于点Q,则点Q的
坐标为(  )
A.(,) B.(3,3) C.(,) D.(,)

填空题(每小题5分,共30分)
11.已知a=,b=,则代数式(a+b)2-(a-b)2的值为____________.
12.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD
于点F,交AB于点G,连接EF,则线段EF的长等于   .
13.若关于x的方程的解为正数,则a的取值范围是_____________.
14.如图,点A(1,1),B(2,-3),点P为x轴上一点,当|PA-PB|最大时,点P的坐
标为_____________.

第12题图 第14题图 第16题图
15. 若a>0,b>0,且a≠b,a、b满足,则=_______.
16.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC上一点,BE∥AC,且DE⊥AD,若
BD=2,CD=4,则BE的长为_______________.
解答题(共5小题,共50分)
先化简,再求值:,其中x=3,y=4.(8分)








定义:如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,这个数i叫做虚数单位.那么和我们所
学的实数对应起来就叫做复数,表示为a+bi(a,b为实数),a叫这个复数的实部,b叫
做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似.
例如计算:(5+i)×(3-4i)=19-17i.
试一试:请利用学过的有关知识将化简成a+bi的形式.(9分)








如图,在平行四边形ABCD中,CE平分∠BCD,交AB边于点E,EF∥BC,交CD于点
F,点G是BC边的中点,连接GF,且∠1=∠2,CE与GF交于点M,过点M作MH⊥CD
于点H.求证:EM=FG+MH.(10分)













某超市在端午节前两天每天都花4000元购进咸肉馅和板栗馅粽子若干,已知这两种粽子
每个的进价相同,第一天超市将咸肉馅粽子按进价的2倍销售,板栗馅粽子在进价的基础
上提价50%销售,当天全部售完,发现咸肉馅粽子销售了1200个,共获利3200元.
(1)设这两种粽子的进价为每个a元,求a的值;(5分)
(2)如果要求咸肉馅粽子的数量不能超过板栗馅粽子数量的60%,且按第一天的销售价格
销售,那么销售利润最多是多少元?(5分)














在平面直角坐标系xOy中,边长为6的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴的
正半轴上,直线y=mx+2与OC,BC两边分别相交于点D,G,以DG为边作菱形DEFG,
顶点E在OA边上.
(1)如图①,当CG=OD时,求直线DG的函数表达式;(3分)
(2)如图②,连接BF,设CG=a,△FBG的面积为S.
①求S与a的函数关系式;(4分)
②判断S的值能否等于等于1?若能,求此时m的值,若不能,请说明理由.(6分)

图① 图②

“第15届地方复赛8年级A卷答案.doc”内容如下:


八年级A卷答案
选择题(每小题4分,共40分)
1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.A 7.B 8.D 9.A 10.D
3.当x+3=0时,x=-3;当2x-3=1时,x=2;当x=1时,(2x-3)x+3=1.
6.∵x-y+1=0,∴y=x+1,∵1<y<2,∴1<x+1<2,∴0<x<1,

=
=
=
=|2x+1|+2|x-3|=2x+1+2(3-x)
=7.
∵BP=AB=1,∠BPR=60°,∴PR=1,根据等边三角形的性质可知当光
线第一次回到点P时,光线经过的大致路线如图所示,
∴当第一次回到点P时,这束光线所经过的路线的总长为
1+2+1+2+1+2=9.
8.过F作FG∥AB∥CD,交BC于G.则四边形ABGF是平行四边形,所以AF=BG,即G
是BC的中点;连接EG,在Rt△BEC中,EG是斜边上的中线,
则BG=GE=FG=BC;∵AE∥FG,∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°,
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°,∴∠B=∠BEG=180°-108°=72°.
9.在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接EP,∵AD是∠A的外角平分线,
∴∠CAD=∠EAD,在△ACP和△AEP中,,
∴△ACP≌△AEP(SAS),∴PE=PC,在△PBE中,PB+PE>AB+AE,
∵PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,∴m+n>b+c.
10.过P作MN⊥y轴,交y轴于M,交AB于N,过D作DH⊥y轴,交y轴于H,
∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°,∴∠MCP+∠CPM=90°,∠MPC+∠DPN=90°,
∴∠MCP=∠DPN,∵P(1,1),∴OM=BN=1,PM=1,在△MCP和△NPD中,
∴△MCP≌△NPD(AAS),∴DN=PM,PN=CM,
∵BD=2AD,∴设AD=a,BD=2a,∵P(1,1),∴BN=2a-1,则2a-1=1,a=1,即BD=2.
∵直线y=x,∴AB=OB=3,在Rt△DNP中,由勾股定理得:PC=PD=,在Rt△MCP
中,由勾股定理得:CM=2,则C的坐标是(0,3),设直线CD的解析式是y=kx+3,
把D(3,2)代入得:k=-,即直线CD的解析式是y=-x+3,
即解得:,即Q的坐标是(,).

填空题(每小题5分,共30分)
11.1 12. 13.a<1且a≠-1 14.(,0) 15. 16.
解方程得x=,∵原方程的解为正数,∴x>0,即>0,当x-1=0时,x=1,代
入得a=-1.此为增根,∴a≠-1,解得a<1且a≠-1.
作A点关于x轴的对称点A',连BA',交x轴于点P,此时|PA-PB|最大.
由A'(1,-1)、B(2,-3)可得直线BA'的解析式为y=-2x+1,
令y=0,则x=,即点P的坐标为(,0) .
15.∵,∴a-3=2-4b,∴a-5+4b=0,
∴()()=0,而a≠b,故=0,a=16b,原式=.
16.连AE,过A点作AF⊥BC于点F,过点E作EG⊥CB的延长线于点G,∵BD=2,CD=4,
∴BC=6,由题意得BF=CF=AF=3,DF=1,AB=,∴在Rt△ADF中AD=.设
GE=GB=x,则BE=,GD=x+2,ED2=x2+(x+2)2,AE2=ED2+AD2=
x2+(x+2)2+10,又在Rt△ABE中,AE2=BE2+AB2=2x2+()2=
2x2+18,∴x2+(x+2)2+10=2x2+18,解得x=1,∴BE=.

解答题(共5小题,共50分)
17.解:原式=+=+3++
=2+4,当x=3,y=4时,原式=2+4=2+8.
18.解:.
19.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠1=∠ECF,
∵EF∥BC,∴四边形BCFE是平行四边形,∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠ECF,
∴∠BCE=∠1,∴BC=BE,∴四边形BCFE是菱形.∵∠1=∠ECF,∠1=∠2,
∴∠ECF=∠2,∴CM=FM,又∵MH⊥CD,连接BF交CE于点O,∵G是BC中点,
∴CG=CB,∵CH=CF,∴CG=CH,在△CGM和△CHM中,
∴△CGM≌△CHM(SAS),∴∠CGM=∠CHM=90°,即FG⊥BC,
∴CF=BF,∵BC=CF,∴BC=CF=BF,∴△BCF是等边三角形,
∴∠BFC=60°,∴∠2=∠BFG=30°,∵BF⊥CE,
∴OM=MH,∵OE=OC=FG,∴EM=FG+MH.
20.解:(1)设这两种粽子的进价为每个a元,则1.5a×+1200×2a-4000=3200, 
  解得:a=2.

(2)由(1)知粽子的进价为每个2元,则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000
个,设利润为W元,销售板栗粽子x个,咸肉馅棕售价4元/个,板栗粽售价3元/个,根
据题意得:W=4(2000-x)+3x-400=-x+4000,∵2000-x≤60%x,∴x≥1250,∵-1<
0,∴W随x的增大而减小,∴当x=1250时,W最大,最大值为W=-1250+4000=2750.
21.解:(1)∵将x=0代入y=mx+2得;y=2,∴点D的坐标为(0,2).
∵CG=OD=2,∴点G的坐标为(2,6),将点G(2,6)代入y=mx+2得:2m+2=6.
解得:m=2.∴直线DG的函数表达式为y=2x+2.
(2)①如图所示:过点F作FH⊥BC,垂足为H,延长FG交y轴于点N.
∵四边形DEFG为菱形,∴GF=DE,GF∥DE.∴∠GNC=∠EDO.
∴∠NGC=∠DEO.∴∠HGF=∠DEO.∴Rt△GHF≌Rt△EOD.
∴FH=DO=2.∴S△GBF=GB·HF==×2×(6-a)=6-a,∴S与a之
间的函数关系式为:S=6-a.
②当s=1时,则6-a=1,解得:a=5.∴点G的坐标为(5,6).
在△DCG中,由勾股定理可知DG=.
∵四边形GDEF是菱形,∴DE=DG=.在Rt△DOE中,由勾股定理可知
OE==>6.∴OE>OA,∴点E不在OA上,∴S≠1.
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