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第23届华罗庚金杯数学邀请赛决赛初一组练习题有答案
所属科目:竞赛试题    文件类型:rar
类别:试题、练习
上传日期:2018/7/20  
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23届初一组练习题.docx
第23届初一组答案.pdf

“23届初一组练习题.docx”内容如下:


第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组) 总分


第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题(初中一年级组·练习用)

一、填空题(每小题 10 分, 共 80 分)

1. 点O 为线段 AB 上一点, (AOC ( 10( , (COD ( 50( ,
A O B
则 (BOD ( 或 .
2.已知 m >0 ,且对任意整数 k,均为整数,则 m 的最大值为 .

3. [ x] 表示不超过 x 的最大整数,如[(1.3] ( (2 , [1.3] ( 1 .
已知 ,则 a 的取值范围是 .

4. 使 2n (1 和11n (121都是平方数的最小正整数 n 为 .
5. 在3( 3 的“九宫格”中填数,使每行每列及每条对角线上的 三数之和都相等.如图,有 3 个方格已经填的数分别为 3,
10,2018,则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和等 于 .
6. 已知某三角形的三条高线长 a,b,c 为互不相等的整数,则 a ( b ( c 的最小值 为 .
7. 16 张卡片上分别写着 1~16 这 16 个自然数,把这 16 张卡片分成 4 组,使得 每组卡片张数一样,每组卡片上所写数的和相等,且每组有两张卡片上的数 的和为 17,共有 种分法.(说明:不考虑组的顺序,也不考虑组内数字的 顺序.例如将 1~16 分为四组后,保持各组内数字不变,只改变组的顺序或组内数字
的顺序,视为相同的分法.)
8. a ,b ,c 是三个不同的非零整数,则的最小值为 .


第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)


二、解答下列各题(每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程)

9. 现有两种理财方式供王老师选择.方案一:购买一款分红产品,前三年每年 年初交 10 万元,第 6 年年初返 6 万元,以后每年处返1.5 万元;方案二:购 买一款年利率 5%,满一年计息的储蓄产品,第一年初存款 10 万元,接下来 两年每年年初追加本金 10 万元,并将之前的本息全部续存.请问哪个选择更

划算?请说明理由.(参考数据:1.054 ( 1.053 ( 1.052 =3.47563125 )

10. 如图,考古发现一块正多边形的瓷砖残片(如图),瓷砖上已不能找到完整 的一个“角”,考古专家判定 D ,E 两点是该正多边形相邻的两个顶点,C , D 两个顶点之间隔有一个顶点. 经过测量 (CDE ( 135( , DE ( 13 厘米.原 正多边形的周长是多少厘米?


11. 一筐苹果,若分给全班同学每人 3 个,则还剩下 25 个;若全班同学一起吃, 其中 5 个同学每人每天吃 1 个,其他同学每人每天吃 2 个,则恰好用若干天 吃完.问筐里最多共有多少个苹果?
12. 给定一个 5×5 方格网,规定如下操作:每次可以把某行(或列)
中的连续 3 个小方格改变颜色(把白格变黑格,把黑格变白 格).如果开始时所有 25 个小方格均为白色,请问:能否经 过 8 次这样的操作,使得 5×5 方格网恰好变为黑白相间(如图 所示),且任何一个小方格在前 4 次操作中至多变色 1 次?如
果能,请给出一种操作方案(直接画出第 4,5,6,7 次操作后的方格网颜色); 如果不能,请给出证明.

三、解答下列各题(每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程)

13. 求证:不存在 3 个有理数的平方和等于 15.

14. 如图,一个由 41 个小方格组成的棋盘.先将其中的任 意 8 个方格染黑, 然后按照以下规则继续染色:如果 某个方格至少与 2 个黑格都有恰好 1 个公共顶点,那么 就将这个方格染黑.这样操作下去能否将整个棋盘都染 成黑色?

“第23届初一组答案.pdf”内容如下:


第 二十 三 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 参考答案 (初 中 一 年 级 组 )
- 1 -
第 二十 三 届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 · 练 习 用 参考答案
( 初 中 一 年 级 组)
一、填空 题 ( 每 小 题 10 分 , 共 80 分 )
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
120?

140?
23
0.5 0.4a ≤ <
或者
0.4 0.5a≤ <
264 11040? 9 105 215
二、解答下列各题 ( 每 小 题 10 分 , 共 40 分 , 要求写出简要过程 )
9. 【答案】: 方案二 更划算 .
解: 方案二 ,第 4, 5 年 年初 将之前的本息全部续存,到第 6 年 年初 时,共有本
息 5 4 31 0 ( 1 5 % ) 1 0 ( 1 5 % ) 1 0 ( 1 5 % ) 1 0 . 5 3 . 4 7 5 6 3 6 . 5? ? ? ? ? ? ? ? ?≈ ≈(万元),
提取 6 万元后仍有约 36.5 6 30.5 (万元)可不断续存,以后每年可提取利息约
30.5 5% 1.525 (万元).
在前期投入及回报一致的情况下,显然比 方案一 以后每年返 1.5 万元划算.
而且 方案二 还可以随时提取或部分提取 30.5 万元储蓄用于应急或者 选择 其
它更理想的理财 方式 ,而 方案 一无此选择权.
综上所述, 方案 二更划算.
10. 【 答案 】 156 厘米
【 解答 】 如图,设原图是正 n 边形,其中 C , D 间
的顶点为 F , 连 接 CF , DF ,则
( 2 )180nC F D F D E n ? ? ? ?,
因为 CF FD? ,
所以 1 8 0 1 8 02 C F DC D F F C D n? ? ? ? ? ? ?,
第 二十 三 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 参考答案 (初 中 一 年 级 组 )
- 2 -
所以 3 1 8 0 1 3 5nC D E F D E F D C n ? ? ? ? ? ? ?,
解得 12n? .
所以原本多边形是 正 12 边形,周长为 13 12=156? (厘米).
11. 【答案】 130.
【 解答 】
解答 1:设全班同学有 n 人,根据题意, 3 25n? 是 25n? 的倍数 , 则 3025nn 为整
数 .
又 3 0 1 2 5 6 5 1 6 51
2 5 2 2 5 2 2 5nnn n n? ? ? ? ? ? ? ?∵

6525n?∴ 是 奇数,
25n?∴ 最大 为 65, n 最大 为 35,
∴ 筐里最多共有 3 35 25 130? ? ? 个苹果 .
解答 2:设全班同学有 n 人,根据题意, 3 25n? 是 25n? 的倍数 , 则 3025nn 为整
数 .
记 3025n kn? , k 为 正 整数,则 30 (2 5)n k n? ? ?,两边同乘 2,得到
2 6 0 2 (2 5)n k n? ? ?, 2 60 2 5 65nn? ? ? ?, 2 5 6 5 2 ( 2 5 )n k n? ? ? ?,
( 2 1 ) ( 2 5 ) 6 5 5 1 3kn? ? ? ? ?.
2 1 1k 时, 2 5 65n , 35n? ,
2 1 5k 时, 2 5 13n , 9n? ,
2 1 13k 时, 2 5 5n , 5n? ,
2 1 65k 时, 2 5 1n , 3n? ,
n 为 35 时,苹果数最多,此时筐里的苹果数为 35 3 25 130? ? ? .
12. 【 答案 】 可以
【 解答 】 操作如下:
( 1)经过 4 次操作可染成如下:
第 二十 三 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 参考答案 (初 中 一 年 级 组 )
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( 2)继续操作
三、解答下列各题 ( 每题 15 分 , 共 30 分 , 要 求写出详细过程 )
13. 证明 : 注意 到
22()xx
,只需 考虑 非负有理数 的平方和.
假设存在 3 个有理数 nm , q
p
, tk , 其中 m n p q k t, , , , ,是自然数,
且 ( ) 1mn?, , ( ) 1pq?, , ( ) 1kt?, ,使得 2 2 215 ( ) ( ) ( )n q t
m p k? ? ?

那么 2 2 2 2 2 21 5 ( ) ( ) ( )m n p n p k m q k m p t? ? ?,
即 2 2 2 215 d a b c? ? ?,其中 a b c d, , , 是自然数.
( 1)如果 d 为偶数,那么经过有限次如下步骤,可使得 d 为奇数.
假设 12dd? ,若 a b c, , 两奇一偶,则 2 2 2abc 被 4 除余 2,而 215d 被 4
整除,矛盾!所以 a b c, , 都是偶数,故令 12aa? , 12bb? , 12cc? ( 1 1 1a b c, ,
都是自然数),所以 2 2 2 21 1 1 115 d a b c? ? ?(其中 111a b c a b c? ? ? ? ?).如果 1d 还
是偶 数,类似上述讨论,经过有限次后可得到奇数.
( 2)如果 d 为奇数,即 21dr ( r 是自然数),
那么 ? ?221 5 1 5 ( 2 1 ) 1 5 4 ( 1 ) 1d r r r? ? ? ? ?,即 215d 被 8 除余 7.
另一方面,若 a b c, , 为三个奇数,那么 2 2 2abc 被 8 除余 3;若 a b c, ,
为两偶一奇,那么 2 2 2abc 被 8 除余 1 或 5;
第 5 次 第 6 次 第 7 次 第 8 次
第 二十 三 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 参考答案 (初 中 一 年 级 组 )
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矛盾!
因此,假设 不成立 ,故不存在 3 个有理数的平方和等于 15.
14. 【 答案 】 不可能
【理由】如右图 , 可以将棋盘上的方格分为两类 , 灰色方格
和白色方格 . 由染色规则可知 , 两类方格的染色互不影响,
因此需要分别考虑.
首先考虑灰色方格 . 将只属于 1 个黑色方格的顶点数量
称为 “ 边界顶点数 ” . 由染色的规则可以知道 , 每染一个 方
格, “ 边界顶点数 ” 不会增加 . 将所有灰色方格都染黑,此
时的 “ 边界顶点数 ” 为 20.因此灰色方格中初始染为黑色的至少需要 5 个.
再考虑白色方格.将所有白色方格都染黑, 此时的 “边界顶点数 ”为 16. 因
此白色方格中初始染为黑色的至少需要 4 个.
所以初始染色方格数为 8 时,无法将整个棋盘都染成黑
色.初始染色方格数为 9 时,如右图所示,将蓝色和红色方
格作为初始的染黑方格,可以将整个棋盘染黑.
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