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第23届华罗庚金杯数学邀请赛决赛初二组练习题有答案
所属科目:竞赛试题    文件类型:rar
类别:试题、练习
上传日期:2018/7/20  
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23届初二组练习题.docx
第23届初二组答案.pdf

“23届初二组练习题.docx”内容如下:


第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 (初中二年级组) 总分

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题(初中二年级组·练习用)

一、填空题(每小题 10 分, 共 80 分)
1. 计算 .
2. 一块正三角形草坪边长为 12 米,三个顶点处都安有喷水装置,每个喷水装
置都可以从三角形的一边到另一边旋转 60o来回喷水.假定三个喷水装置 的射程相等,要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖,那么被重复喷水的 最小面积是 平方米.


3. 从 (2,( 3,( 4,( 5 这四个数中,任取两个数 p, q( p ( q) ,构成函数 y ( px ( 2 和
y ( (x ( q ,如果这两个函数图象的交点在直线 x ( 2 的左侧,那么这样的有 序数对 ( p, q) 共有 个.


4. 设 p 为质数,如果二次方程 x2 ( 2 px ( p2 ( 5 p ( 1 ( 0 的两个根都是整数,那么
p 可能取的值有 个.

5. 如果(其中 n 是整数,且1986≤n≤2018 ),那么满足条件的 n 的
个数是 .


6. 如图所示,在正六边形 ABCDEF 内放有一个正方形
MNPQ ,正方形的顶点分别在正六边形的 4 条边上, 且 MN //BC .若正方形 MNPQ 的面积为12 (6平方
厘米,则正六边形 ABCDEF 的面积是 平方厘米.


7. 将 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 这 11 个数排成一行,使得任意 5
个相邻的数的和都是 5 的倍数.那么这样的排列方法有 种.


8. 四张卡片,每张写着一个自然数,任取 2 张,或者 3 张,或者 4 张,把卡
片上的数求和,可以得到 11 个不同的和,那么 4 张卡片上所有数的和最小 为 .
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)

二、解答下列各题(每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程)

9. 有 A ,B 两队野外徒步旅行,A 队在 B 队的西偏北 45 度处,两队相距8 千 米.如果 A 队向东继续行走, B 队同时沿西偏南 45 度路线行走,且 A 队与 B 队的速度比是 ,求 A , B 两队最近时的距离.

10. 如果实数 x, y, z 同时满足关系式 x( y2 ( z) ( z(z ( xy) , y(z2 ( x) ( x(x ( yz) ,

z(x2 ( y) ( y( y ( zx) ,那么,实数 x, y, z 是否一定都相等?请给出证明.


11. 如图,在四边形 ABCD 中,(ABC ( (BCD ( 120( ,

AB ( BC . 对角线 AC , BD 相交于点 E . 若 AE ( 3CE ,求证: AB ( 2CD .


12. 从 76 个连续自然数 1,2,…,76 中任取 39 个数,其中必有 2 个数的差是

p ,求 p 的值.


三、解答下列各题(每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程)


13. 如图,在五边形 ABCDE 中, AB ( AE ( 1 , (CAD ( 45( , E D

(E ( (EAB ( (B ( 90( ,求点 A 到直线CD 的距离. C


A B
14. 如图,一个由 81 个小方格组成的9 ( 9 网格.先将其中的 任意 n 个方格染黑,然后按照以下规则继续染色:如果某 个方格至少与 2 个黑格都恰好有 1 个公共顶点,那么就
将这个方格染黑.现在要按照这个方法将整个棋盘都染 成黑色,那么 n 的最小值是多少?说明你的结论.




“第23届初二组答案.pdf”内容如下:


第 二十 三 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 参考答案 (初 中 二 年 级 组 )
- 1 -
第 二十 三 届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题 · 练习用 参考答案
( 初 中 二 年 级 组)
一、填空 题 ( 每 小 题 10 分 , 共 80 分 )
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 2018 1? 24π 36 3? 5 2 8 33
2
2304 14
二、解答下列各题 ( 每 小 题 10 分 , 共 40 分 , 要求写出简要过程 )
9. 【答案】 A , B 两队最近时的距离是 16105 千米.
【解答】如图,以 B 队初始位置为原点,正东、正北方向为 x 轴和 y 轴的正
方向,建立平面直角坐标系, (0,0)B , ( 8,8)A? .不妨
设 B 队的速度为 1,那么 A 队的速度为 2 ,经过时间 t
后, B 队所在位置是
1 22( , )B t t
, A 队所在位置是
1( 8 2 ,8)At ,于是此时两队的距离 d 满足
2 2 2 222( 8 2 ) ( 8 ) 5 16 2 12 8d t t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ?,当 825t? 时, d 取到最
小值 512 16 1055? 千米.
10. 【答案】 ,,xyz 一定都相等.
【证 明】将原关系式变形,得 ( ) ( )xy y z z z x? ? ?① , ( ) ( )yz z x x x y? ? ?② ,
( ) ( )zx x y y y z? ? ?③ .
( 1)当 ( )( )( ) 0x y y z z x? ? ? ?时,不妨设 xy? ,由 ③ 得 0y? 或者 yz? .若 yz? ,
则 x y z ;若 0y? ,有 0x? ,代入 ① ,得 0z? 或者 0zx ,即 0x y z? ? ? .
( 2)当 ( )( )( ) 0x y y z z x? ? ? ?时,将 ①②③ 相乘得 ( 1) 0xyz xyz ,即 0xyz? 或
1xyz? .如果 0xyz? ,不妨设 0y? ,由( 1)知 0z ? 或者 zx? ,矛盾!如果 1xyz? ,
y
x
A1
B1
B
A
第 二十 三 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 参考答案 (初 中 二 年 级 组 )
- 2 -
不妨设 x y z≥ ≥ ,显然 0x? .假设 xy? ,考虑 ② 式,有 ( ) 0x x y ,又 1 0yzx ,
0zx ,所以 ( ) 0yz z x .矛盾!所以 x y z .
证毕!
11. 【证明】作 .BM AC M? 于
因为 △ ABC 中, AB BC? , =120ABC ,
所以 , 3 0A M C M C A B A C B? ? ? ? ? ?.
因此 2AB BM? .
由于 30ACB? ? ? ,所以 90ACD? ? ? .
又由 3AE CE? 和 AM CM? 得: 3AM ME CE , 即 3CM ME CE .
即 ( ) 3M E C E M E C E? ? ? 所以 22ME CE? ,故 ME CE? .
在 Rt△ BME 与 Rt△ DCE 中,
因为 ME CE? , BEM DEC? ,
所以 Rt△ BME ≌ Rt△ DCE .因此 BM CD? .
由于 2AB BM? (已证), 所以 2AB CD? .
12. 【答案】 p 的值为 1, 2, 19, 38.
【解答 1】 p 的值是 1, 2, 19, 38.
做抽屉,每个抽屉内有差为 p 的两个数 ,或仅有一个数:
当 39p≥ 时 , 有两类抽屉,
第一类,每个抽屉有 2 个非零自然数,差是 p : {76,76 }p? , {75,75 }p? , … ,
{ 2,2}p? , { 1,1}p? ,个数是 76p? ;
第二类,每个抽屉仅有 1 个不大于 p 的非零自然数,但与 p 的和大于 76:
{77 }p? , {78 }p? , … , {}p 个数是 76 2 ( 76 ) 2 76pp? ? ? ? ?.
此时,抽屉总数是 p 个. 从每个抽屉各取一个数,因为 39p≥ ,这些数中不
存 在差是 p 的两个数.
当 38p≤ 时,做抽屉:
{1, 1}p? ,{2, 2}p? ,{3, 3}p? ,{4, 4}p? … { ,2 }pp,
{2 1,3 1}pp ,{2 2,3 2}pp ,{2 3,3 3}pp ,… {3 ,4 }pp,
……,
第 二十 三 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 参考答案 (初 中 二 年 级 组 )
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7 6 7 6 7 6 7 62 1 1 , 2 1 1 , 2 1 2 , 2 1 2 , ,2 2 2 2p p p p p pp p p p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 76 762 ,222p p ppp ? ? ? ? ? ? ? ? ?.
① 若 76 76
22pp ?
,则抽屉到此为止,共有 38 个抽屉,从中任取 39 个,必有
2 个取自同一个有两个数的抽屉,差是 p . 所以, 1,2,19,38p? .
② 若 76 76
22pp ?
,则还有抽屉: 7 6 7 62 1 , 2 2 , , , { 7 5 } , { 7 6 }
22pppp? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

个数是 7676 2
2p p ?
.得到抽屉的个数是:
7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 67 6 2 7 6 7 6 3 82 2 2 2 2 2p p p p pp p p p p p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
其中, 76 76 76
2 2 2p p p? ? ? ? ? ? ? ?
,此时, 76 1
2p p ?≥
,抽屉的个数 ≥ 39 . 从其中 39
个抽屉各 取 1 个数,不存在两个数的差是 p .
所以, p 的值是 1, 2, 19, 38.
【解答 2】记 rkp 76 , pr 0 ,把 1 到 76 按照下面排成 p 行,
kppp
kpr
kp
kp
pkrprr
pkp
pkp
2
?

?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
)1(2
)1(222
)1(111
k 为偶数时,记 lk 2? (注 ,当 k 为偶数时,由于 76 是偶数, r 也是偶数),
则前 r 行可以取 1?l 个数,后 rp? 行可以取 l 个数 , 这
2382762 rrrrkprlp 个数任意两个数的差不等于 p .
k 为奇数时,记 12 lk (注 ,当 k 为奇数时,由于 76 是偶数, rp? 也是偶
数),则前 r 行可以取 1?l 个数,后 rp? 行也可以取 1?l 个数 , 这
2 ( 1 ) ( 2 1 ) 7 6( 1 ) 3 82 2 2 2 2l p l p p k p p r p p rlp ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?个数任意两个数
的差不等于 p .
当 0?r 时, 02?r 与 02 rp ,因此任取 38+1=39 个数时,任意两个数的差
第 二十 三 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 参考答案 (初 中 二 年 级 组 )
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不等于 p .
当 0?r 时, k 为奇数时,任取 238 rp 个数,任意两个数的差不等于 p .
当 0?r 且 k 为偶数,最多取 38 个数,任意两个数的差不等于 p ,任取 39 个
数,其中必有 2 个数的差是 p .
根据 19276 2 ,其有六个因子 76,38,19,4,2,1 .
1?p 时, 76?k ,偶数. 2?p 时, 38?k ,偶数. 4?p 时, 19?k ,奇数.
19?p 时, 4?k ,偶数. 38?p 时, 2?k ,偶数. 76?p 时, 1?k ,奇数.
因此 38,19,2,1?p 时满足要求.
三、解答下列各题 ( 每题 15 分 , 共 30 分 , 要求写出详细过程 )
13. 【答案】点 A 到直线 CD 的距离是 1.
【解答】如图,线段 CA 绕点 A 逆时针旋转 90? 至 AF ,连接 EF . 过点 A 作 CD
的垂线,垂足为 G ,即线段 AG 的长度为点 A 到直线 CD 的距离.
在 ABC△ 和 AEF△ 中,
1 + 3 = 9 0 4 5C A D? ? ? ? ? ? ?,
2 3 9 0 4 5C A D? ? ? ? ? ? ? ? ?,
所以 12 ? .
又因为 AB AE? , AC AF? ,
所以 ABC△ ≌ AEF△ .
所以 EF BC? ,且 90AEF B? ? ?.
所以 180AEF DEA? ? ? ? ?.
所以 D , E , F 三点共线.
在 ADF△ 和 ADC△ 中,
2 3 4 5D A F C A D? ? ? ? ? ? ? ? ?,
又因为 AC AF? , AD AD? ,
所以 ADF△ ≌ ADC△ .
因为 AE , AG 分别为全等三角形对应边 DF 和 CD 上的高,
32
1
G
F E D
C
BA
第 二十 三 届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 参考答案 (初 中 二 年 级 组 )
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所以 1AG AE .
14. 【答案】 n 的最小值是 17.
【解答】如右图,可以将棋盘上的方格分为两类,灰色
方格和白色方格. 由 染色规则可知,两类方格的染色
互不影响,因此需要分别考虑.
首先考虑灰色方格. 将只属于 1 个黑色方格的顶点数量
称为 “边界顶点数 ”.由染色的规则可以知道,每染一个…………………………
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