千教网
输入关键词,搜索您要的课件,教案,试题
您的位置: 千教网 >> 竞赛试题下载 >>2017年全国初中数学联合竞赛初二试题有答案

欢迎您到“千教网”下载“2017年全国初中数学联合竞赛初二试题有答案”的资源,本文档是pdf格式,无须注册即可下载,点击“本地下载”即可下载
2017年全国初中数学联合竞赛初二试题有答案
所属科目:竞赛试题    文件类型:pdf
类别:试题、练习
上传日期:2018/7/29  
相关资源:
广东省江门市2017-2018学年七年级数学上学期入学竞赛试题新人教版

安徽省六安市2017-2018学年七年级数学上学期学科竞赛试题新人教版

第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛八年级B卷复赛(有答案)

第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛九年级A卷复赛(有答案)

第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛九年级B卷复赛(有答案)

第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛八年级A卷复赛(有答案)

贵州省桐梓县2018年春季学期八年级数学竞赛题(有答案)

2018年全国初中数学竞赛(初二组)初赛试题(有答案)(扫描版)

2018年全国初中数学竞赛(初一组)初赛试题(有答案)(扫描版)

2018年全国初中数学竞赛(初三组)初赛试题(有答案)(扫描版)

宁波市鄞州XX中学2018届九年级上第二次学科竞赛数学试卷有答案

河南省洛阳市新安县2017年九年级数学竞赛试卷有答案

温馨提示:本站所有教学资源均是完全免费提供!内容简介下方即有下载连接!

下载步骤:直接点击即可下载

注意:1.源文件中的公式,图片,在下边的内容预览中被忽略!(文档内容预览在最下方)

    2.下载链接在下方,无需注册直接可下载!

文档内容预览:
  
2017年全国初中数学联合竞赛初二试题有答案(PDF版).pdf

“2017年全国初中数学联合竞赛初二试题有答案(PDF版).pdf”内容如下:


2017 年 全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案及评分标准
说明: 评阅试卷时,请依据本评分标准 .第一试,选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档;第二试各题,
请按照本评分标准规定的评分档次给分 .如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在
评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数 .
第一试
一、选择题 : (本题满分 42 分,每小题 7 分)
1. 已知实数 ,,abc满足 2 13 3 90a b c? ? ?, 3 9 72a b c? ? ? ,则 3 2bcab = ( )
A. 2. B. 1. C. 0. D. 1? .
【答】 B.
已知等式可变形为 2 ( 2 ) 3 (3 ) 9 0a b b c? ? ? ?, 3 ( 2 ) (3 ) 7 2a b b c? ? ? ?,解得 2 18ab ,
3 18bc , 所以 3 2bcab? 1.
2. 已知 实数 ,,abc满足 1abc? ? ? , 1 1 1 01 3 5a b c? ? ? ?,则 22( 1) ( 3)ab? ? ? ?2( 5)c? =
( )
A.125. B. 120. C. 100. D. 81.
【答】 C.
令 1ax , 3by , 5cz ,则 ( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) 1 0x y z a b c? ? ? ? ? ? ? ? ?,且
由 1 1 1 01 3 5a b c? ? ? ?得 1 1 1 0
x y z? ? ?
,所以 0xy yz zx ?.
所以 2 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) ( ) 2 ( ) 1 0 0a b c x y z x y z x y y z z x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.
3. 若正整数 ,,abc满足 abc 且 2( )abc a b c? ? ?,则称 ( , , )abc 为好数组 .那么,好数组的个数
为 ( )
A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
【答】 B.
若 ( , , )abc 为好数组,则 2 ( ) 6abc a b c c? ? ? ?,所以 6ab? .显然, a 只能为 1 或 2.
若 a = 2,由 6ab? 可得 2b? 或 3, 2b? 时可得 4c? , 3b? 时可得 52c? (不是整数);
若 a = 1,则 2(1 )bc b c? ? ? ,于是可得 ( 2)( 2) 6bc? ? ?,可求得 ( , , )abc =( 1, 3, 8)或( 1, 4,
5) .
综合可知:共有 3 个好数组,分别为( 2, 2, 4),( 1, 3, 8)和( 1, 4, 5) .
2017 年全国初中数学联合竞赛 (初二年级) 试题参考答案及评分标准 第 1 页(共 5 页)
4. 已知正整数 ,,abc满足 2 6 3 9 0a b c? ? ? ?, 260a b c? ? ? ? ,则 2 2 2abc = ( )
A. 424. B. 430. C. 441. D. 460.
【答】 C.
由已知等式消去 c 整理得 22( 9 ) 3 ( 1) 7 5ab? ? ? ?,所以 23( 1) 75b ,又 b 为正整数,解得 16b .
若 b = 1,则 2( 9) 75a ,无正整数解;
若 b = 2,则 2( 9) 72a ,无正整数解;
若 b = 3,则 2( 9) 63a ,无正整数解;
若 b = 4,则 2( 9) 48a ,无正整数解;
若 b = 5,则 2( 9) 27a ,无正整数解;
若 b = 6,则 2( 9) 0a ,解得 9a? ,此时 18c? .
因此, 9a? , b = 6, 18c? ,故 2 2 2abc? ? ? = 441.
5. 梯形 ABCD 中, //AD BC , 3AB? , 4BC? , 2CD? , 1AD? ,则梯形的面积为 ( )
A. 1023 . B. 1033 . C. 32. D. 33.
【答】 A.
作 //AE DC , AH BC? ,则 ADCE 是平行四边形,所以 1CE AD ,
2AE CD ,从而 4 1 3B E B C C E A B? ? ? ? ? ?,所以△ ABE 是等腰三角
形 ,底边 AE 边上的高为 223 1 2 2 .
所以△ ABE 的面积 112222S A E B E A H? ? ? ? ? ?,故可得 423AH? .
所以梯形的面积为 1 4 2 1 0 2(1 4 )2 3 3? ? ? ?.
6. 如图, 梯形 ABCD 中, //AD BC , 90A? ? ? ,点 E 在 AB 上,若 42AE? ,
28BE? , 70BC? , 45DCE? ? ? ,则 DE = ( )
A. 56. B. 58. C.60. D. 62.
【答】 B.
作 CF AD? ,交 AD 的延长线于点 F ,将 △ CDF 绕点 C 逆时针方向旋转 90? 至
△ CGB ,则 ABCF 为正方形,且 45ECG ECD? ? ? ? ?, CG D? , CE CE? ,所以, △ ECG ≌
△ ECD ,所以 EG ED? .
设 DE x? ,则 28DF BG x? ? ?, 7 0 9 8AD D F x? ? ? ?.
在 Rt △ EAD 中,有 2 2 242 (98 )xx? ? ?,解得 58x? .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题 (初二年级) 参考答案及评分标准 第 2 页(共 5 页)
DA
B CH E
FA
CB
E
D
G
二、填空题 : (本题满分 28 分,每小题 7 分)
1. 使得等式 311aa? ? ? 成立的实数 a 的值为 _______.
【答】 8 .
由所给等式可得 32(1 1 )aa? ? ? .令 1xa ,则 0x ? ,且 2 1ax ,于是有 3 2 2(1 ) ( 1)xx? ? ?,
整理后因式分解得 2( 3)( 1) 0x x x? ? ?,解得 1 0x? , 2 3x? , 3 1x (舍去),所以 1a 或 8a? .
验证可知: 1a 是原方程的增根, 8a? 是原方程的根 .
所以, 8a? .
2. 已知△ ABC 的三个内角满足 100A B C? ? ? ?,用 ? 表示 1 0 0 , ,C C B B A ? ?中的最小者,则
? 的最大值为 _______.
【答】 20? .
因为 ? 表示 1 0 0 , ,C C B B A ? ?中的最小者,所以 100 C , CB ?, BA ? ,所以
6 3 ( 1 0 0 ) 2 ( ) ( ) 3 0 0 ( ) 1 2 0C C B B A A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 20 ?.
又当 1 0 0 2 0C C B B A? ? ? ? ? ? ? ?,即 8 0 , 6 , 4 0C B C? ? ? ? ? ?时,满足题设条件,故 ? 可取到
20? .
因此, ? 的最大值为 20? .
3. 设 ,ab是两个互质的正整数,且 38abp ab? ? 为质数,则 p? .
【答】 7.
因为 ,ab互质,所以 ab? 与 a 和 b 都互质,而 38abp ab? ? 为质数, 所以 3 1,8
,
ab
pab
?
?

或 3 ,8
1.
ab p
ab
?
?

由 3 1,8
,
ab
pab
?
?

可得 1ab , 4p? ,不合题意;
由 3 ,8
1.
ab p
ab
?
?

可得 7a? , 1b? , 7p? ,符合题意;
所以 7p? .
4. 20 个都不等于 7 的正整数排列成一行, 若 其中任意连续若干 个数 之和都不等于 7, 则 这 20 个数之
和 的最小值 为 .
【答】 34.
2017 年全国初中数学联合竞赛 (初二年级 ) 试题参考答案及评分标准 第 3 页(共 5 页)
首先证明: 对于任意 7 个正整数 1 2 7, , ,b b b?, 其中一定存在若干个数(至少一个,也可以是全部)之
和为 7 的倍数 .
我们来 考虑如下 7 个正整数
1 1 2 1 2 3 1 2 7, , , ,b b b b b b b b b? ? ? ? ? ? ①
如果 ① 中 7 个正整数 有一个是 7 的倍数,则结论成立.
如果 ① 中 7 个正整数 没有一个是 7 的倍数,则它们除以 7 所得的余数只能为 1, 2, … , 6 这 6 种情况.所
以,其中一定有两个 正整数 除以 7 所得 的余数相同,不妨设为 12 ib b b? ? 和 12 jb b b? ?
( 17ij? ? ? ),于是 1ijbb? ?是 7 的倍数 .所以,结论成立 .
对于 20 个都不等于 7 的正整数 1 2 20, , ,a a a?中的任意 7 个数, 由上述结论可知,其中一定有若干个
数的和是 7 的倍数,又由题设知,它不等于 7,所以,它大于或等于 14.
又因为 20= 2× 7+ 6,所以
1 2 2 0 2 1 4 6 3 4a a a? ? ? ? ? ? ②
另外,当 7 14 8aa , 1 2 20, , ,a a a?中其余的数都为 1 时, 1 2 20a a a? ? = 34,即②式等号成立 .
所以, 1 2 20a a a? ? 的最小值为 34.
第二试
一 、 (本题满分 20 分) 设 A ,B 是两个不同的两位数,且 B 是由 A 交换个位数字和十位数字所得,如
果 22AB? 是完全平方数,求 A 的值 .
解 设 10A a b , ,ab为正整数且 19a , 19b , ab? , 则 10B b a ,
2 2 2 2 2 2 2( 1 0 ) ( 1 0 ) 9 9 ( ) 3 1 1 ( ) ( )A B a b b a a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.…………………… 5 分
因为 22AB? 是完全平方数,所以 ab? ,且 11 | ( ) ( )a b a b? ? ?.
又 18ab? ? ? , 1 18ab? ? ? ,所以 11ab . …………………… 10 分
于是 2 2 2 23 1 1 ( )A B a b? ? ? ? ?,故 ab? 也是完全平方数,所以 ab? = 1 或 4.
…………………… 15 分
如果 ab? = 1,结合 11ab 可求得 6a? , 5b? .
如果 ab? = 4,结合 11ab 可知没有正整数解 .
因此, 6a? , 5b? , A = 65. …………………… 20 分
二、(本题满分 25 分) 如图, △ ABC 中, D 为 BC 的中点, DE 平分 ADB? , DF 平分 ADC? ,
BE DE? , CF DF? , P 为 AD 与 EF 的交点 .证明: 2EF PD? .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题 (初二年级) 参考答案及评分标准 第 4 页(共 5 页)
证明 设 2ADB ?,则 180 2ADC ? , ADE BDE ? ? ?,
90A D F C D F ? ? ? ? ?. …………………… 5 分
由于△ BDE 是直角三角形, 所以 9 0 9 0E B D B D E ? ? ? ? ? ? ?,所以
EBD FDC? . …………………… 10 分
又因为 D 为 BC 的中点,所以 BD DC? ,所以 Rt △ BDE ≌ Rt △ DCF ,
所以 BE CF? . …………………… 15 分
又由 EBD FDC? 可知 //EB FD ,因此,四边形 BDFE 是平行四边形,故 //EF BD ,于是可得
PED BDE? , PFD CDF? . …………………… 20 分
又因为 BDE PDE? , CDF PDF? ,所以 PED PDE? , PFD PDF? ,所以
PE PD PF ,所以 2EF PD? . …………………… 25 分
三、(本题满分 25 分) 已知 ,,abc是不全相等的正整数,且 5
5abbc
为有理数,求 2 2 2abcabc 的最
小值 .
解 因为 ,bc是正整数, 5 是无理数,故 50bc .
而 2
2 2 2 25 ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) 5 ( )555 a b a b b c a b b c b a cb c b cbc? ? ? ? ?
为 有 理 数 , 所 以 2 0b ac ,故
2b ac? ,又 ,,abc不全相等,不妨设 abc . …………………… 10 分
又 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) ( ) ( )a b c a a c c b a c b a c b a c b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,所以 2 2 2abcabc =
a c b ,为整数 . …………………… 15 分
当 1c? 时, 2ab? 为完全平方数,则 4a? , 2 3( ) 0 3 324aaa c b a c a c c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?;
…………………… 20 分
当 2c? 时, 13a c b c? ? ? ? ?.
所以 3a c b? ? ? ,且当 4a? , 2b? , 1c? 时, 3a c b? ? ? .
因此, 2 2 2abcabc 的最小值为 3. …………………… 25 分
2017 年全国初中数学联合竞赛试题 (初二年级) 参考答案及评分标准 第 5 页(共 5 页)
P FE
D
A
B C
关于资源的下载性声明:千教网本身不提供任何资源的下载服务,也不会保存任何数据在服务器上。所有资源的下载,均源于互联网抓取。当该资源的原始地址失效时,您可能无法获取该资源。
关于本站 | 免责声明 | 广告联系 | 网站提交 | 网友留言 | 联系我们