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2018年山东省聊城市冠县中考数学一模试卷((有答案))
所属科目:中考试题    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2018/10/11  
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2018年山东省聊城市冠县中考数学一模试卷
  
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(3分)的值为(  )
A.±3 B.3 C.﹣3 D.9
【解答】解:的值为3.
故选:B.
 
2.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,如果sinA=,那么sinB的值是(  )
A. B. C. D.
【解答】解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,
∴A=30°,
∴B=60°,
∴sinB=.
故选:A.
 
3.(3分)如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体,其左视图是(  )

A. B. C. D.
【解答】解:从左面可看到一个长方形和上面一个长方形.
故选:A.
 
4.(3分)下列代数运算正确的是(  )
A.x?x6=x6 B.(x2)3=x6 C.(x+2)2=x2+4 D.(2x)3=2x3
【解答】解:A、x?x6=x7,原式计算错误,故本选项错误;
B、(x2)3=x6,原式计算正确,故本选项正确;
C、(x+2)2=x2+4x+4,原式计算错误,故本选项错误;
D、(2x)3=8x3,原式计算错误,故本选项错误.
故选:B.
 
5.(3分)一组数据2,6,2,5,4,则这组数据的中位数是(  )
A.2 B.4 C.5 D.6
【解答】解:从小到大排列此数据为:2、2、4、5、6,则这组数据的中位数是4,
故选:B.
 
6.(3分)如图,比例规是一种画图工具,它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成,利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OC,OB=3OD),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段a的两个端点上,当CD=1.8cm时,则AB的长为(  )

A.7.2 cm B.5.4 cm C.3.6 cm D.0.6 cm
【解答】解:∵OA=3OC,OB=3OD,
∴OA:OC=OB:OD=3:1,∠AOB=∠DOC,
∴△AOB∽△COD,
∴==,
∴AB=3CD=3×1.8=5.4(cm).
故选:B.
 
7.(3分)如图,M、N、P、Q是数轴上的四个点,这四个点中最适合表示﹣1的点是(  )

A.点M B.点N C.点P D.点Q
【解答】解:∵3.5<<4,
∴2.5<﹣1<3,
∴表示﹣1的点是Q点,
故选:D.
 
8.(3分)如图,在四边形ABCD中,点D在线段AB、BC的垂直平分线上,若∠D=110°,则∠B度数为(  )

A.110° B.115° C.120° D.125°
【解答】解:连接BD,
∵点D在线段AB、BC的垂直平分线上,
∴BD=AD,DC=BD,
∴∠A=∠ABD,∠C=∠CBD,
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠A+∠C,
∴∠ABC=(360°﹣∠D)÷2=125°.
故选:D.

 
9.(3分)如图,C、D是以AB为直径、O为圆心的半圆上的两点,OD∥BC,OD与AC交于点E,下列结论中不一定成立的是(  )

A.AD=DC B.∠ACB=90°
C.△AOD是等边三角形 D.BC=2EO
【解答】解:连接CD,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∵OD∥BC,
∴∠AEO=∠ACB=90°,
∴DO⊥AC,
∴AD=CD,故A、B正确;
∵AO=DO,不一定等于AD,因此C错误;
∵O为圆心,
∴AO:AB=1:2,
∵EO∥BC,
∴△AEO∽△ACB,
∴EO:AB=AO:BC=1:2,
∴BC=2EO,故D正确;
故选:C.

 
10.(3分)如图,在x轴的上方,直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转,若∠BOA的两边分别与函数y=﹣,y=的图象交于B、A两点,则tan∠OAB的值的变化趋势为:(  )

A.逐渐变小 B.逐渐变大 C.时大时小 D.保持不变
【解答】解:如图,分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴;
∵∠AOB=90°,
∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°,
∴∠BOM=∠OAN,
∵∠BMO=∠ANO=90°,
∴△BOM∽△OAN,
∴=;
设B(﹣m,),A(n,),
则BM=,AN=,OM=m,ON=n,
∴mn=,mn==4;
∵∠AOB=90°,
∴tan∠OAB=①;
∵△BOM∽△OAN,
∴====②,
由①②知tan∠OAB=为定值,
∴∠OAB的大小不变,
故选:D.

 
11.(3分)某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”,如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的联结点.当车辆经过时,栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置,其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计),其中AB⊥BC,EF∥BC,∠AEF=143°,AB=AE=1.2米,那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(  )(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

A. B. C. D.
【解答】解:如图,过点A作BC的平行线AG,过点E作EH⊥AG于H,
则∠EHG=∠HEF=90°,
∵∠AEF=143°,
∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=53°,
∠EAH=37°,
在△EAH中,∠EHA=90°,∠EAH=37°,AE=1.2米,
∴EH=AE?sin∠EAH≈1.2×0.60=0.72(米),
∵AB=1.2米,
∴AB+EH≈1.2+0.72=1.92≈1.9米.
故选:A.

 
12.(3分)下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第4个图形中所有正三角形的个数有(  )

A.160 B.161 C.162 D.163
【解答】方法一:
解:第一个图形正三角形的个数为5,
第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17,
第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53,
第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161,
故选B.

方法二:
,,,,…,
∴,
?(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+(a4﹣a3)+…+(an﹣an﹣1)=an﹣a1,
∴an﹣a1=4×(3+32+…+3n﹣1)=4×(3+32+…+3n﹣1)=(用错位相减法可求出)
∴,
∵a1=5,
∴.
 
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分,只要求写出最后结果)
13.(3分)已知==3,则(b+d≠0)的值是 3 .
【解答】解:由==3,得3b=a,3d=c,
∴.
故答案为:3
 
14.(3分)一个质地均匀的小正方体,6个面分别标有数字1,1,2,4,5,5,若随机投掷一次小正方体,则朝上一面的数字是5的概率为  .
【解答】解:∵一个质地均匀的小正方体有6个面,其中标有数字5的有2个,
∴随机投掷一次小正方体,则朝上一面的数字是5的概率==.
故答案为:.
 
15.(3分)如果关于x的方程x2﹣3x+m=0没有实数根,那么m的取值范围是  .
【解答】解:∵关于x的方程x2﹣3x+m=0没有实数根,
∴b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×m<0,
解得:m>,
故答案为:m>.
 
16.(3分)一个滑轮起重装置如图所示,滑轮的半径是10cm,当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时,重物上升 π cm(结果保留π).

【解答】解:l=
=πcm;
故答案为π.
 
17.(3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1、3,与y轴负半轴交于点C,在下面四个结论中:
①2a+b=0;
②c=﹣3a;
③只有当a=时,△ABD是等腰直角三角形;
④使△ACB为等腰三角形的a的值有三个.
其中正确的结论是 ①②③ .(请把正确结论的序号都填上)

【解答】解:①∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为﹣1,3,
∴AB=4,
∴对称轴x=﹣=1,
即2a+b=0.故①正确;
②∵A点坐标为(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,而b=﹣2a,
∴a+2a+c=0,即c=﹣3a.故②正确;
③要使△ABD为等腰直角三角形,必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半;
D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值.
当x=1时,y=a+b+c,
即|a+b+c|=2,
∵当x=1时y<0,
∴a+b+c=﹣2,
又∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为﹣1,3,
∴当x=﹣1时y=0,即a﹣b+c=0,
x=3时y=0,即9a+3b+c=0,
解这三个方程可得:b=﹣1,a=,c=﹣.故③正确;
④要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,
当AB=BC=4时,
∵BO=3,△BOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16﹣9=7,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c=﹣,
与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组,解得a=;
同理当AB=AC=4时,
∵AO=1,△AOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16﹣1=15,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c=﹣,
与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组,解得a=;
同理当AC=BC时,
在△AOC中,AC2=1+c2,
在△BOC中BC2=c2+9,
∵AC=BC,
∴1+c2=c2+9,此方程无解.
经解方程组可知只有两个a值满足条件.所以④错误.
故答案为:①②③.
 
三、解答题(本大题共8小题,共计69分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)
18.(7分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.
【解答】解:
∵解不等式①,得x≤1,
解不等式②,得x>﹣3,
∴不等式组的解是﹣3<x≤1,
在数轴上表示为:.
 
19.(8分)在正方形网格中,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,△ABC的三个顶点都在格点上,点A的坐标(4,4),请解答下列问题:
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出点A1、B1、C1的坐标;
(2)将△ABC绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后的△A2B2C2,并求出点A到A2的路径长.

【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求,

A1(﹣4,4)、B1(﹣1,1)、C1(﹣3,1);

(2)如图所示,△A2B2C2即为所求,
∵CA==、∠ACA2=90°,
∴点A到A2的路径长为=π.
 
20.(8分)如图,在?ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,BE∥AC,CE∥BD,△ABO是等边三角形,试判断四边形BECO的形状,并给出证明.

【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,
∵△ABO是等边三角形,
∴AO=BO,
∴BO=CO=DO=AO,
又∵BE∥AC,CE∥BD,
∴四边形BECO是平行四边形,
∴四边形BECO是菱形.
 
21.(8分)为了“绿色出行”,王经理上班出行由自驾车改为乘坐地铁出行,已知他家距上班地点21千米,他用地铁方式平均每小时出行的路程,比用自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多5千米,他从家出发到达上班地点,地铁出行所用时间是自驾车方式所用时间的,求王经理地铁出行方式上班的平均速度.
【解答】解:设自驾车平均每小时行驶的路程为xkm,则有:
×=
解得:x=15
经检验:x=15是原方程的解且符合题意,
则地铁的速度为:15×2+5=35(km/h)
答:王经理地铁出行方式上班的平均速度是35km/h
 
22.(8分)某校决定在4月7日开展“世界无烟日”宣传活动,活动有A社区板报、B集会演讲、C喇叭广播、D发宣传画四种宣传方式.学校围绕“你最喜欢的宣传方式是什么?”在全校学生中进行随机抽样调查(四个选项中必选且只选一项),根据调查统计结果,绘制了两种不完整的统计图表:
选项
方式
百分比

A
社区板报
35%

B
集会演讲
m

C
喇叭广播
25%

D
发宣传画
10%

请结合统计图表,回答下列问题:
(1)本次抽查的学生共 300 人,m= 30% ,并将条形统计图补充完整;
(2)若该校学生有1500人,请你估计该校喜欢“集会演讲”这项宣传方式的学生约有多少人?
(3)学校采用抽签方式让每班在A、B、C、D四种宣传方式在随机抽取两种进行展示,请用树状图或列表法求某班所抽到的两种方式恰好是“集会演讲”和“喇叭广播”的概率.

【解答】解:(1)本次调查的学生共有105÷35%=300(人),m=1﹣(35%+25%+10%)=30%,
B项目的人数为:300×30%=90(人),
补全条形图如下:

故答案为:300,30%;

(2)1500×30%=450(人),
答:估计该校喜欢“集会演讲”这项宣传方式的学生约有450人;

(3)画树状图为:

共有12种等可能的结果数,其中所抽到的两项方式恰好是“集会演讲”和“喇叭广播”的结果数为2,
∴所抽到的两种方式恰好是“集会演讲”和“喇叭广播”的概率为=.
 
23.(8分)某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下,大力开展科技扶贫工作,帮助农民组建农副产品销售公司,某农副产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示);该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段,生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡,所获毛利润为w万元.(毛利润=销售额﹣生产费用)

(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式;
(2)求w与x之间的函数关系式;并求年产量多少万件时,所获毛利润最大?最大毛利润是多少?
(3)由于受资金的影响,今年投入生产的费用不会超过360万元,今年最多可获得多少万元的毛利润?
【解答】解:(1)图①可得函数经过点(100,1000),
设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0),
将点(100,1000)代入得:1000=10000a,
解得:a=,
故y与x之间的关系式为y=x2.
图②可得:函数经过点(0,30)、(100,20),
设z=kx+b,则,
解得:,
故z与x之间的关系式为z=﹣x+30;

(2)W=zx﹣y=﹣x2+30x﹣x2
=﹣x2+30x
=﹣(x2﹣150x)
=﹣(x﹣75)2+1125,
∵﹣<0,
∴当x=75时,W有最大值1125,
∴年产量为75万件时毛利润最大,最大毛利润为1125万元;

(3)令y=360,得x2=360,
解得:x=±60(负值舍去),
由图象可知,当0<y≤360时,0<x≤60,
由W=﹣(x﹣75)2+1125的性质可知,
当0<x≤60时,W随x的增大而增大,
故当x=60时,W有最大值1080,
答:今年最多可获得毛利润1080万元.
 
24.(10分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,D是边AB上一点,以BD为直径的⊙O经过点E,且交BC于点F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若BF=6,⊙O的半径为5,求CE的长.

【解答】(1)证明:连接OE.
∵OE=OB,
∴∠OBE=∠OEB,
∵BE平分∠ABC,
∴∠OBE=∠EBC,
∴∠EBC=∠OEB,
∴OE∥BC,
∴∠OEA=∠C,
∵∠ACB=90°,
∴∠OEA=90°
∴AC是⊙O的切线;

(2)解:连接OE、OF,过点O作OH⊥BF交BF于H,
由题意可知四边形OECH为矩形,
∴OH=CE,
∵BF=6,
∴BH=3,
在Rt△BHO中,OB=5,
∴OH==4,
∴CE=4.


 
25.(12分)如图,抛物线y=ax2+x+c过A(﹣1,0),B(0,2)两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)M为抛物线对称轴与x轴的交点,N为x轴上对称轴上任意一点,若tan∠ANM=,求M到AN的距离.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAB为等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+x+c过A(﹣1,0),B(0,2)两点,

∴,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;
(2)由(1)有,抛物线解析式为y=﹣x2+x+2;
∴抛物线对称轴为x=1,
∴M(1,0),
∴AM=2,
∵tan∠ANM=,
∴,
∴MN=4,
∵N为x轴上对称轴上任意一点,
∴N(1,4),
∴AN==2,
设M到AN的距离为h,
在Rt△AMN中, AM×MN=AN×h,
∴h===,
∴M到AN的距离;
(3)存在,
理由:设点P(1,m),
∵A(﹣1,0),B(0,2),
∴AB=,AP=,BP=,
∵△PAB为等腰三角形,
∴①当AB=AP时,
∴=,
∴m=±1,
∴P(1,1)或P(1,﹣1),
②当AB=BP时,
∴=,
∴m=4或m=0,
∴P(1,4)(此时点A,B,P三点共线,故舍去)或P(1,0);
③当AP=BP时,
∴=,
∴m=,
∴P(1,);
即:满足条件的点P的坐标为P(1,1)或P(1,﹣1)或P(1,0)或P(1,).
 
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