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2018年湖北省荆门市中考数学三模试卷((有答案))
所属科目:中考试题    文件类型:doc
类别:试题、练习
上传日期:2018/10/11  
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2018年湖北省荆门市中考数学三模试卷
一.选择题(每题3分,计36分)
1.(3分)中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作,根据规划,“一带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人,这个数用科学记数法表示为(  )
A.44×108 B.4.4×109 C.4.4×108 D.4.4×1010
【解答】解:4 400 000 000=4.4×109,
故选:B.
 
2.(3分)下列各式计算正确的是(  )
A. =1 B.a6÷a2=a3 C.x2+x3=x5 D.(﹣x2)3=﹣x6
【解答】解:A、与不是同类二次根式,不能合并,错误;
B、a6÷a2=a4,错误;
C、x2与x3不是同类项不能合并,错误;
D、(﹣x2)3=﹣x6,正确;
故选:D.
 
3.(3分)函数y=+中自变量x的取值范围是(  )
A.x≤2 B.x≤2且x≠1 C.x<2且x≠1 D.x≠1
【解答】解:根据二次根式有意义,分式有意义得:2﹣x≥0且x﹣1≠0,
解得:x≤2且x≠1.
故选:B.
 
4.(3分)如图所示,△ABC中AB边上的高线是(  )

A.线段AG B.线段BD C.线段BE D.线段CF
【解答】解:△ABC中AB边上的高线是线段CF,
故选:D.
 
5.(3分)如图所示的几何体的俯视图是(  )

A. B. C. D.
【解答】解:从上往下看,该几何体的俯视图与选项D所示视图一致.
故选:D.
 
6.(3分)已知点P(1﹣2a,a﹣2)关于原点的对称点在第一象限内,且a为整数,则关于x的分式方程=2的解是(  )
A.5 B.1 C.3 D.不能确定
【解答】解:∵点P(1﹣2a,a﹣2)关于原点的对称点在第一象限内,且a为整数,
∴,
解得:<a<2,即a=1,
当a=1时,所求方程化为=2,
去分母得:x+1=2x﹣2,
解得:x=3,
经检验x=3是分式方程的解,
则方程的解为3.
故选:C.
 
7.(3分)如图,在平面直角坐标系中,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C,线段BC的长度为6,抛物线y=﹣2x2+b与y轴交于点A,则b=(  )

A.1 B.4.5 C.3 D.6
【解答】解:根据题意点A(0,b),设点C(x1,b)、点B(x2,b),
抛物线y=中,当y=b时,有=b,
即:x2+2x+1﹣3b=0,
∴x1+x2=﹣2,x1x2=1﹣3b,
∵BC=6,即x1﹣x2=6,
∴(x1﹣x2)2=36,即(x1+x2)2﹣4x1x2=36,
则:4﹣4(1﹣3b)=36,
解得:b=3,
故选:C.
 
8.(3分)如图,等边△ABC的边长为3,P为BC上一点,且BP=1,D为AC上一点,若∠APD=60°,则CD的长是(  )

A. B. C. D.
【解答】解:∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP,且∠APD=60°,
∴∠BAP=∠DPC,
∴△ABP∽△PCD,
∴=,
∵AB=BC=3,BP=1,
∴PC=2,
∴=,
∴CD=.
故选:C.
 
9.(3分)如图,菱形ABCD的边长为2,∠A=60°,以点B为圆心的圆与AD、DC相切,与AB、CB的延长线分别相交于点E、F,则图中阴影部分的面积为(  )

A. + B. +π C.﹣ D.2+
【解答】解:设AD与圆的切点为G,连接BG,
∴BG⊥AD,
∵∠A=60°,BG⊥AD,
∴∠ABG=30°,
在直角△ABG中,BG=AB=×2=,AG=1,
∴圆B的半径为,
∴S△ABG=×1×=
在菱形ABCD中,∠A=60°,则∠ABC=120°,
∴∠EBF=120°,
∴S阴影=2(S△ABG﹣S扇形)+S扇形FBE=2(﹣)+=+.
故选:A.

 
10.(3分)如图1,荧光屏上的甲、乙两个光斑(可看作点)分别从相距8cm的A,B两点同时开始沿线段AB运动,运动工程中甲光斑与点A的距离S1(cm)与时间t(s)的函数关系图象如图2,乙光斑与点B的距离S2(cm)与时间t(s)的函数关系图象如图3,已知甲光斑全程的平均速度为1.5cm/s,且两图象中△P1O1Q1≌P2Q2O2,下列叙述正确的是(  )

A.甲光斑从点A到点B的运动速度是从点B到点A的运动速度的4倍
B.乙光斑从点A到B的运动速度小于1.5cm/s
C.甲乙两光斑全程的平均速度一样
D.甲乙两光斑在运动过程中共相遇3次
【解答】解:∵甲到B所用时间为t0s,从B回到A所用时间为4t0﹣t0=3t0
∵路程不变
∴甲光斑从A到B的速度是从B到A运动速度的3倍
∴A错误
由于,△O1P1Q1≌△O2P2Q2
∵甲光斑全程平均速度1.5cm/s
∴乙光斑全程平均速度也为1.5cm/s
∵乙由B到A时间为其由A到B时间三倍
∴乙由B到A速度低于平均速度,则乙由A到B速度大于平均速度
∴B错误
由已知,两个光斑往返总时间,及总路程相等,则两个光斑全程的平均速度相同
∴C正确
根据题意,分别将甲、乙光斑与点A的距离与时间的函数图象画在下图中,两个函数图象交点即为两个光斑相遇位置
故可知,两个光斑相遇两次,故D错误.

故选:C.
 
11.(3分)如图中是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4m,从O、A两处观测P处,仰角分别为α、β,且tanα=,tanβ=,以O为原点,OA所在直线为X轴建立直角坐标系,若水面上升1m,水面宽为(  )m.

A. B. C. D.
【解答】解:过点P作PH⊥OA于H,如图.
设PH=3x,
在Rt△OHP中,
∵tanα==,
∴OH=6x.
在Rt△AHP中,
∵tanβ==,
∴AH=2x,
∴OA=OH+AH=8x=4,
∴x=,
∴OH=3,PH=,
∴点P的坐标为(3,);
若水面上升1m后到达BC位置,如图,
过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的解析式可设为y=ax(x﹣4),
∵P(3,)在抛物线y=ax(x﹣4)上,
∴3a(3﹣4)=,
解得a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣x(x﹣4).
当y=1时,﹣x(x﹣4)=1,
解得x1=2+,x2=2﹣,
∴BC=(2+)﹣(2﹣)=2.
故选:A.

 
12.(3分)关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论:①这两个方程的根都是负根;②(m﹣1)2+(n﹣1)2≥2;③﹣1≤2m﹣2n≤1.其中正确结论的个数是(  )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【解答】解:设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2,方程y2+2ny+2m=0的两根为y1、y2.
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,
∴x1?x2=2n>0,y1?y2=2m>0,
∵x1+x2=﹣2m,y1+y2=﹣2n,
∴这两个方程的根都是负根,①正确;
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,
∴4m2﹣8n≥0,4n2﹣8m≥0,
∴m2﹣2n≥0,n2﹣2m≥0,
∴(m﹣1)2+(n﹣1)2=m2﹣2n+1+n2﹣2m+1≥2,②正确;
③∵y1?y2=2m,y1+y2=﹣2n,
∴2m﹣2n=y1?y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)﹣1,
∵y1、y2均为负整数,
∴(y1+1)(y2+1)≥0,
∴2m﹣2n≥﹣1.
∵x1?x2=2n,x1+x2=﹣2m,
∴2n﹣2m=x1?x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)﹣1,
∵x1、x2均为负整数,
∴(x1+1)(x2+1)≥0,
∴2n﹣2m≥﹣1,即2m﹣2n≤1.
∴﹣1≤2m﹣2n≤1,③成立.
综上所述:成立的结论有①②③.
故选:D.
 
二.填空题(每题3分,计15分)
13.(3分)因式分解:a2b﹣4ab+4b= b(a﹣2)2 .
【解答】解:原式=b(a2﹣4a+4)=b(a﹣2)2,
故答案为:b(a﹣2)2
 
14.(3分)如图,已知圆锥的高为,高所在直线与母线的夹角为30°,圆锥的侧面积为 2π .

【解答】解:如图,∠BAO=30°,AO=,
在Rt△ABO中,∵tan∠BAO=,
∴BO=tan30°=1,即圆锥的底面圆的半径为1,
∴AB==2,即圆锥的母线长为2,
∴圆锥的侧面积=?2π?1?2=2π.
故答案为2π.

 
15.(3分)如图,网格中的四个格点组成菱形ABCD,则tan∠DBC的值为 3 .

【解答】解:如图,连接AC与BD相交于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BO=BD,CO=AC,
由勾股定理得,AC==3,
BD==,
所以,BO=×=,
CO=×3=,
所以,tan∠DBC===3.
故答案为:3.

 
16.(3分)如图,已知点P是双曲线y=上的一个动点,连结OP,若将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到线段OQ,则经过点Q的双曲线的表达式为 y=﹣ .

【解答】解:过P,Q分别作PM⊥x轴,QN⊥x轴,
∵∠POQ=90°,
∴∠QON+∠POM=90°,
∵∠QON+∠OQN=90°,
∴∠POM=∠OQN,
由旋转可得OP=OQ,
在△QON和△OPM中,

∴△QON≌△OPM(AAS),
∴ON=PM,QN=OM,
设P(a,b),则有Q(﹣b,a),
由点P在y=上,得到ab=3,可得﹣ab=﹣3,
则点Q在y=﹣上.
故答案是:y=﹣.
 
17.(3分)阅读以下作图过程:
第一步:在数轴上,点O表示数0,点A表示数1,点B表示数5,以AB为直径作半圆(如图);
第二步:以B点为圆心,1为半径作弧交半圆于点C(如图);
第三步:以A点为圆心,AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M.
请你在下面的数轴中完成第三步的画图(保留作图痕迹,不写画法),并写出点M表示的数为 +1 .

【解答】解:如图,点M即为所求,

连接AC、BC,
由题意知,AB=4、BC=1,
∵AB为圆的直径,
∴∠ACB=90°,
则AM=AC===,
∴点M表示的数为+1,
故答案为: +1.
 
三、解答题(共七大题,计69分)
18.(8分)先化简,再求代数式÷(a﹣)的值.其中a=1+2sin45°,b=(+1)0﹣
【解答】解:÷(a﹣)
=
=
=,
当a=1+2sin45°=1+2×=1+,b=(+1)0﹣=1﹣时,原式===.
 
19.(9分)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°.请完成以下任务.
(1)尺规作图:①作∠A的平分线,交CB于点D;
②过点D作AB的垂线,垂足为点E.请保留作图痕迹,不写作法,并标明字母.
(2)若AC=3,BC=4,求CD的长.

【解答】解:(1)如图所示:①AD是∠A的平分线;
②DE是AB的垂线;

(2)在Rt△ABC中,由勾股定理得:
AB===5,
由作图过程可知:DE=DC,∠AED=∠C=90°,
∵S△ACD+S△ABD=S△ABC,
∴AC?CD+AB?DE=AC?BC,
∴×3×CD+×5×CD=×3×4,
解得:CD=.

 
20.(10分)第二十四届冬季奥林匹克运动会将与2022年2月20日在北京举行,北京将成为历史上第一座举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市,东宝区举办了一次冬奥会知识网上答题竞赛,甲、乙两校各有400名学生参加活动,为了解这两所学校的成绩情况,进行了抽样调查,过程如下,请补充完整.
【收集数据】
从甲、乙两校各随机抽取20名学生,在这次竞赛中它们的成绩如下:

30
60
60
70
60
80
30
90
100
60


60
100
80
60
70
60
60
90
60
60

乙
80
90
40
60
80
80
90
40
80
50


80
70
70
70
70
60
80
50
80
80

【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据:
(说明:优秀成绩为80<x≤100,良好成绩为50<x≤80,合格成绩为30≤x≤50.)
学校
平均分
中位数
众数

甲
67
60
60

乙
70
75
a



30≤x≤50
50<x≤80
80<x≤100

甲
2
14
4

乙
4
14
2

【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如右表所示:其中a= 80 .
【得出结论】
(1)小伟同学说:“这次竞赛我得了70分,在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是 甲 校的学生;(填“甲”或“乙”)
(2)老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩,试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为 0.1 ;
(3)根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校,并说明理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
【解答】解:【分析数据】,由表格中的数据可知,乙校的众数是80,故a=80,
故答案为:80;
(1)由表格可知,甲校的中位数是60,乙校的中位数是75,
小伟同学说:“这次竞赛我得了70分,在我们学校排名属中游略偏上!”由表中数据可知小明是甲校的学生,
故答案为:甲;
(2)乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩,这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为: =0.1,
故答案为:0.1;
(3)乙学校竞赛成绩较好,
理由:第一,乙学校的中位数大于甲学校,说明乙学校的一半以上的学生成绩好于甲学校;第二,乙学校的平均分高于甲学校,说明乙学校学生的总体水平高于甲学校.
 
21.(10分)如图,活动课上,小玥想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度,她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°,然后,她沿着坡度i=1:1的斜坡按速度20米/分步行15分钟到达C处,此时,测得点A的俯角是15°.图中点A、B、E、D、C在同一平面内,且点D、E、B在同一水平直线上,求出建筑地所在山坡AE的高度AB.(精确到0.1米,参考数据:≈1.41).

【解答】解:作EF⊥AC于点F,

根据题意,CE=20×15=300米,
∵i=1:1,
∴tan∠CED=1,
∴∠CED=∠DCE=45°,
∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°,
∴EF=CE=150米,
∵∠CEF=60°,∠AEB=30°,
∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°,
∴AF=EF=150米,
∴AE=(米),
∴AB=×150≈105.8(米).
答:建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米.
 
22.(10分)大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学,被安排销售一款成本为40元/件的新型商品,此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表:
x(天)
1
2
3
…
50

p(件)
118
116
114
…
20

销售单价q(元/件)与x满足:当1≤x<25时q=x+60;当25≤x≤50时q=40+.
(1)请分析表格中销售量p与x的关系,求出销售量p与x的函数关系.
(2)求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式.
(3)这50天中,该超市第几天获得利润最大?最大利润为多少?
【解答】解:(1)设销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=kx+b,
代入(1,118),(2,116)得

解得
因此销售量p件与销售的天数x的函数解析式为p=﹣2x+120;

(2)当1≤x<25时,
y=(60+x﹣40)(﹣2x+120)
=﹣2x2+80x+2400,
当25≤x≤50时,
y=(40+﹣40)(﹣2x+120)
=﹣2250;

(3)当1≤x<25时,
y=﹣2x2+80x+2400,
=﹣2(x﹣20)2+3200,
∵﹣2<0,
∴当x=20时,y有最大值y1,且y1=3200;
当25≤x≤50时,
y=﹣2250;
∵135000>0,
∴随x的增大而减小,
当x=25时,最大,
于是,x=25时,y=﹣2250有最大值y2,且y2=5400﹣2250=3150.
∵y1>y2
∴这50天中第20天时该超市获得利润最大,最大利润为3200元.
 
23.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD为∠ABC的平分线,DF⊥BD交AB于点F,△BDF的外接圆⊙O与边BC相交于点M,过点M作AB的垂线交BD于点E,交⊙O于点N,交AB于点H,连结FN.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若AF=4,tan∠N=,求⊙O的半径长;
(3)在(2)的条件下,求MN的长.

【解答】(1)证明:如图,连结OD,
∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,
∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠DBC=∠OBD,
∴∠ODB=∠DBC,
∴OD∥BC,
∵AC⊥BC,
∴AC⊥OD,
∴AC是⊙O的切线;

(2)解:∵OD∥BC,
∴∠AOD=∠ABC,
∵∠N=∠ABC,
∴∠AOD=∠N,
在Rt△AOD中,
∵tan∠AOD=tan∠N==,
∴,即5OD=3AO,
设⊙O的半径为r,则5r=3(r+4),
解得:r=6,
∴⊙O的半径长为6;

(3)解:如图,连结BN,
∵BF为⊙O的直径,
∴BN⊥FN,
∴∠NBH+∠BFN=90°,
∵MN⊥FB,
∴∠HNF+∠BFN=90°,
∴∠FNH=∠NBH,
∴tan∠NBH=tan∠FNH=,
∴cos∠NBH=,sin∠NBH=,
∴在Rt△FBN中,BN=BF?cos∠NBF=12×=,
∴在Rt△HBN中,HN=BN?sin∠NBH=×=,
由垂径定理可得:MN=2HN=.

 
24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴相交于点A、B,交y轴于点C,抛物线的对称轴交x轴于点N,交线段AC于点M.点F是线段MA上的动点,连接NF,过点N作NG⊥NF交△ABC的边于点G.
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)当点G在边BC上时,连接GF,∠NGF的度数变化吗?若变化,请说明理由;若不变,请求出∠NGF的正切值;
(3)设点F的横坐标为n,点G的纵坐标为m,在整个运动过程中,直接写出m与n的函数关系式,并注明自变量n的取值范围.

【解答】(1)证明:当x=0时,y=﹣x2+x+2=2,则C(0,2);
当y=0时,﹣x2+x+2=0,解得x1=﹣1,x2=4,则A(4,0),B(﹣1,0),
∵BC2=12+22=5,AC2=42+22=20,AB2=25,
∴BC2+AC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°;
(2)解:∠NGF的度数不变化.
设AC的解析式为y=kx+b,
把A(4,0),C(0,2)代入得,解得,
∴直线AC的解析式为y=﹣x+2,
∵抛物线的对称轴为直线x=,
∴M(,),
∵GN⊥NF,
∴∠GNF=90°,
∴∠BNG=∠MNF,
∵∠ACB=90°,
∴∠NBC=∠OCA,
而MN∥OC,
∴∠NMF=∠OCA,
∴∠NBG=∠NMF,
∴△NMF∽△NBG,
∴===,
∴tan∠NGF==,
∴∠NGF的度数为定值;
(3)解:作GH⊥x轴于H,FQ⊥x轴于Q,F(n,﹣n+2),
当G点在BC上,如图1,易得直线BC的解析式为y=2x+2,
则G(m﹣1,m),
∵∠GNF=90°,
∴∠GNH=∠NFQ,
∴Rt△NGH∽Rt△FNQ,
∴=,即=,
∴m=2n﹣3,
当m=0时,2n﹣3=0,解得n=;当m=2时,2n﹣3=2,解得n=;
∴此时n的范围为≤n≤;
当点G在AC上,如图2,则<n≤4,则G(4﹣2m,m),
易得Rt△NGH∽Rt△FNQ,
∴=,即=,
∴m=,
综上所述,m与n的关系式为:m=2n﹣3(≤n≤)或m=(<n≤4).

 
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