2018年黑龙江省牡丹江市中考数学三模试卷(附答案解析)_doc下载

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2018年黑龙江省牡丹江市中考数学三模试卷
一、选择题（将正确选项涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分36分）
1．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A．圆 B．平行四边形
C．五角星 D．等边三角形
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．2a﹣2= B．a6÷a2+a4=2a4
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．（﹣2a3）2=﹣4a6
3．（3分）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥0 C．x＞1 D．x≠1
4．（3分）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10
5．（3分）将抛物线y=（x+2）2﹣3向右平移3个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，﹣2） B．（0，﹣1） C．（0，2） D．（0，3）
6．（3分）有三张质地相同的卡片，正面分别写有数字﹣2，﹣1，1，现将三张卡片背面朝上随机抽取一张，以其正面数字作为x的值，然后从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面数字作为y的值，则点（x，y）在第三象限的概率（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，⊙O的直径AD=6，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．3
8．（3分）学校举办“创建文明城”演讲比赛，张老师拿出90元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本15元，乙种笔记本每本5元，且乙种笔记本的数量是甲种笔记本的整数倍，则购买笔记本的方案有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
9．（3分）在同一直角坐标系中，函数y=和y=kx+k的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）小明为准备体育中考，每天早晨坚持锻炼，某天他慢跑到江边，休息一会后快跑回家，能大致反映小明离家的距离y（m）与时间x（s）的函数关系图象是（　　）
A． B．
C． D．
11．（3分）等边△ABC如图放置，A（1，1），B（3，1），等边三角形的中心是点D，若将点D绕点A旋转90°后得到点D′，则D′的坐标（　　）

A．（1+，0） B．（1﹣，0）或（1+，2）
C．（1+，0）或（1﹣，2） D．（2+，0）或（2﹣，0）
12．（3分）如图，正方形纸片ABCD，P为正方形AD边上的一点（不与点A，点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接BP，BH．BH交EF于点M，连接PM．下列结论：①BE=PE；②EF=BP；③PB平分∠APG；④MH=MF；⑤BP=BM，其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
　
二、填空题（将正确答案写在答题卡相应的横线上，每小题3分，满分24分）
13．（3分）2015年黑龙江省地区生产总值实现15083亿元，用科学记数法表示15083亿元为　　元．
14．（3分）如图，已知四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，AB=CD，请添加一个条件　　（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．

15．（3分）一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为　　元．
16．（3分）5个正整数，中位数是4，唯一的众数是6，则这5个数和的最大值为　　．
17．（3分）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴x=2，且图象经过点（3，2），则a+b+c的值为　　．
18．（3分）⊙O的半径为5，两条弦AB=8，CD=6，且AB∥CD，直径MN⊥AB于点P，则PC的值为　　．
19．（3分）等腰△ABC的腰AC边上的高BD=3，且CD=5，则tan∠ABD=　　．
20．（3分）如图，AC=4，BC=3，且BC边在直线l上，将△ABC绕点C顺时针旋转到位置①可得到P1，再将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②可得到P2，将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③得到P3，按此规律继续旋转，则CP2016=　　．

　
三、解答题（将解题过程写在答题卡相应的位置上，满分60分）
21．（5分）先化简，（1+），再从﹣2≤x≤2范围内选取一个适当的整数x代入求值．
22．（6分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C．请解答下列问题：
（1）求抛物线的函数解析式并直接写出顶点M坐标；
（2）连接AM，N是AM的中点，连接BN，求线段BN长．
注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）．

23．（6分）已知直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC为腰，在△ABC外作顶角为30°的等腰三角形ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．
24．（7分）某校九年级数学测试后，为了解学生学习情况，随机抽取了九年级部分学生的数学成绩进行统计，得到相关的统计图表如下．
成绩/分
120﹣111
110﹣101
100﹣91
90以下

成绩等级
A
B
C
D

请根据以上信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽取了　　名学生的数学成绩，补全频数分布直方图；
（2）若该校九年级有1000名学生，请据此估计该校九年级此次数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生有多少人？
（3）根据学习中存在的问题，通过一段时间的针对性复习与训练，若A等级学生数可提高40%，B等级学生数可提高10%，请估计经过训练后九年级数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生可达多少人？

25．（8分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由C站驶往A地，到达A地后立即原速驶往B地，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象，请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，B两地间的距离是　　千米；请直接在图2中的括号内填上正确数字；
（2）求货车由B地驶往A地过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）客、货两车出发多长时间，距各自出发地的距离相等？直接写出答案；
（4）客、货两车出发多长时间，相距500千米？直接写出答案．

26．（8分）等腰直角△ABC，△MAD中，∠BAC=∠DMA=90°，连接BM，CD．且B，M，D三点共线

（1）当点D，点M在BC边下方，CD＜BD时，如图①，求证：BM+CD=AM；（提示：延长DB到点N，使MN=MD，连接AN．）
（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，如图②；当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，如图③，请直接写出线段BM，CD，AM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1），（2）条件下，点E是AB中点，MF是△AMD的角平分线，连接EF，若EF=2MF=6，则CD=　　．
27．（10分）某文具店四月份购进甲、乙两种文具共80件，分别用去400元、1200元，甲种文具每件的进价是乙种文具的．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种文具每件的进价；
（2）五月份文具店决定再次购进甲、乙两种文具共80件，进价不变，甲、乙文具每件售价分别是15元、40元．若80件文具全部售出，求销售甲乙文具获利y（元）与购进甲种文具x（件）之间的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，销售前文具店决定从这80件文具中拿出一部分，赠送给某校在“牡丹江首届汉字听写电视大赛”获一、二等奖的6名同学，作为奖品，其余文具全部售出．已知一等奖每人1件甲种文具，3件乙种文具；二等奖每人4件甲种文具，1件乙种文具，这些奖品总进价超过450元，文具店购进的80件文具仅获利30元．请直接写出文具店购进甲、乙两种文具的方案．
28．（10分）已知点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8=0的解，tan∠BAO=．
（1）求点A的坐标；
（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE=16．若反比例函数y=的图象经过点C，求k的值；
（3）在（2）条件下，点M是DO中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

　

参考答案与解析
　
一、选择题
1．
【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：A．
　
2．
【解答】解：A、2a﹣2=，故此选项错误；
B、a6÷a2+a4=2a4，正确；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
D、（﹣2a3）2=4a6，故此选项错误；
故选：B．
　
3．
【解答】解：根据题意得，x﹣1＞0，
解得x＞1．
故选：C．
　
4．
【解答】解：由俯视图易得最底层有6个小正方体，第二层最多有3个小正方体，那么搭成这个几何体的小正方体最多为3+6=9个．
故选：C．
　
5．
【解答】解：∵将抛物线y=（x+2）2﹣3向右平移3个单位，
∴得到：y=（x﹣1）2﹣3，
当x=0时，y=﹣2，
∴得到的抛物线与y轴的交点坐标是：（0，﹣2）．
故选：A．
　
6．
【解答】解：画树状图如下：

由树状图知，共有6钟等可能结果，其中点（x，y）在第三象限的有2种结果，
所以点（x，y）在第三象限的概率为=，
故选：D．
　
7．
【解答】解：连接OB，如图，
∵AB=BC，
∴=，
∴OB⊥AC，
∴OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠ABC=×120°=60°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=60°，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，AB=AD=3，
∴BD=AB=3．
故选：D．

　
8．
【解答】解：设甲种笔记本购买了x本，乙种笔记本y本，由题意，得
15x+5y=90
整理，得
3x+y=16
因为y是x的整数倍，
所以当x=2时，y=10．
当x=4时，y=4．
综上所述，共有2种购买方案．
故选：A．
　
9．
【解答】解：①当k＞0时，
一次函数y=kx﹣k经过一、二、三象限，
反比例函数的y=（k≠0）的图象经过一、三象限，
故D选项的图象符合要求；
②当k＜0时，
一次函数y=kx﹣k经过二、三、四象限，
反比例函数的y=（k≠0）的图象经过二、四象限，
没有符合该条件的选项．
故选：D．
　
10．
【解答】解：∵他慢跑离家到江边，
∴随着时间的增加离家的距离越来越远，
∵休息了一会，
∴他离家的距离不变，
又∵后快跑回家，
∴他离家越来越近，直至为0，
∵去时快跑，回时慢跑，
∴小明离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是A．
故选：A．
　
11．
【解答】解；如图作D′H⊥AB于H．DE⊥AB于E．

在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，AE=1，
∴DE=，
∵AD=AD′，∠DAE=∠D′，∠AED=∠D′HA=90°，
∴△ADE≌△D′AH，
∴AH=DE=，D′H=1，
∵A（1，1），
∴D′（1+，0），
同法当逆时针旋转时，D″（1﹣，2）
故选：C．
　
12．
【解答】解：如图1，

根据翻折不变性可知：PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．故①③正确；
如图1中，作FK⊥AB于K．设EF交BP于O．

∵∠FKB=∠KBC=∠C=90°，
∴四边形BCFK是矩形，
∴KC=BC=AB，
∵EF⊥PB，
∴∠BOE=90°，
∵∠ABP+∠BEO=90°，∠BEO+∠EFK=90°，
∴∠ABP=∠EFK，∵∠A=∠EKF=90°，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF=BP，故②正确，
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH（HL）
∴∠QBH=∠HBC，∠ABP=∠PBQ，
∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=∠ABC=45°，
∵MP=MB，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴PB=BM，故⑤正确；
当等P与A重合时，显然MH＞MF，故④错误，
故选：B．
　
二、填空题（将正确答案写在答题卡相应的横线上，每小题3分，满分24分）
13．
【解答】解：用科学记数法表示15083亿元为1.5083×1012元．
故答案为：1.5083×1012．
　
14．
【解答】解：∵AB=CD，
∴当AB∥CD或AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形．
故答案为AB∥CD或AD=BC．（答案不唯一）
　
15．
【解答】解：由题意得：实际售价为：（1+100%）a?70%=1.4a（元），
利润为1.4a﹣a=0.4a元．
故答案为：0.4a
　
16．
【解答】解：因为五个正整数从小到大排列后，其中位数是4，这组数据的唯一众数是6，
所以这5个数据分别是x，y，4，6，6，其中x=1或2，y=2或3．
所以这5个数的和的最大值是2+3+4+6+6=21．
故答案为：21．
　
17．
【解答】解：由题意可知：点（3，2）关于直线x=2的对称点的坐标为（1，2），
∴x=1，y=2，
∴a+b+c=2
故答案为：2
　
18．
【解答】解：当AB、CD在圆心O的两侧时，如图，连接OA、OC，
∵AB∥CD，MN⊥AB，
∴AP=AB=4，MN⊥CD，
∴CQ=CD=3，
在Rt△OAP中，OP==3，
同理，OQ=4，
则PQ=OQ+OP=7，
∴PC==，
当AB、CD在圆心O的同侧时，PQ=OQ﹣OP=1，
∴PC==，
故答案为：或．

　
19．
【解答】解：①如图1中，当△ABC是锐角三角形，CB=CA时，

在Rt△CDB中，BC==，
∴AD=AC﹣CD=﹣5，
∴tan∠ABD==．

②如图2中，当△ABC是钝角三角形，CB=CA时，
[来源:]
在Rt△CDB中，BC=AC==，
∴tan∠ABD==，

③如图3中，当△ABC是钝角三角形，AB=AC时，设AB=AC=x，
在Rt△ADB中，x2=32+（5﹣x）2，
∴x=，
∴tan∠ABD==，
综上所述，或或．
故答案为或或．
　
20．
【解答】解：∵AC=4，BC=3，
∴AB==5
由题意可得CP3=4+5+3=12
∴每3次旋转，△ABC沿水平方向平移12
∴CP2016=12×=8064
故答案为8064
　
三、解答题（将解题过程写在答题卡相应的位置上，满分60分）
21．
【解答】解：（1+）
=
=﹣
=﹣，
当x=2时，原式=．
　
22．
【解答】解：（1）抛物线解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2），
即y=﹣x2﹣x+2，
∵y=﹣（x+1）2+，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，）；
（2）∵N是AM的中点，
∴M点的坐标为（﹣，），
∴BN==．
　
23．
【解答】解：①当CD=CA，∠DCA=30°时，作DH⊥AC于H．

在Rt△ACB中，∵∠CAB=30°，AB=4，
∴BC=2，AC=2，
∵∠ACD=∠CBA=30°，
∴CD∥AB，
∴S△BCD=S△ADC=?AC?DH=×2×=3．

②当AC=AD，∠CAD=30°时，作DH⊥AC于H．

S△BCD=S△ABC+S△ADC﹣S△ABD
=×2×2+×2×﹣×4×3
=2﹣3

③当DA=DC，∠ADC=30°时，作DH⊥AC于H，连接BH．

∵DA=DC，DH⊥AC，
∴AH=CH=，
∵∠DHC=∠ACB=90°，
∴DH∥BC，
∴S△BCD=S△BCH=×2×=，
　
24．
【解答】解：（1）本次调查抽取的总人数为15÷=50（人），
则A等级人数为50×=10（人），D等级人数为50﹣（10+15+5）=20（人），
补全直方图如下：

故答案为：50．

（2）估计该校九年级此次数学成绩在B等级以上（含B等级）的学生有1000×=500（人）；

（3）∵A级学生数可提高40%，B级学生数可提高10%，
∴B级学生所占的百分比为：30%×（1+10%）=33%，A级学生所占的百分比为：20%×（1+40%）=28%，
∴1000×（33%+28%）=610（人），
∴估计经过训练后九年级数学成绩在B以上（含B级）的学生可达610名．
　
25．
【解答】解：（1）由题意：AC=120千米，BC=480千米，AB=AC+BC=600千米，
故答案为600．
（2）①设B→C的函数解析式为y=kx+b，则有解得，
∴y=﹣60x+480，
直线y=﹣60x+480与x轴交于（8，0），
②设C→A的函数解析式为y=mx+n，则有解得，
∴y=60x﹣480
综上所述，y=．

（3）设客、货两车出发x小时，距各自出发地的距离相等．
由题意客车速度为100千米/小时，货车速度为60千米/小时．
则有240﹣100x=60x，解得x=1.5，或100x﹣240=60x，解得x=6，
∴客、货两车出发1.5小时或6小时，距各自出发地的距离相等．

（4）设客、货两车出发y小时，相距500千米．
则有480﹣60x+100x=500或240﹣100x+480﹣60x=500，
解得x=或，
当客车到达B时，60x=500，解得x=，
综上所述，客、货两车出发小时或小时或，相距500千米．
　
26．
【解答】解：（1）延长DB到点N，使MN=MD，连接AN
∵等腰直角△ABC，△MAD
∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD
∵MN=MD，∠DMA=90°，AM=AM
∴△AMN≌△AMD
∴AD=AN，∠NAM=∠MAD=45°
∴∠NAD=90°
∵∠NAD=∠BAC=90°
∴∠NAB=∠CAD，且AN=AD，AB=AC
∴△ABN≌△ACD
∴BN=CD
∵MN=BM+BN
∴AM=MD=BM+CD
（2）当点D在AC边右侧，点M在△ABC内部时，BM=CD+AM
如图：在线段BM上截取MN=DM

∵等腰直角△ABC，△MAD
∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD
∵MN=DM
∴AM=DM=MN，且∠AMD=90°
∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°
∴AN=AD，∠NAD=90°
∵∠NAD=∠BAC=90°
∴∠BAN=∠DAC，且AN=AD，AB=AC
∴△ABN≌△ACD
∴BN=CD
∵BM=BN+MN
∴BM=CD+AM
当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，CD=BM+AM
如图：延长DM到N，使MN=DM．

∵等腰直角△ABC，△MAD
∴AM=MD，AB=AC，∠ADM=45°=∠MAD
∵MN=DM
∴AM=DM=MN，且∠AMD=90°
∴∠AND=∠ADN=∠NAM=∠DAM=45°
∴AN=AD，∠NAD=90°
∵∠NAD=∠BAC=90°
∴∠BAN=∠DAC，且AN=AD，AB=AC
∴△ABN≌△ACD
∴BN=CD
∵BN=BM+MN
∴CD=BM+AM
（3）∵MF是△AMD的角平分线，∠DMA=90°，AM=DM
∴AF=DF=MF且点E是AB中点
∴BD=2EF=12，
∵EF=2MF=6
∴MF=3
∴AF=DF=MF=3
∴AM=DM=3
当点D，点M在BC边下方，CD＜BD时，AM=BM+CD
∴CD=3﹣（12﹣3）=6﹣12＜0
故不存在这样的点D
当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，BM=CD+AM
∴CD=BM﹣AM=12﹣6
当点D在AB边左侧，点M在△ABC外部时，CD=BM+AM
∵AB＜DM
∴不存在这样的点D
综上所述，CD=12﹣6
故答案为12﹣6
　
27．
【解答】解：（1）设甲种商品每件的进价是x元，则乙种商品每件的进价为3x元，
依题意可得：，
解得：x=10，
经检验：x=10为原分式方程的解，且符合题意，
则3x=3×10=30，
答：甲、乙两种商品的进价分别为每件10元、30元；
（2）设：购进甲种文具x件，则购进乙文具为80﹣x件，由题意得：
y=（15﹣10）x+（40﹣30）（80﹣x）
…………………………
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