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等比数列导学案2(高二数学)
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/2/2  
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9.3 等比数列
第1课时 等比数列的概念与通项公式


学习目标
重点难点

1.知道等比数列的概念;
2.知道等比中项的概念;
3.记住等比数列的通项公式,能够用等比数列的通项公式解决计算问题;
4.会判断和证明一个数列是不是等比数列.
重点:等比数列的概念以及通项公式的应用;
难点:等比数列的证明;
疑点:等比数列与等差数列的区别与联系.


1.等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个______,这样的数列叫作________,这个常数叫作等比数列的______,公比通常用q表示.
预习交流1
等比数列中的项能否为零?公比q能否为零?
预习交流2
常数列一定是等比数列吗?一定是等差数列吗?
2.等比中项
如果a,c同号,且b=±,那么,b是ac的等比中项.
预习交流3
等比中项与等差中项有哪些不同之处?
预习交流4
怎样判断或证明一个数列是不是等比数列?
3.等比数列的通项公式
等比数列的通项公式是__________.
预习交流5
根据等比数列的通项公式,你能否得出等比数列中任意两项之间的关系?

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做个备忘吧!

我的学困点
我的学疑点




答案:
1.常数 等比数列 公比
预习交流1:
提示:由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此公比q也不为0,但可为正数,也可为负数.
预习交流2:
提示:常数列不一定是等比数列,只有各项不为零的常数列才是等比数列,且公比为1,但所有的常数列都是等差数列,且公差为0.
预习交流3:
提示:任何两个数都有等差中项,但只有同号的两个数才有等比中项;两个数的等差中项有且只有一个,但两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.
预习交流4:
提示:主要有两种方法:①定义法:若=q(q是常数,n∈N*),则{an}是等比数列;②等比中项法:若a=an·an+2≠0(n∈N*),则{an}是等比数列.
3.an=a1qn-1
预习交流5:
提示:在等比数列{an}中,由an=a1qn-1,am=a1qm-1两式相除得=qn-m,即an=amqn-m,该式是通项公式的变形,反映了数列中任意两个项之间的关系,其中m可以大于n,也可以小于n,还可以等于n.


一、等比数列的判断与证明

已知数列{an}的前n项和Sn=,求数列{an}的通项公式,并判断{an}是否为等比数列?若是,请证明;若不是,请说明理由.
思路分析:利用an与Sn的关系公式由Sn求出an,然后根据等比数列的定义判断{an}是否为等比数列.

给出以下命题:①1,2,4,8,16是等比数列;②数列1,,,,…是公比为2的等比数列;③若=,则a,b,c成等比数列;④若=n(n∈N*),则数列{an}成等比数列.其中正确命题的个数是(  ).
A.0 B.1
C.2 D.3

数列{an}满足a1=1,an=an-1+1(n≥2).
(1)若bn=an-2,求证:{bn}为等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
思路分析:先对给出的等式an=an-1+1进行转化变形,与bn=an-2相结合,得出bn与bn-1的关系,从而判断数列{bn}是否为等比数列;由{bn}为等比数列先求出bn,再根据bn=an-2求出an.

已知数列{an}满足Sn=4an-1(n∈N*),求证:数列{an}是等比数列,并求出其通项公式.
1.判断或证明一个数列是等比数列的方法主要有:
(1)定义法:若当n≥2,n∈N*,有=q(q≠0,q为常数)或当n≥1,n∈N*,有=q(q≠0,q为常数),则数列{an}为等比数列;
(2)等比中项法:若a=an·an+2(n∈N*),则数列{an}为等比数列;
(3)通项特征法:通项an=f(n)=cqn,其函数特征为常数与指数函数的乘积.
2.等比数列与等差数列相比,有相同的地方,但也有很多不同的方面,例如:在等比数列中,要求它的每一项都不能为零,因此公比也不能等于零,在一些判断问题中,要从这个特殊性入手进行判断.
二、等比数列通项公式及其应用

(1)已知等比数列{an}中,a2=3,a5=,则数列{an}的通项公式是__________.
(2)已知一等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-13是此数列的第(  )项.
A.2 B.4 C.6 D.8
思路分析:(1)设出首项和公比a1,q,建立a1,q的方程组,求得a1,q的值即可得到数列的通项公式;(2)根据数列的前3项成等比数列,求得x的值,从而可得到数列的通项公式,然后根据通项公式判断-13是数列的哪一项.

1.已知数列{an}为等比数列,且a3=2,a2+a4=,则{an}的通项公式是__________.
2.等比数列{an}中,若a5=a4+2a3,则其公比等于__________.
1.等比数列的基本量是a1和q,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题,解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,根据等比数列的通项公式,建立关于a1和q的方程(组),然后解方程(组),求得a1和q的值,再解决其他问题.
2.在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想在其中的应用.
三、等比中项及其应用

已知等比数列{an}中,a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项.
思路分析:可以由已知条件求出a1和a5的值,也可以直接求出a1a5的值,然后根据等比中项的定义求出a1和a5的等比中项,但要注意的是a1和a5的等比中项不是a3,而是±a3.

在等差数列{an}中,a1=9,d=1,若ak是a1和a2k的等比中项,则k=(  ).
A.2 B.4 C.6 D.8
1.任意两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的,但与等差中项不同,只有同号的两个数才能有等比中项;两个数的等比中项有两个,它们互为相反数.
2.本题中要避免出现“a1和a5的等比中项是a3”的错误,a3一定是a1和a5的等比中项,但a1和a5的等比中项应该是±a3.

1.数列a,a,a,…,a,…(a∈R)是(  ).
A.等差数列但不是等比数列
B.等比数列但不是等差数列
C.等差数列又是等比数列
D.以上说法均不对
2.2+和2-的等比中项是(  ).
A.1 B.-1
C.±1 D.2
3.在等比数列{an}中,a2 012=-8a2 009,则公比q等于(  ).
A.2 B.-2
C.±2 D.
4.在等比数列{an}中,an>0且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为(  ).
A.16 B.27 C.36 D.81
5.若等比数列{an}的各项均为正数,且前三项依次为1,a+1,2a+5.
(1)求该数列的通项公式;
(2)判断728是否是该数列中的项?

提示:用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.

知识精华
技能要领




答案:
活动与探究1:解:当n=1时,a1=S1==2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=2·5n-1,且a1=2也适合上式,所以an=2·5n-1(n∈N*).
由于当n≥2时,==5,所以数列{an}是等比数列.
迁移与应用:
C 解析:命题①③正确,数列1,,,,…是公比为的等比数列,故②错误;若=n,则数列{an}不成等比数列,故④错误.
活动与探究2:解:(1)由an=an-1+1可得an-2=(an-1-2),而bn=an-2,所以bn-1=an-1-2.
因此bn=bn-1,故数列{bn}是公比为的等比数列.
(2)由(1)知,b1=a1-2=-1,所以bn=-1·n-1,即an-2=-n-1,于是an=2-n-1,此即为{an}的通项公式.
迁移与应用:
解:依题意得当n≥2时,Sn-1=4an-1-1,所以an=Sn-Sn-1=(4an-1)-(4an-1-1),
即3an=4an-1,所以=,故数列{an}是公比为的等比数列.
又因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{an}的通项公式是an=·n-1.
活动与探究3:(1)an=6·n-1 (2)B
解析:(1)设公比为q,则有于是q3=,解得q=,a1=6,所以数列{an}的通项公式是an=6·n-1.
(2)因为前三项依次为x,2x+2,3x+3,
所以x(3x+3)=(2x+2)2,
解得x=-1或x=-4,而x≠-1?x=-4,
故q==,于是-13=-4×n-1,解得n=4.
迁移与应用:
1.an=·3n-1或an=18·n-1 解析:设{an}的公比为q,依题意有解得或于是数列{an}的通项公式是an=·3n-1或an=18·n-1.
2.2或-1 解析:设公比为q,则有a3q2=a3q+2a3,所以q2-q-2=0,解得q=2或-1.
活动与探究4:解:因为{an}是等比数列,所以a3是a2和a4的等比中项,即a=a2a4,
于是有a=64,解得a3=4,从而a6=32.
若设{an}的公比为q,则有解得所以a5=a1q4=16.
设a1和a5的等比中项是G,则G2=a1a5=16,于是G=±4,
故a1和a5的等比中项是±4.
迁移与应用:
B 解析:依题意得a=a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理得k2-2k-8=0,解得k=4(k=-2舍去).
当堂检测
1.D 解析:当a≠0时该数列既是等差数列又是等比数列,当a=0时,该数列是等差数列但不是等比数列.
2.C 解析:2+和2-的等比中项是±=±1.
3.B 解析:由a2 012=-8a2 009得a1q2 011=-8a1q2 008,所以q3=-8,故q=-2.
4.B 解析:由a2=1-a1,a4=9-a3得a1+a2=1,a4+a3=9,设公比为q,则q2==9,又因为an>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.
5.解:(1)依题意可得(a+1)2=2a+5,解得a=2(a=-2舍去).
于是公比q==3,故通项公式为an=3n-1.
(2)令3n-1=728,解得n=log3728+1,但log3728+1?N*,所以728不是该数列中的项.

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