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等比数列导学案3(高二数学)
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/2/2  
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第2课时 等比数列的性质


学习目标
重点难点

1.记住等比数列的性质,能够运用等比数列的性质解决有关问题;
2.能运用等比数列的通项公式和性质求解等比数列的有关计算问题;
3.会运用等比数列知识解决实际问题.
重点:等比数列的性质及其应用;
难点:等比数列的实际应用;
疑点:等比数列性质与等差数列性质的区别.


预习交流1
对照等差数列的性质,分析在等比数列中下列结论是否成立?
(1)若{an}是等比数列,则{a2n},{a2n-1},{kan}(k为非零常数)也是等比数列;
(2)若{an},{bn}都是等比数列,则{anbn},,{a}也是等比数列;
(3)在有穷等比数列{an}中,与首末两项等距离的两项的积相等,即a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1=…;
(4)在等比数列{an}中,若m,n,s,t∈N*,则当m+n=s+t时,有am·an=as·at,特别地,当m+n=2t时,有am·an=a.
预习交流2
解决等比数列问题时,通常可用哪两种方法?它们各自有什么优缺点?
预习交流3
实际应用问题中,哪些常常会与等比数列模型有关?

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做个备忘吧!

我的学困点
我的学疑点




答案:
预习交流1:
提示:上述结论都是成立的,它们可以看作是等比数列的常用性质,证明方法可类比等差数列中相应性质的证明,运用等比数列的定义、通项公式进行证明.
预习交流2:
提示:(1)基本量法:利用等比数列的基本量a1,q,先求公比,后求其他量.这是解等比数列问题的常用方法,其优点是思路简单、实用,缺点是有时计算较繁琐.
(2)等比数列性质法:等比数列相邻几项的积成等比数列、与首末项等距离的两项的积相等在解题中经常被用到.优点是:计算简捷、运算量少,快速准确.
预习交流3:
提示:产值增长率、银行利息、细胞分裂和细菌繁殖等实际问题,常与等比数列有关,可采用等比数列模型求解.


一、等比数列性质的应用

(1)在等比数列{an}中,若a3=,a9=3,则a15=__________.
(2)在等比数列{an}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于__________.
思路分析:对于(1),考虑到已知各项和欲求项的下标之间有关系:3+15=2×9,因此可利用等比数列的性质aman=a计算a15的值;对于(2),由于数列的前13项的乘积都可利用等比数列的性质转化为a7的值,因此可代入求值.

1.在等比数列{an}中,a1,a99是方程x2-10x+16=0的两个根,则a50的值为(  ).
A.10 B.16 C.±4 D.4
2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5a6=,则log2a1+log2a2+…+log2a10等于(  ).
A.5 B.-5 C. D.-
1.等比数列的性质是等比数列定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题.
2.应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系,然后充分利用①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=apaq;②若m+n=2t(m,n,t∈N*),则aman=a进行求解.
二、等比数列的实际应用

一张报纸,其厚度为a,面积为b,现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次,这时报纸的厚度和面积分别为(  ).
A.8a,b B.64a,b
C.128a,b D.256a,b
思路分析:考察报纸每次对折后,厚度和面积是怎么变化的,其中厚度将要变为原来的2倍,而面积则变为原来的一半,所以每次对折后,报纸的厚度和面积都构成等比数列.

某种细胞每隔20分钟分裂一次,由1个分裂为2个,那么1个这样的细胞,经过3个小时后,可以得到的细胞的个数为(  ).
A.256 B.512 C.1 024 D.2 048
1.一般地,涉及产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题时,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解.
2.建立等比数列模型进行运算时,往往涉及指数、对数方程或不等式的问题,要注意运算的正确性,还要善于进行估算,对于近似计算问题,答案要符合实际问题的需要.
三、等差数列与等比数列的综合问题

若正项等比数列{an}的公比为q,且q≠1,a3,a5,a6成等差数列,则=__________.
思路分析:将a3,a5,a6都用a1和q表示,由a3,a5,a6成等差数列建立a1和q的方程求得a1和q的值,而可化简为,从而即可求出式子的值.

已知实数a,b,c成等差数列,a+1,b+1,c+4成等比数列,且a+b+c=15,求a,b,c.
求解等差数列与等比数列的综合问题时,关键是熟记两种数列的通项公式以及有关性质,根据题意建立方程(组)进行求解,同时还要注意整体思想的运用.

1.(2012安徽高考,文5)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=(  ).
A.1 B.2 C.4 D.8
2.已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=(  ).
A.-4 B.-6 C.-8 D.-10
3.已知数列{an}是首项为a1=4的等比数列,且4a1,a5,-2a3成等差数列,则其公比q等于(  ).
A.1 B.-1
C.1或-1 D.
4.等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=(  ).
A.12 B.10
C.1+log35 D.2+log35
5.已知等差数列{an}的前4项和为10,且a2,a3,a7成等比数列,求数列{an}的通项公式.

提示:用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.

知识精华
技能要领




答案:
活动与探究1:(1)18 (2)-213 解析:(1)由等比数列的性质知a3a15=a,所以a15===18.
(2)因为{an}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=a,于是该数列的前13项的乘积a1a2…a13=a=(-2)13=-213.
迁移与应用:
1.C 解析:依题意可得a1·a99=16,而a1·a99=16=a,所以a50=±4.
2.B 解析:log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2…a10)=log2(a5a6)5=log25=-5.
活动与探究2:C 解析:每次对折后,报纸的厚度构成公比为2的等比数列,面积构成公比为的等比数列,因此对折7次后,报纸的厚度为a×27=128a,报纸的面积为b×7=b.
迁移与应用:
B 解析:经过3个小时,该细胞要分裂9次,所以1个这样的细胞,经过3个小时后,可以得到的细胞的个数为1×29=512.
活动与探究3: 解析:依题意有2a5=a3+a6,所以2a1q4=a1q2+a1q5,整理得q3-2q+1=0,
因此(q-1)(q2+q-1)=0,因为q≠1,所以q2+q-1=0,解得q=或q=.而数列为正项数列,所以q>0,因此舍去q=,故q=.
于是====.
迁移与应用:
解:依题意可得解得a=2,b=5,c=8或a=11,b=5,c=-1.
当堂检测
1.A 解析:由题意可得,a3·a11=a27=16,∴a7=4.
∴a5===1.
2.B 解析:依题意可知a=a1a4,即(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,于是a2=-8+2=-6.
3.C 解析:依题意有2a5=4a1-2a3,即2a1q4=4a1-2a1q2,整理得q4+q2-2=0,解得q2=1(q2=-2舍去),所以q=1或q=-1,选C.
4.B 解析:由于{an}是等比数列,所以a5a6=a4a7=9,于是log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=log395=10.
5.解:设数列{an}的首项为a1,公差为d,则a1+a2+a3+a4=10,则2a1+3d=5,由于a2,a3,a7成等比数列,所以a=a2a7,化简得3a1d+2d2=0,所以解得或
所以数列{an}的通项公式为an=或an=3n-5.

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