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等比数列导学案4(高二数学)
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/2/2  
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第3课时 等比数列的前n项和


学习目标
重点难点

1.会推导等比数列的前n项和公式;
2.记住等比数列的前n项和公式,能够运用前n项和公式解决有关问题;
3.记住等比数列前n项和的性质,能运用这些性质解决问题.
重点:等比数列的前n项和公式的推导与应用;
难点:等比数列的前n项和公式的灵活运用;
疑点:等比数列前n项和性质与等差数列前n项和性质的区别.


等比数列{an}前n项和公式为Sn=____________或Sn=______________(其中a1为首项,q为公比,an为第n项).
预习交流1
课本中给出了等比数列前n项和公式的一种推导方法——错位相减法,你能否从等比数列的定义出发,给出另外的推导方法?
预习交流2
在应用等比数列前n项和公式求和时,如果公比q未确定,应注意什么问题?
预习交流3
对比等差数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,在等比数列{an}中是否也有Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…构成等比数列?
预习交流4
如果{an}是等比数列,前n项和为Sn,那么当Sn=A·qn+B(q≠0,q≠1)时,常数A,B应满足什么关系?

在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做个备忘吧!

我的学困点
我的学疑点




答案:
 
预习交流1:提示:解法一:由等比数列定义知:
===…==q,
当q≠1时,=q,
即=q,∴Sn=.
当q=1时,Sn=na1.∴Sn=
解法二:Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1
=a1+q(a1+a1q+…+a1qn-2)
=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an),
∴当q≠1时,Sn=,当q=1时,Sn=na1.
∴Sn=
预习交流2:提示:在应用公式Sn=或Sn=求和时,应注意公式的使用条件为q≠1,而当q=1时,应按常数列求和,即Sn=na1.因此,对含有字母参数的等比数列求和时,应分q=1与q≠1这两种情况进行讨论.
预习交流3:提示:在等比数列{an}中,若Sn表示其前n项和,那么Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…不一定能构成等比数列,但仍有关系(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)成立.这是因为,当公比q=-1,n为偶数时,有Sn=S2n=S3n=…=0,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…不能构成等比数列,除去这种情况,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍然构成等比数列.
预习交流4:提示:当q≠1时,Sn==-·qn+,可以看出,式子是一个指数式与一个常数的和,并且指数式的系数与这一常数恰好互为相反数,所以当Sn=A·qn+B时,必有A+B=0.


一、等比数列前n项和公式的应用

已知等比数列{an}中,(1)an=3×2n,求S6;(2)a1=-256,a5=-1,求S5.
思路分析:(1)先由通项公式求出该数列的首项和公比,再套用前n项和公式计算S6;(2)由a1,a5的值可求出公比,再套用前n项和公式计算S5.

1.在等比数列{an}中,a1=5,S5=55,则公比q等于(  ).
A.4 B.2 C.-2 D.-2或4
2.(2012重庆高考,文11)首项为1,公比为2的等比数列的前4项和S4=__________.

设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,则公比q的值为(  ).
A.- B. C.1或- D.-1或
思路分析:可根据前n项和公式与通项公式建立公比q的方程求解,但必须首先对q的值分q=1和q≠1进行分类讨论.

设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则其公比等于__________.
在利用等比数列的前n项和公式时,如果其公比不确定,则应对公比分q=1和q≠1两种情况分别进行讨论.
二、等比数列前n项和性质及其应用

(1)等比数列{an}的前3项和为13,前6项和为52,求S12.
(2)若数列{an}是等比数列,且其前n项和Sn=3n+1-2k,求实数k的值.
思路分析:(1)由已知可得该等比数列中第1个3项之和为13,第2个3项之和为39,然后根据等比数列前n项和的性质,求出第3个3项之和,第4个3项之和,从而得到S12;
(2)先利用an与Sn的关系求出an,再根据等比数列的定义求出k的值.

1.已知等比数列{an}中,an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为(  ).
A.3n-1 B.3(3n-1)
C.(9n-1) D.(9n-1)
2.等比数列前n项和为54,前2n项和为60,则前3n项和为(  ).
A.54 B.64 C.66 D.60
1.若一个数列是等比数列,当其前n项和为Sn=Aqn+B(q≠0,q≠1)时,必有A+B=0.
2.等比数列的片段和的性质在解决一些问题时显得非常简单,但应注意的是Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…成等比数列,而不是Sn,S2n,S3n,…成等比数列.

1.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为(  ).
A.81 B.120
C.168 D.192
2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=(  ).
A.2 B.4
C. D.
3.若等比数列{an}的前n项和Sn=2n+r,则r=(  ).
A.2 B.1
C.0 D.-1
4.在等比数列{an}中,若q=-,S5=11,则a1=______.
5.已知等比数列{an}满足a3=12,a8=,记其前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若Sn=93,求n.

提示:用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.

知识精华
技能要领




答案:
活动与探究1:解:(1)由于an=3×2n=6×2n-1,
所以等比数列的首项a1=6,公比q=2,于是S6==378.
(2)设公比为q,由a1=-256,a5=-1可知-256×q4=-1,q4=,因此q=±.
当q=时,S5==-341;
当q=-时,S5==-205.
迁移与应用:
1.C 解析:依题意可得=55,解得q=-2.
2.15 解析:由等比数列前n项和公式Sn=得,S4==15.
活动与探究2:C 解析:当q=1时,S3=3a1=3a3,符合题意;
当q≠1时,=3a1q2,
因为a1≠0,所以1-q3=3q2(1-q),可解得q=-.
综上q=1或q=-.
迁移与应用:
±1 解析:若q=1,则S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,显然满足S3+S6=S9,所以q=1符合题意;若q≠1,则有+=,解得q=-1,所以所求公比等于±1.
活动与探究3:解:(1)由于{an}是等比数列,由其前n项和的性质知:S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9也构成等比数列,即13,39,S9-S6,S12-S9成等比数列,其公比显然为q1==3,于是S9-S6=117,S12-S9=351,因此S12=S3+S6-S3+S9-S6+S12-S9=13+39+117+351=520.
(2)当n=1时,a1=S1=9-2k,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1-2k)-(3n-2k)=2×3n,显然当n≥3时,==3,
又因为{an}是等比数列,
所以=3,于是=3,解得k=.
迁移与应用:
1.D 解析:依题意,由此数列的偶数项所组成的新数列是以6为首项,公比为9的等比数列,所以其前n项和为Sn==(9n-1).
2.D 解析:由于Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也构成等比数列,所以(60-54)2=54(S3n-60),解得S3n=60.
当堂检测
1.B 解析:=27=q3,q=3,a1==3,S4==120.
2.C 解析:因为S4==15a1,
所以==.
3.D 解析:当n=1时,a1=S1=2+r,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+r-2n-1-r=2n-1,显然,当n≥3时,==2,要使数列为等比数列,应有=2,即=2,得r=-1.
4.16 解析:依题意有11=,解得a1=16.
5.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则解得
所以an=a1qn-1=48·n-1.
(2)Sn===96,
由Sn=93,得96=93,解得n=5.

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