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2016年中考数学真题汇编(12)一元二次方程的代数应用(含解析)
所属科目:数学    文件类型:rar
类别:其他
上传日期:2018/3/14  
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知识点012_一元二次方程的代数应用2016.doc
知识点012_一元二次方程的代数应用2016A.doc

“知识点012_一元二次方程的代数应用2016.doc”内容如下:


一、选择题
1. ( 2016福建福州,12,3分)下列选项中,能使关于x 的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是
A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=0
【答案】D
【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式,求字母的取值范围,解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式的情况.据方程有实数根可得ac≤4,且a≠0,对每个选项逐一判断即可. 【详细解答】解:∵一元二次方程有实数根,
∴△=(﹣4)2﹣4ac=16﹣4ac≥0,且a≠0,∴ac≤4,且a≠0;
A.若a>0,当a=1、c=5时,ac=5>4,此选项错误;
B.a=0不符合一元二次方程的定义,此选项错误;
C.若c>0,当a=1、c=5时,ac=5>4,此选项错误;
D.若c=0,则ac=0≤4,此选项正确,故答案为D .
【解后反思】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)(1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根;这些结论反过来也成立.另外一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根b2-4ac≥0.
【关键词】一元二次方程根的判别式;
2. (2016甘肃兰州,9,4分)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形的边长.设原正方形的空地的边长为xm,则可列方程为( )

A.(x+1) (x+2)=18 B.x2-3x+16=0 C.(x-1) (x-2)=18 D.x2+3x+16=0
【答案】C
【逐步提示】根据题意,剩余空地是一个长方形,先用x的代数式表示剩余的长方形空地的长与宽,再根据等量关系“剩余空地的面积为18 m2”列出方程. 【详细解答】解:根据题意,剩余的长方形空地的长为(x-1) m,宽为(x-2) m,所以可列出方程得(x-1) (x-2)=18,故选择C. 【解后反思】列方程(组)解应用题的一般步骤为:
(1)审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的等量关系.
(2)设:根据题意,设恰当的未知数. 设未知数有“直接设元”与“间接设元”两种方法.
(3)列:将相等关系中的各个量用含未知数的代数式表示出来,再根据相等关系列出方程.
(4)解:解方程,得出未知数的值.
(5)验:审查得出的方程的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
(6)答:写出答案. (注意,如果是间接设元,要先将未知数的值转化为题中所求的量,再作答).
【关键词】一元二次方程的应用
3. (2016广东省广州市,10,3分)定义运算:a★b=a(1-b),若a,b是方程x2-x+m=0(m<1)的两根,则b★b-a★a的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.与m有关
【答案】A
【逐步提示】利用方程根的定义,把a,b代入方程x2-x+m=0(m<1),可得“a2-a”与“b2-b”均等于m.再根据新定义运算,化简求值式b★b-a★a,并适当整理构建“a2-a”与“b2-b”进行整体求值.
【详细解答】解:∵a,b是方程x2-x+m=0(m<1)的两根,∴a2-a+m=0,b2-b+m=0,∴a2-a=b2-b=-m.∵a★b=a(1-b),∴b★b-a★a=b(1-b)-a(1-a)=b-b2-a+a2=(a2-a)-(b2-b)=0,故选择A.
【解后反思】(1)新定义运算型试题,要抓住新定义运算的法则或者顺序,并将此定义作为解题的依据,通常照套法则即可.需要注意两点:①有括号时应当先算括号里面的;②新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律,不能随便套用运算律解题.总之,新定义型问题是“披了一件新外衣”,解决方法还是用原知识点.
(2)整体思想就是在解决问题时,不是着眼于它的局部特征,而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的.
【关键词】代数式求值;方程的解;新定义运算;整体思想
4. ( 2016河北省,14,2分)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( )[来源:
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.无实数根 D.有一根为0
【答案】B
【逐步提示】本题考查了一元二次方程根的判别式,先化简不等式得到ac<0,进而判断出b2-4ac的符号,由此可知方程根的情况.
【详细解答】解:∵(a-c)2>a2+c2,即a2-2ac+c2>a2+c2,∴ac<0,a≠0.∴关于x的方程ax2+bx+c是一元二次方程,且b2-4ac>0,故该方程有两个不相等的实数根.
【解后反思】1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当b2-4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当b2-4ac<0时,一元二次方程没有实数根;当b2-4ac≥0时,一元二次方程有实数根,以上结论反过来也成立.2.对于方程ax2+bx+c=0来说,只有当a≠0时,这个方程才是一元二次方程.
【关键词】 不等式;根的判别式;一元二次方程的定义
5. ( 2016湖北省黄冈市,4,3分)已知方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1,x2.则
x1+x2=( )
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【逐步提示】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是熟练掌握根与系数的关系,并能准确的确定方程中的系数。观察方程可知a=3,b=-4,根据根与系数的关系x1+x2=-可以求出其值。 【详细解答】解:∵方程3x2-4x-4=0的两个实数根分别为x1,x2 ,a=3, b=-4.
∴x1+x2=.故选择D. 【解后反思】欲求一元二次方程的两根之和,只需熟练掌握根与系数的关系即可,如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x1,x2,,那么根与系数具有如下关系:x1+x2=, x1x2=.
【关键词】 一元二次方程根与系数的关系。

6.(2016湖南省衡阳市,9,3分)随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭。抽样调查显示,截止至2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆,已知2013年底该市汽车拥有量为10万辆,设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为,根据题意列方程得( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【逐步提示】本题考查了列一元二次方程解应用题,解题的关键是找出题目中的相等关系,能用含未知数的代数式表示相等关系中的相关量.根据增长率问题题意列出2014年底该市汽车拥有量,再列出2015年底该市汽车拥有量,然后根据2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆为相等关系列方程求解. 【详细解答】解:根据题意可知,2014年底该市汽车拥有量为,2015年底该市汽车拥有量为 ,所以方程为 ,故选择A . 【解后反思】增长(降低)率是列方程解实际问题最常见的题型之一,对于平均增长率问题,正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键,常见的词语有:“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等.弄清基数、增长(减少)后的量及增长(减少)次数. 【关键词】一元二次方程的应用 ;增长率问题
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二、填空题
1. ( 2016甘肃省天水市,15,4分)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中“○”的个数,若第n个“龟图”中有245个“○”,则n=______.

【答案】16.
【逐步提示】本题考查了从图形规律中得出数字规律以及解一元二次方程,解题的关键是通过归纳与总结,并结合图形得出数字之间的规律.
【详细解答】解:观察图形,发现每个“龟图”中“○”的个数为:
第一个:1+4=1+4+0×1;
第二个:1+4+2=1+4+1×2;
第三个:1+4+6=1+4+2×3;
第四个:1+4+12=1+4+3×4;
……
第n个:1+4+(n-1)·n=n2-n+5.
所以n2-n+5=245,解得n1=16,n2=-15(舍去),故答案为16.
【解后反思】实际中,部分学生在求解时没有仔细研究图形,仅是就每个图形数出个数,从而导致无法发现规律.另外,还可以这样解:先设第n个图形有y个“○”,然后设y=an2+bn+c,接下来,由n=1时,y=5;n=2时,y=7;n=3时,y=11,列三元一次方程组,解得,从而得到y=n2-n+5.最后,把y=245代入获解,后续过程同上.
【关键词】一元二次方程的解法——因式分解法;规律探索型问题;特殊与一般思想.
2. ( 2016省市,11,3分)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则的取值范围__________________.
【答案】k>-
【逐步提示】本题考查了一元二次方程实数根的情况与根的判别式之间的关系,利用根的判别式列出不等式求字母系数的取值范围解题的关键是熟练掌握根的判别式与一元二次方程实数根的情况之间的关系.解题的一般步骤:(1)首先由方程有两个不相等的实数根得=b2-4ac>0,(2)解一元一次不等式求出k取值范围.
【详细解答】解:∵方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根
∴=b2-4ac>0,即32-4(-k)>0
解之得k>-,故答案为k>- .
【解后反思】本题重难点是一元二次方程实数根的情况与根的判别式之间的关系.一般方法规律为一元二次方程实数根的情况与根的判别式之间的关系有三种情况:(1)当b2-4ac>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;(2)当b2-4ac=0时,一元二次方程有两个相等的实数根;(3)当b2-4ac<0时,一元二次方程没有实数根. 注意方程要化成一般形式
【关键词】一元二次方程;根的情况;根的判别式;解一元一次不等式.
3. ( 2016湖北省黄石市,12,3分)关于的一元二次方程=0的两实数根之积为负,则实数的取值范围是________.
【答案】>.
【逐步提示】本题考查了一元二次方程根与系数关系,解题的关键是熟记一元二次方程根与系数关系.解答时直接运用一元二次方程的根与系数关系列不等式即可求解.
【详细解答】解:由一元二次方程的根与系数关系,得<0,解得>,故答案为>.
【解后反思】已知两根的和或两根的积要联想一元二次方程的根与系数关系.一元二次方程根与系数的关系是解决字母系数问题的常见方法,熟练掌握=,=可方便快捷的解题.
【关键词】一元二次方程根
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“知识点012_一元二次方程的代数应用2016A.doc”内容如下:


一、选择题
1. (2016浙江台州,8,4分)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是(   )
A. B. C. D.
【答案】A
【逐步提示】本题考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键是找出题目中的相等关系,每支球队都与其余x–1支球队进行比赛,所以有x(x–1),但是其中重复一次,所以应该是共比赛场,即可列出方程.
【解析】∵共比赛了45场,有x支球队,∴ ,故答案为A.
【解后反思】列方程(组)解应用题的一般步骤为:
(1)审:是指审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的等量关系.
(2)设:根据题意,设恰当的未知数. 设未知数有“直接设元”与“间接设元”两种方法.
(3)列:将相等关系中的各个量用含未知数的代数式表示出来,再根据相等关系列出方程.
(4)解:解方程,得出未知数的值.
(5)验:审查得出的方程的解是否符合题意,舍去不合题意的解.
(6)答:写出答案. (注意,如果是间接设元,要先将未知数的值转化为题中所求的量,再作答).
【关键词】一元二次方程的实际应用;球赛问题

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二、填空题
1. (2016新疆建设兵团,13,5分)某加工厂九月份加工了10吨干果,十一月份加工了13吨干果,设该厂加工干果重量的月平均增长率为x,根据题意可列方程为 .
【答案】10(1+x)2=13
【逐步提示】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题,解题的关键是找出题中的等量关系,根据等量关系列出方程.先根据增长率问题中的数量关系,把十一月份加工的干果数量用含x的代数式表示,进而根据相等关系“十一月份加工了13吨干果”列出方程.
【详细解答】解:由题意得:十月份加工干果数量为10(1+x),十一月份加工干果数量为10(1+x)2,又已知十一月份加工了13吨干果,所以可方程为:10(1+x)2=13,故答案为10(1+x)2=13 . 【解后反思】在增长率问题中,若增长率用x表示,在a的基础上连续两次增长后可用代数式a(1+x)2,若在a的基础上连续两次降低的百分率为x后得到的结果可用代数式a(1-x)2表示. 【关键词】一元二次方程的应用;增长率问题;

2. ( 2016四川省成都市,24,4分)实数a,n,m,b满足a<n<m<b,这四个数在数轴上对应的点分别是A,N,M,B(如图),若AM2=BM·AB,BN2=AN·AB,则称m为a,b的“黄金大数”,n为a,b的“黄金小数”,当b-a=2时,a,b的黄金大数与黄金小数之差m-n= .

【答案】.
【逐步提示】本题考查了一元二次方程的解法,解题的关键是利用已知条件求出AB,然后列出关于AM、BN的方程,再求解.根据b-a=2知AB=2,结合AM2=BM·AB及BM=AB-AM,求出AM长,同理求得BN长,即可求出MN即m-n的值. 【详细解答】解:∵AM2=BM·AB,又∵BM=AB-AM,∴AM2=(AB-AM)AB,又∵AB=b-a=2,∴AM2=(2-AM)×2,解得:AM=,同理BN=,∴MN=AM+BN-AB=. 【解后反思】本题结合数轴,考察了一元二次方程的解法,结合数轴上点的意义,得到b-a即为线段AB的长度,然后把已知AM2=BM·AB及BN2=AN·AB看作关于AM(或 BM)或AN(或 BN)的一元二次方程,即可求出线段AB上的任意一条线段. 【关键词】数轴;一元二次方程的解法---求根公式法;数形结合思想;
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三、解答题
1. (2016新疆,20,分)某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?
【逐步提示】本题考查了一元二次方程的应用,本题的关键是弄清楚单循环赛的形式:即每两队之间都赛一场.设应邀请x支球队参赛,用代数式把比赛总场数表示出来根据题意就可列出方程,再解 这个方程.
【解析】设应邀请x支球队参赛,则每对共打 (x﹣1)场比赛,比赛总场数用代数式表示为x(x﹣1).根据题意,可列出方程x(x﹣1)=28.整理,得x2﹣x=28,解这个方程,得 x1=8,x2=﹣7.合乎实际意义的解为 x=8.答:应邀请 8支球队参赛.
【解后反思】根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程,通过解方程解决实际问题,当方程的解不只一个时,要根据题意及实际问题确定出符合题意的解.
【关键词】一元二次方程;一元二次方程的应用 ;一元二次方程的应用-----其它问题;;

2. ( 2016四川省巴中市,27,7分)随着国家“惠民政策”的陆续出台,为了切实让老百姓得到实惠,国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为,某种药品原价200元/瓶,经过连续两次降价后,现在仅卖98元/瓶,现假定两次降价的百分率相同,求该种药品平均每次降价的百分率.
【逐步提示】本题考查了一元二次方程的应用---降价的百分率问题,解题的关键是结合问题实际,掌握百分率问题的表达式.根据题意,得次降价的百分率为x,降价的基数a是200,降价后的数量b是98,“两次降价”表明n=2.根据降低率公式a(1-x)n=b构建方程求解. 【详细解答】解:(1)设平均每次降价的百分率为,根据题意,得:
200(1-x)2=98.
解得:x1=0.3=30%,x2=1.7(不合题意,舍去).
答:平均每次降价的百分率为30%.
【解后反思】对于一元二次方程的实际应用——增长(或降低)率问题,设基数为a,平均增长(或降低)率为x,增长(或降低)的次数为n,增长(或降低)后的量为b,则表达式为a(1±x)n=b.用一元二次方程解决实际问题时,得出的结果既要考虑本身是否有意义,还要考虑是否符合实际情况,通常需要把与实际不符的答案去掉,得到问题的唯一答案.
增长(降低)率是列方程解实际问题最常见的题型之一,对于平均增长率问题,正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键,常见的词语有:“增加”“增加到”“增加了几倍”“增长到几倍”“增长率”等等.弄清基数、增长(减少)后的量及增长(减少)次数. 增长率问题;类似的还有平均降低率问题,注意区分“增”与“减”.
【关键词】一元二次方程的应用---增长率问题;
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