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2016年中考数学真题汇编(8)分式、分式方程及其应用(含解析)
所属科目:数学    文件类型:rar
类别:其他
上传日期:2018/3/14  
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知识点008_分式、分式方程及其应用2016.doc
知识点008_分式、分式方程及其应用2016A.doc

“知识点008_分式、分式方程及其应用2016.doc”内容如下:


一、选择题
1. ( 2016安徽,5,4分)方程的解是( )
A.- B. C.-4 D.4
【答案】D.
【逐步提示】先把方程两边同乘以x-1,化分式方程为整式方程,然后解这个整式,检验整式方程的解后直接选择. 【详细解答】解:方程两边同乘以x-1,得2x+1=3(x-1),解得x=4,经检验m=4是原方程的解,故选择D. 【解后反思】解分式方程的一般方法是把分式方程化成整式方程来解,并且一定要检验方程的根,把增根舍去.本题也可以把各选项的值代入方程找出正确的选项.
【关键词】 分式方程、分式方程的解法
2. ( 2016甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市,8,3分)某工厂现在平均每天比原计划每天多生产50台机
器,现在生产800台机器所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同,设原计划平均每天生产x台机器,根据题意,下面所列方程正确的是( )
A. B. C. D.

【答案】A
【逐步提示】本题考查了分式方程的应用,解题的关键是将题中的相等关系用含有未知数的
代数式表示,用含有x的代数式表示现在平均每天生产的机器数量,再根据题中关于时间
的相等关系列方程即可.
【详细解答】解:设原计划平均每天生产x台机器,则现在平均每天生产(x+50)台机器,
现在生产800台机器所需时间可表示为,原计划生产600台机器所需时间可表示为
,根据这两者时间相等,得方程,故选择A.
【解后反思】列分式方程与列整式方程一样,先分析题意,准确找出应用题中包含的等量关
系,恰当地设出未知数,列出方程.
【关键词】分式方程的应用;
3. ( 2016甘肃省天水市,7,4分)已知分式的值为0.那么x的值是( )
A.-1 B.-2 C.1 D.1或-2
【答案】B
【逐步提示】本题考查了分式的值为0的条件,求解关键是根据这个条件列出方程和不等式.本题涉及到的知识:分式有意义的条件是分母不为0;分式的值为0的条件是分子为0,且分母不为0.
【详细解答】解:根据题意,得,解之得x=-2,故选择B.
【解后反思】实际求解中,学生易忽视分母不等于0的条件而错误地选择D.
【关键词】分式;一元二次方程的解法——因式分解法;一元二次方程的解法——直接开平方法.
4. (2016广东省广州市,14,3分)方程=的解是 .
【答案】x=-1
【逐步提示】利用解分式方程的一般步骤直接解分式方程即得其解.
【详细解答】解:去分母,得x-3=4x.移项合并同类项,得-3x=3.∴x=-1.
检验:当x=-1时,2x(x-3)=8≠0.∴x=-1是原分式方程的解.故答案为x=-1.
【解后反思】(1)解分式方程的基本思想是转化思想,即通过去分母把分式方程转化成整式方程来解.
(2)解分式方程去分母时,首先要找准最简公分母,注意最简公分母要包含各分式所有分母的因式,分母是多项式的,应先分解因式,再从系数、相同字母、不同字母三个方面考虑,其中系数取最小公倍数,相同字母或因式取最高次幂,互为相反数的因式,注意通过符号变化取其中一个作为最简公分母的因式即可;其次,依据等式的基本性质,分式方程的每一项都要乘以最简公分母,特别不要漏乘没有分母的项,还要注意不要去掉括号以及避免符号变形错误.
(3)解分式方程必须验根,一般方法为把所解得的未知数的值代入最简公分母,若为零则为増根,不为零则为原分式方程的解.
【关键词】解分式方程
5. (2016贵州省毕节市,13,3分)为加快“最美毕节”环境建设,某园林公司增加了人力进行大型树木移植,现在平均每天比原计划多植树30棵,现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同,设现在平均每天植树x棵,则列出的方程为(   )
A. B. C. D.
【答案】A
【逐步提示】本题考查分式方程的应用,解题的关键是找出题中的等量关系.①题中的等量关系是:现在植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同;②现在植树400棵所需时间为:;原计划植树300棵所需时间为:;③现在平均每天植树x棵,原计划每天植树(x-30)棵. 【详细解答】解:由题意,得方程组,故选择A. 【解后反思】本题的易错点是容易误认为x是原计划每天植树棵数,从而误选C.通常我们假设未知数时,一般设较小的一个量为x,用和或倍数表示另一个量,但这并非原则和规定,设较大的量为x也可以. 【关键词】 分式方程的应用;
6.( 2016河北省,4,3分)下列运算结果为x-1的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【逐步提示】分别计算(或化简)每个式子,看其结果是否为x-1. 【详细解答】解:,,,,故运算结果为x-1的是选项B. 【解后反思】分式的运算法则如下:
运算
法则
数学表达式

加减法
同分母相加减:分母不变,分子相加减.
±=.


异分母相加减:先通分,同乘以各分母的最小公倍数,再按同分母相加减法则运算.
.

乘法
两分式相乘:分子与分子相乘,分母与分母相乘.
.

除法
分式A÷B则A·,然后用分式乘法进行运算.
.


【关键词】 分式的乘除;分式的加减;分式的约分
7. ( 2016河北省,12,2分)在求3x的倒数的值时,嘉淇同学将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.依上述情形,所列关系式成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【逐步提示】本题考查了倒数的表示及列分式方程,找到题目中的等量关系是解题的关键.
【详细解答】解:3x、8x的倒数分别为,,根据“她求得的值比正确答案小5” 可知“比小5”,故可列方程为=-5,答案为选项C.
【解后反思】1.a(a≠0)的倒数的,注意不要将其与相反数,绝对值等相混淆;2.列方程的关键是找对等量关系,如本题要弄清两个倒数的大小关系.
【关键词】 倒数;列分式方程
8. ( 2016湖北省十堰市,7,3分)用换元法解方程时,设,则原方程可化为( )
A. B.y--3=0 C.y- D.y-+3=0.
【答案】B
【逐步提示】本题主要考查分式方程的换元方法,解题的关键是理解和是一对互为倒数的关系;解题的思路:设,那么. 【详细解答】解:因为 ,所以,原方程可以变形为y--3=0故选择B . 【解后反思】分式方程求解的方法主要有两个,一是直接在方程的两边同乘以最简公分母,把分式方程转化为整式方程来解;另一个是换元后,再转化为整式方程求解.思维拓展:换元法不仅可以解部分分式方程,也可以解部分一元高次方程或无理方程,有时因式分解也需要用到换元法.
【关键词】分式方程和无理方程; 分式方程的解法
9.(2016湖南省衡阳市,2,3分)如果分式有意义,则的取值范围是( )
A. 全体实数 B. C. D.
【答案】B
【逐步提示】本题考查了分式有意义的条件,解题的关键是理解分式有意义的条件.第一步:根据分式有意义的条件是分母的值不等于0,列出不等式;第二步:解不等式,即可求得答案。 【详细解答】解:由题意,得:,解得,故选择 B. 【解后反思】对于分式而言,当B≠0时,分式有意义;当B=0时,分式无意义;当A=0且B≠0时分式的值为零;当A、B同号时,分式的值为正;当A、B异号时,分式的值为负.
【关键词】 分式;求字母的取值范围
10. ( 2016湖南省湘潭市,4,3分)若分式的值为0,则x=( )
A. -1 B.1 C. ±1 D. 0
【答案】B
【逐步提示】本题考查了分式的值为0的条件,解题的关键是根据“分式的值为0的条件:分子为0,分母不等于0”列出方程和不等式求解.应由分子为0列方程求x的值,再根据分母不为0进行检验.
【详细解答】解:由题意可知x-1=0,得x=1.由x+1≠0,得x≠-1,所以x=1,故选择B.
【解后反思】分式的值为0需要同时具备两个条件:一是分子等于0,二是分母不等于0,二者缺一不可.此类问题容易出错的地方是忽视分式的值为0的前提条件:分式有意义,即分母不等于0.
【关键词】分式的值为零的条件
11. ( 2016年湖南省湘潭市,4,3分)若分式的值为0,则=( )
A. -1 B.1 C.±1 D.0
【答案】B
【逐步提示】本题考查了分式的值为0的条件,解题的关键是根据“分式的值为0的条件”列出方程和不等式.解题步骤是由分子为0列方程求x的值,再根据分母不为0进行检验. 【详细解答】解:由题意可知x-1=0,得x=1.由x+1≠0,得x≠-1,所以x=1,故选择B . 【解后反思】分式的值为0需要同时具备两个条件:一是分子等于0,二是分母不等于0,二者缺一不可.因此易出错的地方是忽视分式的值为0的前提条件:分式有意义,即分母不等于0.
【关键词】分式 ;分式的概念及基本性质;求字母的取值范围;;
12. ( 2016江苏省连云港市,5,3分)若分式的值为,则
A. B. C. D.或
【答案】C
【逐步提示】本题考查了分式为零的概念,掌握分式为零的条件是解题的关键.先确定分式的分子为零时自变量的值,再检验分母是否为零. 【详细解答】解:当分式的分子为零而分母不为零时,分式的值为0,所以当x-1=0,即x=1时,分式的值为零,故选择C . 【解后反思】在处理有关分式的问题时,一定要注意使分式有意义,包括分式的值为零,解分式方程,以及分式的化简求值,都需要在分式有意义的前提下才行.
【关键词】分式的值为零 ;
13. (2016山东省德州市,7,3分)化简:
A. B. C. D.
【答案】B
【逐步提示】(1)先分子、分母分别分解因式,约分后再通分,化为同分母的分式,然后再进行加减运算;(2)注意最后结果保留能化简的一定要化简,最后结果保留最简形式. 【详细解答】解:= = = = = ,故选择 B. 【解后反思】(1)在进行异分母分式加减法运算时,通常是先把分子分母分解因式,然后再通分,化成同分母分式进行运算,最后结果要保留最简分式或整式的形式;(2)解这类问题时,有时候方法和做题经验也很关键,在本题中,第一个分式的分子不需要按常规思路先分解因式. 【关键词】 异分母分式的加减法
14. (2016山东滨州 4,3分)下列分时中,最简分式是( )
A. B. C. D.
【答案】A.
【逐步提示】根据最简分式的定义,每个选项逐个判断.
【详细解答】解:B选项,;
C选项,;
D选项,
故选择A .

【解后反思】一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式,当一个分式的分子和分母是多项式的时候先要把多项式分解因式,看是否存在公因式
【关键词】最简分
…………………………
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“知识点008_分式、分式方程及其应用2016A.doc”内容如下:


一、选择题
1. ( 2016四川省内江市,8,3分)甲、乙两人同时分别从A、B两地沿同一条公路骑自行车到C地,已知A、C两地间的距离为110千米,B、C两地间的距离为100千米,甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时,结果两人同时到达C地,求两人的平均速度分别为多少.为解决此问题,设乙骑自行车的平均速度为x千米/时,由题意列出方程,其中正确的是( )
A. = B. = C. = D. =
【答案】A.
【逐步提示】此题是行程问题,涉及的等量关系是时间= .列方程解应用题的关键是找出题中的等量关系,该题中的等量关系是:甲、乙两人同时不同地出发,“结果两人同时到达C地”,值得注意的是甲的平均速度比乙快2千米/时,千万别弄颠倒了. 【详细解答】解:设乙骑自行车的平均速度为x千米/时,则甲的平均速度为(x+2)千米/时.
则根据题意,得=,
故选择A. 【解后反思】此题是分式方程的应用,列方程解应用题一直是部分学生的难点,除认真审题外,用表格分析法,有助于难点的突破,可让学生尝试.例如,本题可用表格分析如下:

甲
乙

路程(千米)
110
100

速度(千米/时)
x+2
x

时间(时)



等量关系
=

【关键词】分式方程的应用

2. . ( 2016山东青岛,6,3分)A,B两地相距180km,新修的高速公路开通后,在A,
B两地间行驶的长途客车平均车速提高了 50%,而从A地到B地的时间缩短了 1h .若设原
来的平均车速为xkm/h,则根据题意可列方程为( ).
A. B .
C . D .
【答案】A
【逐步提示】先根据题意表示出新修的高速公路开通后的车速、原来的行驶时间和现在的行驶时间,再根据原来和现在的行驶时间之间的关系列出方程. 【详细解答】解:设原来的平均车速为xkm/h,则新修的高速公路开通后车速为(1+50%)xkm/h,原来的行驶时间为h,现在的行驶时间为h,根据“原来行驶时间-现在行驶时间=1 h”可列方程为,故选择A. 【解后反思】列分式方程解应用题的一般步骤:(1)审题:找出题目中的等量关系,这是关键;(2)设未知数:根据题目的要求设合适的未知数;(3)列方程:根据等量关系列出方程;(4)解分式方程;(5)验根:分式方程要写出检验的步骤.
【关键词】 分式方程的应用

3. ( 2016山东泰安,4,3分)计算:的结果为( )
A. B. C. D.a
【答案】C
【逐步提示】本题考查了分式的化简,解题的关键是掌握分式的通分、约分及因式分解.分式的分子、分母能因式分解的先进行因式分解,然后再根据分式的乘除法法则进行约分化简,最后依据同分母分式的加减法进行计算. 【详细解答】解:=
===,故选择C . 【解后反思】将分式的除法转化为乘法后利用乘法法则:分子、分母分别相乘,并注意根据分式的基本性质,对分式进行约分.切忌不约分直接进行计算.最后依据同分母分式的加减法法则:分母不变,分子相加减. 【关键词】 因式分解;分式的基本性质;分式的乘除法;约分;同分母分式的加减.
4. ( 2016山东泰安,13,3分)某机加工车间共有26名工人,现要加工2100个A零件,1200个B零件,已知每人每天加工A零件30个或B零件20个,问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)?设安排x人加工A零件,由题意列方程得( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【逐步提示】本题考查了分式方程应用中的工程问题,解题的关键是准确找出题中的等量关系.根据加工A零件的总数和每人每天的加工个数,可以知道x人加工A零件需要的天数,同样根据加工B零件的总数和每人每天的加工个数,可以知道剩余的(26-x)人加工B零件所需的天数,由于要求同时完工,所以通过时间相等找到等量关系,从而列出方程. 【详细解答】解:设x人加工A零件,(26-x)人加工B零件,则x人每天可加工A零件30x个,(26-x)人每天可加工B零件20(26-x)个.根据题意可列方程:
.故答案为A . 【解后反思】解决工程问题,要抓住工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系:工作总量=工作效率×工作时间.再结合题意找到其中的等量关系,列出方程即可.另外,再解分式方程的应用题时,一定要记得检验. 【关键词】 分式方程的应用;工程问题.

5. ( 2016山东潍坊,10,3分)若关于x的方程的解为正数,则m的取值范围是( )
A. B.且 C. D.且
【答案】B
【逐步提示】本题考查了分式方程的解与一元一次不等式,解题的关键是化分式方程为整式方程,注意分母不能为零.先把两边同乘以x-3,化分式方程为整式方程,解这个含有字母m的方程,根据解为正数转化为求字母m的不等式,再结合分母不能为0的条件来确定m的取值范围. 【详细解答】解:方程两边同乘以x-3,得:
解得:,由题意方程的解为正数,
故,解得:
又∵x-3≠0,∴x≠3,即,m≠.
∴且.
故选择B . 【解后反思】解有关带有字母的分式方程解的题目时,首先考虑到先用题目中含有的字母的代数式(如本题中的m)表示方程的解x,然后根据题目的条件确定字母的取值范围,解答时要注意字母的取值不能使分式方程产生增根.
【关键词】分式方程;一元一次不等式;


6.(2016天津,7,3分)计算 的结果为(   )
A.1   B.  C.  D.
【答案】A
【逐步提示】本题考查了分式的加减运算.利用分式的加减法则进行计算,同分母的分子相加减,分母不变,分子相加减,再根据分式的除法法则进行约分.
【解析】原式= ,故选择 A.
【解后反思】本题考查分式的运算,包括分式的加减、分式的乘除,解题的关键是掌握分式的运算法则.
【关键词】分式的运算


7(2016新疆,9,5分)两个小组同时从甲地出发,匀速步行到乙地,甲乙两地相距7500米,第一组的步行速度是第二组的1.2倍,并且比第二小组早15分钟到达乙地,设第二小组的步行速度为x千米/每小时,根据题意列方程得( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【逐步提示】本题考查了根据实际问题中的等量关系列出分式方程,解题的关键是审题并找出等量关系.分析题意可知路程已知,速度设成未知数,只能从时间上寻找相等关系,即“第一小组比第二小组早15分钟到达乙地”用未知数表示相等关系左右两边可列出方程.
【解析】7500米=7.5米,15分钟= 小时,第一组所用的时间为小时,第二组所用的时间为 根据“第一小组比第二小组早15分钟到达乙地”列方程得,故选择D .
【解后反思】列分式方程与列整式方程一样,先分析题意,准确找出应用题中包含的等量关系,恰当地设出未知数,列出方程.在行程类问题中,有一个基本的等量关系:路程=速度×时间.一般地,在路程、速度、时间三个数量中,必定会有一个已知量(这里是路程),设另外两个量中的一个量(这里是速度),则应根据第三个数量(这里是时间)之间的等量关系列方程;列方程时应注意“多退少补”的原则,使等号两边的数量在大小上保持相等.
【关键词】分式;可化为一元一次方程的分式方程;分式方程的应用;;


8.(2016淅江丽水,4,3分)+的运算结果正确的是
A. B. C. D.ab
【答案】C
【逐步提示】先通分,再合并.
【解析】+=+=,故选择C.
【解后反思】异分母分式相加减,先通分转化为同分母分式再进行加减.
【关键词】分式加减;通分


9.(2016浙江台州,6,4分)化简的结果是(   )
A.-1  B.1  C.  D.
【答案】D
【逐步提示】这一题是分式的化简,对于这一题首先,对分子分母进行因式分解,然后进行约分.
【解析】,故答案为D .
【解后反思】在这一题中,最容易错的是符号出错,或者是学生对于平方差公式不熟悉而出错,另外相关的方法如下:
1.分式化简的一般过程:
(1)有括号先计算括号内的(加减法关键是通分);
(2)除法变为乘法;
(3)分子分母能因式分解进行分解;
(4)约分,化最简分式.
2.
平方差公式
两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差,即(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方公式
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍,即(a±b)2=a2±2ab+b2

【关键词】分式的化简;平方差公式;完全平方公式;

10 ( 2016四川省成都市,7,3分)分式方程=1的解为( )
A.x=-2     B.x=-3     C.x=2     D.x=3
【答案】B.
【逐步提示】本题考查了解分式方程,解题的关键是将分式方程转化为整式方程求解.首先去分母把分式方程转化为整式方程,然后解这个整式方程,最后进行检验即可. 【详细解答】解:去分母,两边同乘以(x-3),得2x=x-3,解得x=-3.
经检验x=-3是原方程的根 ,故选择B . 【解后反思】解分式方程的基本思路是通过去分母,将分式方程转化为整式方程来解.另外,解分式方程时,检验是必不可少的重要步骤之一,因为在方程两边都乘以最简公分母时,可能会产生增根.在解分式方程时,易在去分母时,容易漏乘. 【关键词】分式方程的解法-增根

12. ( 2016四川省凉山州,7,4分)关于的方程无解,则的值为( )
A. B. C. D.5
【答案】A
【逐步提示】先将分式方程两端进行通分,如果方程无解,那么方程两端的分母必定为0,这样就可以得出x的取值了;由于分式相等且分母相等,因此分子相等,这样就得到了一个关于m的一元一次方程,解得m的值.
【详细解答】解:通分得,由于方程无解,故x+1=0,即x=-1,;由于分式相等,故有3x-2=2x+2+m,代入x=-1,解得m=-5.故选择A.
【解后反思】分式方程无解或出现增根,只有在公分母为0时才会发生.
【关键词】分式方程的解法;一元一次方程的解法
13. ( 2016四川南充,6,3分)某次列车平均提速20km/h,用相同的时间,列车提速前行驶400km,提速前比提速后多行驶100km,设提速前列车的平均速度为x km/h,下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【逐步提示】本题考查了根据实际问题中的等量关系列出分式方程,解题的关键是审题并找出等量关系.分别表示出提速前和提速后列车行驶的时间,根据“列车提速前后时间一样”列出方程。
【详细解答】解:设提速前列车的平
…………………………
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