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湘教版九年级下《1.3不共线三点确定二次函数的表达式》教案-(数学)
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/6/13  
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*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式

1.通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究,掌握求二次函数解析式的方法;(重点)
2.会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的解析式,在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用.(难点)

一、情境导入

某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米,此时喷水水平距离为米.你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗?
二、合作探究
探究点一:不共线三点确定二次函数的表达式
【类型一】 用一般式确定二次函数解析式
已知二次函数的图象经过点(-1,-5),(0,-4)和(1,1).求这个二次函数的解析式.
解析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0).
解:设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0).
依题意得解得
∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x-4.
方法总结:当题目给出函数图象上的任意三个点时,设一般式y=ax2+bx+c,转化成一个三元一次方程组,以求得a,b,c的值.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 用顶点式确定二次函数解析式
已知二次函数的图象顶点坐标是(-2,3),且过点(-1,5),求这个二次函数的解析式.
解:设二次函数解析式为y=a(x-h)2+k,
∵图象顶点是(-2,3),
∴h=-2,k=3,
依题意得5=a(-1+2)2+3,解得a=2.
∴二次函数的解析式为y=2(x+2)2+3=2x2+8x+11.
方法总结:若已知抛物线的顶点或对称轴、极值,则设y=a(x-h)2+k.顶点坐标为(h,k),对称轴为x=h,最值为当x=h时,y最值=k.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型三】 用交点式确定二次函数解析式
已知抛物线与x轴相交于点A(-1,0),B(1,0),且过点M(0,1),求此函数的解析式.
解析:由于已知图象与x轴的两个交点,所以可设y=a(x-x1)(x-x2)求解.
解:因为点A(-1,0),B(1,0)是图象与x轴的交点,所以设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-1).又因为抛物线过点M(0,1),所以1=a(0+1)(0-1),解得a=-1,所以所求抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-1),即y=-x2+1.
方法总结:此题也可设y=a(x-h)2+k,因为与x轴交于(-1,0),(1,0),故对称轴为y轴.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
探究点二:二次函数解析式的综合运用
如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(-4,-3),与y轴交于点B,对称轴是x=-3,请解答下列问题:


(1)求抛物线的解析式;
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C,D两点,点C在对称轴左侧,且CD=8,求△BCD的面积.
解析:(1)把点A(-4,-3)代入y=x2+bx+c得16-4b+c=-3,根据对称轴是x=-3,求出b=6,即可得出答案;
(2)根据CD∥x轴,得出点C与点D关于x=-3对称,根据点C在对称轴左侧,且CD=8,求出点C的横坐标和纵坐标,再根据点B的坐标为(0,5),求出△BCD中CD边上的高,即可求出△BCD的面积.

解:(1)把点A(-4,-3)代入y=x2+bx+c得16-4b+c=-3,c-4b=-19.∵对称轴是x=-3,∴-=-3,∴b=6,∴c=5,∴抛物线的解析式是y=x2+6x+5;
(2)∵CD∥x轴,∴点C与点D关于x=-3对称.∵点C在对称轴左侧,且CD=8,∴点C的横坐标为-7,∴点C的纵坐标为(-7)2+6×(-7)+5=12.∵点B的坐标为(0,5),∴△BCD中CD边上的高为12-5=7,∴△BCD的面积=×8×7=28.
方法总结:此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,以及利用解析式分析二次函数的图象和性质,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计


教学过程中,强调用待定系数法求二次函数解析式时,要根据题目所给条件,合理设出其形式,然后求解,这样可以简化计算.
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