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2017-2018学年人教版八年级上《第13章轴对称》章末复习(pdf版)-(数学)
所属科目:数学    文件类型:pdf
类别:其他
上传日期:2018/6/14  
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巅峰对决 数学第13章 轴对称
第11课 ?轴对称?复习
一.轴对称图形及轴对称
1.轴对称图形的定义:把一个图形沿着某条直线折叠?直
线两旁的部分能够互相 重合 ?这个图形就叫做 轴
对称图形 ?这条直线叫做 对称轴 ?
2.两个图形成轴对称:把一个图形沿着某条直线折叠?如
果它能够与另一个图形 重合 ?那么就说这两个图
形关于这条直线成 轴对称 ?这条直线叫做 对称轴
?
3.平面几何图形中?是轴对称图形的有: 线段、角、等腰三
角形、长方形、菱形、正方形、正多边形、扇形、圆 .
二.线段的垂直平分线:
1.定义:经过线段 中点 并且 垂直 于这条线段的直
线叫做这条线段的垂直平分线?
2.垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两
端点距离 相等 .
垂直平分线的判定:到线段两端点距离相等的点在线
段的 垂直平分线 上.
3.轴对称的性质:
(1)成轴对称的两个图形 全等 ?
(2)对称点的连线段被对称轴 垂直平分 ?即对称轴
是对称点连线段的垂直平分线?
(3)对应线段若相交(或其延长线相交)?其交点一定
在 对称轴 上.
三.轴对称图形的作法
1.已知对称轴?作图形的对称图形:作出每个关键点关于
对称轴的对称点?依次连接各对称点即得?
2.已知成轴对称的两个图形?找对称轴:对称点连线段的
垂直平分线即为对称轴?
3.在平面直角坐标系中?以两坐标轴为对称轴的点的坐
标变化规律:
① P(x?y)关于x轴对称的点的坐标为P′( x ? -y )?
② P(x?y)关于y轴对称的点的坐标为P′( -x ? y )?
4.轴对称性质在最短路径中的应用:一个思想是转化?一个
原理是两点之间线段最短?两个方法是轴对称与平移.
四.等腰三角形的判定及性质
(1)等腰三角形的性质:
①等腰三角形的两个底角相等?(简写“ 等边对等角 ”)
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上
的高相互重合(简写“ 三线合一 ”)?
③等腰三角形是轴对称图形?底边上的中线(顶角的
平分线、底边上的高) 所在直线 就是它的对称轴.
(2)等腰三角形的判定
①等腰三角形的定义?
—77—
八年级(上)册



巅峰对决 数学
②垂直平分线的性质(即“若△ ABC中?AD⊥ BC?BD=
CD?则AB=AC.)
③如果一个三角形有两个角相等?那么这两个角所对
的边也相等(简写“等角对等边).
五.等边三角形的性质及判定
(1)等边三角形的性质:
①等边三角形的三个角都 相等 ?并且每一个角都
等于 60° ?
②等边三角形每条边上均是“三线合一”?
③等边三角形是轴对称图形?有 3 条对称轴.
(2)等边三角形的判定:
①定义:三条边 都相等 的三角形是等边三角形?
②定理:三个角 都相等 的三角形是等边三角形?
③定理:有一个角是60°的 等腰三角形 是等边三角
形?
(3)等边三角形的推论:
①在直角三角形中?30°所对的直角边等于 斜边的一
半 .
②在直角三角形中?如果一条直角边等于斜边的一
半?那么这条直角边所对的锐角等于 30° .
轴对称图形的认识
【例1】选择题:
(1)下列四个艺术字中?不是轴对称的是( )
A. B. C. D.
(2)下列图形:其中所有轴对称图形的对称轴条数之
和为( )
A.13 B.11 C.10 D.8
分析:(1)由轴对称图形的特征知选C?(2)由轴对称
图形的性质可知四幅图的对称轴条数分别为1?2?2?6?
故其和为11?选B.
作轴对称图形
【例2】△ ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)作出△ ABC关于y轴对称的△ A1B1C1?并写出
△ A1B1C1各顶点的坐标?
(2)将△ ABC向右平移6个单位?作出平移后的
△ A2B2C2?并写出△ A2B2C2各顶点的坐标?
(3)观察△ A1B1C1和△ A2B2C2?它们是否关于某直线
对称?若是?请在图上画出这条对称轴.
解:(1)A1(0?4)?B1(2?2)?C1(1?1)?(2)A2(6?4)?B2(4?2)?C2(5?1)?
(3)△ A1B1C1与△ A2B2C2关于直线x=3轴对称.
垂直平分线性质及判定的应用
【例3】在Rt△ ABC中?∠ ACB= 90°?
AC= BC?D为BC中点?CE⊥ AD于
E?BF∥ AC交CE的延长线于F.
(1)求证:△ ACD≌ △ CBF?
(2)求证:AB垂直平分DF.
分析:(1)根据∠ ACB= 90°?求证∠ CAD=∠ BCF?再利
用BF∥ AC?求证∠ ACB=∠ CBF= 90°?然后利用ASA即
可证明△ ACD≌ △ CBF.(2)先根据ASA判定△ ACD≌
△ CBF得到BF=BD?再根据角度之间的数量关系求出
∠ ABC=∠ ABF?即BA是∠ FBD的平分线?从而利用等
腰三角形三线合一的性质求证即可.
解:(1)∵在Rt△ ABC中?∠ ACB=90°?AC=BC?
∴∠ CAB=∠ CBA=45°?
∵CE⊥ AD?∴∠ CAD=∠ BCF?
∵BF∥ AC?∴∠ FBA=∠ CAB=45°?∴∠ ACB=∠ CBF=90°?
∴△ ACD≌ △ CBF?
(2)证明:∵∠ BCE+∠ ACE=90°?ACE+∠ CAE=90°?
∴∠ BCE=∠ CAE.
∵AC⊥ BC?BF∥ AC.∴BF⊥ BC.∴∠ ACD=∠ CBF=90°?
∴△ ACD≌ △ CBF?∴CD=BF.
∵CD=BD= 12 BC?∴BF=BD.∴△ BFD为等腰直角三角形.
∵∠ ACB=90°?CA=CB?∴∠ ABC=45°.
∵∠ FBD=90°?∴∠ ABF=45°.
∴∠ ABC=∠ ABF?即BA是∠ FBD的平分线.
∴BA是FD边上的高线?BA又是边FD的中线?
即AB垂直平分DF.
等腰三角形的性质与判定
【例4】已知:点O到△ ABC的两边AB、AC所在直线的距
离相等?且OB=OC.
(1)如图1?若点O在BC上?求证:AB=AC?
(2)如图2?若点O在△ ABC的内部?求证:AB=AC?
—87—



巅峰对决 数学第13章 轴对称
(3)若点O在△ ABC的外部?AB=AC成立吗?请画图
表示.
解:(1)过点O分别作OE⊥ AB?OF⊥ AC?E、
F分别是垂足?
由题意知?
OE=OF?OB=OC?
∴Rt△ OEB≌ Rt△ OFC(HL)?
∴∠ B=∠ C?∴AB=AC?
(2)过点O分别作OE⊥ AB?OF⊥ AC?E、F分别是垂足?
由题意知?OE=OF?
在Rt△ OEB和Rt△ OFC中?
∵OE=OF?OB=OC?
∴Rt△ OEB≌ Rt△ OFE(HL)?
∴∠ OBE=∠ OCF?
又由OB=OC知∠ OBC=∠ OCB?
∴∠ ABC=∠ ACD?
∴AB=AC?
(3)不一定成立.
(注:当∠ A的平分
线所在直线与边
BC的垂直平分线
重合时?有AB =
AC?否则?AB≠ AC?如示例图)
等边三角形性质与判定
【例5】如图?△ ABC?△ EBF是两个等边三角形?D是BC
上一点?且DC=BF.
求证:△ AED是等边三角形.
证明:如图?∵ △ ABC?△ EBF是两个等边
三角形?
∴AB=AC?BE=BF?∠ FBE=∠ ACB=60°?
则∠ ABE=∠ ACD?
∵DC=BF?∴BE=CD.
在△ ABE与△ ACD中?
AB=AC
∠ ABE=∠ ACD
BE=CD{
?
∴△ ABE≌ △ ACD(SAS)?
∴AE=AD?∠ EAB=∠ DAC?
∴∠ EAD=∠ BAC=60°?
∴△ AED是等边三角形.
“30°所对直角边等于斜边一半”运用
【例6】如图?等边三角形ABC的边长为4cm?点D从点C
出发沿CA向A运动?点E从B出发沿AB的延长线BF
向右运动?已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始
运动?运动过程中DE与BC相交
于点P.
(1)运动几秒后?△ ADE为直角
三角形?
(2)求证:在运动过程中?点P始终为线段DE的中点.
解:(1)∵△ ABC是等边三角形?
∴AB=BC=AC=4cm?∠ A=∠ ABC=∠ C=60°.
设x秒时?△ ADE为直角三角形?
∴∠ ADE=90°?CD=0.5x?BE=0.5x?AD=4-0.5x?AE=4+0.5x?
∴∠ AED=30°?∴AE=2AD?
∴4+0.5x=2(4-0.5x)?∴x= 83 ?
答:运动83秒后?△ ADE为直角三角形?
(2)作DG∥ AB交BC于点E?
∴ ∠ GDP = ∠ BEP? ∠ DGP = ∠ EBP?
∠ CDG=∠ A=60°?∠ CGD=∠ ABC=60°?
∴∠ C=∠ CDG=∠ CGD?
∴△ CDG是等边三角形?
∴DG=DC?∴DG=BE.
∵∠ DPG=∠ EPB?
∴△ DGP≌ △ EBP(ASA)?
∴DP=PE.
∴在运动过程中?点P始终为线段DE的中点.
1.在如图由5个小正方形组成的图形中?再补上一个小
正方形?使它成为轴对称图形?你有几种不同的方法
( C )
A.2种B.3种C.4种D.5种
2.(17 海南)已知△ ABC的三边长分别为4、4、6?在
△ ABC所在平面内画一条直线?将△ ABC分割成两个
三角形?使其中的一个是等腰三角形?则这样的直线最
多可画( B )
A.3条B.4条C.5条D.6条
3.点A(-2?3)关于x轴的对称点A′的坐标为 (-2?-3) .
4.如图?在等腰三角形纸片ABC中?AB = AC?∠ A = 50°?
折叠该纸片?使点A落在点B处?折痕为DE?则∠ CBE
= 15 °.
第1题 第4题
1.本章中识别轴对称图形?作轴对称图形都比较简单?只
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八年级(上)册

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