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2018年春湘教版九年级下《第2章圆》全章节练习有答案-(数学)
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/6/14  
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第2章 圆
2.1 圆的对称性
01  基础题
知识点1 圆的有关概念
1.下列说法正确的是 ( C )
A.直径是弦,弦是直径
B.过圆心的线段是直径 
C.圆中最长的弦是直径
D.直径只有一条
2.下列命题中正确的有(A)
①弦是圆上任意两点之间的部分;②半径是弦;③直径是最长的弦;④弧是半圆,半圆是弧.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,已知AB是⊙O的弦,且AB=OA,则∠AOB=60度.

4.如图,⊙O中,点A,O,D以及B,O,C分别都在同一条直线上.
(1)图中共有几条弦?请将它们写出来;
(2)请任意写出两条劣弧和两条优弧.

解:(1)2条,它们是弦AE,AD.
(2)答案不唯一,如:劣弧有,等,优弧有,等.



知识点2 点与圆的位置关系
5.(梧州中考)已知⊙O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,则点A与⊙O的位置关系是( C )
A.点A在⊙O上 B.点A在⊙O内
C.点A在⊙O外 D.点A与圆心O重合
6.已知⊙O的半径为6,点P在⊙O内,则OP的长可能是( A )
A.5 B.6 C.7 D.8
7.圆心在坐标原点,其半径为7的圆,则下列各点在圆外的是( D )
A.(3,4) B.(4,4)
B.(4,5) D.(4,6)
8.已知⊙O的半径为R,点P到圆心O的距离为d,并且d≥R,则点P与圆O的位置关系是点P在⊙O上或⊙O外.
9.(教材习题变式)已知⊙O的半径为5 cm,A为线段OP中点,试判断点A与⊙O的位置关系:
(1)OP=6 cm;(2)OP=10 cm;(3)OP=14 cm.
解:(1)点A圆内.(2)点A在圆上.(3)点A在圆外.

知识点3 圆的对称性
10.(三明中考)下列图形中,不是轴对称图形的是(A)

11.如图,⊙O与⊙O′是任意两个圆,把这两个圆看作一个整体,它是一个轴对称图形,请你作出这个图形的对称轴.

解:如图所示.


02  中档题
12.已知一点到圆的最小距离为1 cm,最大距离为3 cm,则圆的半径为(D)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.1 cm或2 cm
13.如图,点A,D,G,M在半圆O上,四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形,设BC=a,EF=b,NH=c,则下列各式中正确的是(B)

A.a>b>c
B.a=b=c
C.c>a>b
D.b>c>a
14.(连云港中考)如图,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位长度)选取9个格点(格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为(B)

A.2<r<
B.<r<3
C.<r<5
D.5<r<
提示:从图中可计算出到点A的距离最近的是=,其次是=,这样的点有两个,再次是==3,∴恰好只有三个点在⊙A内,则半径r的范围为:<r<3,故选择B.
15.已知一个点到圆上的点的最大距离是6,最小距离是1,则这个圆的直径是7或5.


16.如图是两个同心圆,其中两条直径互相垂直,大圆的半径是2,则其阴影部分的面积之和为2π.(结果保留π)

17.如图,在⊙O中,AB为弦,C,D在AB上,且AC=BD,请问图中有几个等腰三角形?把它们分别写出来,并说明理由.

解:等腰三角形有两个:△OAB,△OCD.
理由:∵OA=OB,
∴△OAB是等腰三角形.
∴∠A=∠B.
又∵AC=BD,OA=OB,
∴△OAC≌△OBD.
∴OC=OD.
∴△OCD是等腰三角形.

18.由于过度采伐森林和破坏植被,我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭.近日,A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400 km的B处,正在向西北方向转移,如图,距沙尘暴中心300 km的范围内将受其影响,问A市是否会受到这次沙尘暴的影响?

解:过A作AC⊥BD于点C.
∵∠ABC=45°,
∴AC=BC.
又AB=400 km,AC2+BC2=AB2,
∴2AC2=4002,
可得AC=200 km<300 km,
即A市会受到这次沙尘暴的影响.
[来源:]

03  综合题
19.如图,⊙P的圆心的坐标为(2,0),⊙P经过点B(4,).
(1)求⊙P的半径r;
(2)⊙P与坐标轴的交点A,E,C,F的坐标;
(3)点B关于x轴的对称点D是否在⊙P上,请说明理由.

解:(1)过B点作x轴垂线,交x轴于G,连接BP.
则G坐标(4,0).
在Rt△PBG中,PG=4-2=2,BG=,斜边PB==.
(2)与x轴的左交点(2-,0),
与x轴的右交点(2+,0),
与y轴的正半轴交点y值==,
所以坐标为(0,).
与y轴负半轴交点坐标为(0,-).
(3)∵⊙P关于x轴对称,
又∵B与D关于x轴对称,
∴D在⊙P上.

2.2 圆心角、圆周角
2.2.1 圆心角
01  基础题
                
知识点1 认识圆心角
1.下面四个图中的角,是圆心角的是( D )
   
A      B      C     D
2.将一个圆分成四个扇形,它们的圆心角的度数比为4∶4∶5∶7,则这四个扇形中,圆心角最大的是( D )
A.54° B.72° C.90° D.126°

知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系
3.下列说法中,正确的是(B)
A.等弦所对的弧相等
B.等弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦相等
D.弦相等所对的圆心角相等
4.如图,在⊙O中,=,∠AOB=122°,则∠AOC的度数为(A)
A.122° B.120° C.61° D.58°

第4题图 第5题图
5.如图,A,B,C,D是⊙O上的四点,且AD=BC,则AB与CD的大小关系为(B)
A.AB>CD B.AB=CD
C.AB<CD D.不能确定
6.如图,已知在⊙O中,BC是直径,=,∠AOD=80°,则∠ABC等于(B)
A.40° B.65° C.100° D.105°

第6题图    第7题图
7.如图所示,在⊙O中,AC,BC是弦,根据条件填空:
(1)若AC=BC,则=,∠AOC=∠BOC;
(2)若=,则AC=BC,∠AOC=∠BOC;
(3)若∠AOC=∠BOC,则=,AC=BC.
8.如图,在⊙O中,点C是的中点,∠A=50°,则∠BOC等于40°.

第8题图 第9题图
9.如图所示,在⊙O中,=,∠B=70°,则∠A=40°.
10.(贵港中考改编)如图所示,AB是⊙O的直径,==,∠COD=34°,求∠AEO的度数.

解:∵==,
∠COD=34°,
∴∠BOE=102°.
∵OA=OE,
∴∠AEO=∠EAO=∠BOE=51°.


02  中档题
11.如图,AB是⊙O的直径,BC,CD,DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA.则∠BCD等于(C)
A.100° B.110° C.120° D.135°

第11题图 第12题图
12.如图,在⊙O中,已知弦AB=DE,OC⊥AB,OF⊥DE,垂足分别为C,F,则下列说法中正确的个数为(D)
①∠DOE=∠AOB;②=;③OF=OC;④AC=EF.
A.1 B.2 C.3 D.4
13.已知,是同圆的两段弧,且=2,则弦AB与2CD之间的关系为(B)

A.AB=2CD
B.AB<2CD
C.AB>2CD
D.不能确定
提示:如图,在圆上截取=,连接DE,CE,则有=.∴AB=CE.又CD+DE=2CD>CE=AB,∴AB<2CD,故选B.
14.如图,A,B,C是⊙O上的三点,且有==.
(1)求∠AOB,∠BOC,∠AOC的度数;
(2)连接AB,BC,CA,试确定△ABC的形状.

解:(1)∵==,
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
又∵∠AOB+∠BOC+∠COA=360°,
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°.
(2)∵==,
∴AB=BC=CA.
∴△ABC是等边三角形.



15.如图,AB,CD是⊙O的两条直径,过点A作AE∥CD交⊙O于点E,连接BD,DE,求证:BD=DE.

证明:连接OE,
∵OA=OE,
∴∠A=∠OEA.
∵AE∥CD,
∴∠BOD=∠A,∠DOE=∠OEA.
∴∠BOD=∠DOE.
∴BD=DE.

16.如图,已知AB是⊙O的直径,M,N分别是AO,BO的中点,CM⊥AB,DN⊥AB.求证:=.

证明:连接OC,OD,,
∵AB是⊙O的直径,M,N分别是AO,BO的中点,
∴OM=ON.
∵CM⊥AB,DN⊥AB,
∴∠OMC=∠OND=90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中,
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL).
∴∠COM=∠DON.
∴=.




03  综合题
17.如图,在⊙O中,AB,CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F.
(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系?为什么?
(2)如果OE=OF,那么与的大小有什么关系?为什么?

解:(1)OE=OF,理由是:
∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,
∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=∠AOB,∠FOD=∠COD.
∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD.
在△EOB和△FOD中,

∴△EOB≌△FOD(AAS).
∴OE=OF.
(2)=,
理由是:∵OE⊥AB,OF⊥CD,
∴∠OEB=∠OFD=90°.
在Rt△BEO和Rt△DFO中,
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL).
∴BE=DF.
∵AB=2BE,CD=2DF,
∴AB=CD.
∴=.

2.2.2 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论1

01  基础题
                
知识点1 认识圆周角
1.(柳州中考)下列四个图中,∠x是圆周角的是(C)


知识点2 圆周角定理
2.(铜仁中考)如图所示,点A,B,C在圆O上,∠A=64°,则∠BOC的度数是(C)
A.26° B.116°
C.128° D.154°

第2题图 第3题图
3.如图,△ABC内接于⊙O,若∠A=α,则∠OBC等于(D)
A.180°-2α B.2α
C.90°+α D.90°-α
4.(娄底中考)如图,将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上,斜边和一直角边分别与⊙O相交于A,B两点,P是优弧AB上任意一点(与A,B不重合),则∠APB=30°.

第4题图 第5题图
5.(株洲中考)如图,点A,B,C都在圆O上,如果∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB的大小是28°.

知识点3 圆周角定理推论1
6.(宜昌中考)如图,点A,B,C,D都在⊙O上,AC,BD相交于点E,则∠ABD=( A )
A.∠ACD B.∠ADB
C.∠AED D.∠ACB

第6题图 第7题图


7.如图,已知AB,CD是⊙O的两条直径,∠ABC=28°,那么∠BAD=( A )
A.28° B.42° C.56° D.84°
8.如图,⊙O中,弦AB,CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B等于( C )
A.30° B.35° C.40° D.50°

第8题图 第9题图
9.如图,BD是⊙O的直径,点A,C在⊙O上,=,∠AOB=60°,则∠BDC的度数是(D)
A.60° B.45°
C.35° D.30°


10.(邵阳中考)如图所示,弦AB,CD相交于点O,连接AD,BC,在不添加辅助线的情况下,请在图中找出一对相等的角,它们是答案不唯一,如:∠A=∠C,∠B=∠D,∠AOD=∠BOC,∠AOC=∠BOD.
11.如图,已知A,B,C,D是⊙O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD,AD.求证:DB平分∠ADC.

证明:∵AB=BC,
∴=.
∴∠BDC=∠ADB.
∴DB平分∠ADC.




02  中档题
12.(南宁中考)如图,点A,B,C,P在⊙O上,CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E,∠DCE=40°,则∠P的度数为(B)
A.140° B.70°
C.60° D.40°

第12题图 第13题图
13.(永州中考)如图,P是⊙O外一点,PA,PB分别交⊙O于C,D两点,已知和所对的圆心角分别为90°和50°,则∠P=(D)
A.45° B.40°
C.25° D.20°
14.如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,则∠AED的正弦值等于.

第14题图 第16题图
15.已知某个圆的弦长等于它的半径,则这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°.
16.(黔西南中考)如图所示,在⊙O中,已知∠BAC=∠CDA=20°,则∠ABO的度数为50°.

17.(永州中考)如图,在⊙O中,A,B是圆上的两点,已知∠AOB=40°,直径CD∥AB,连接AC,则∠BAC=35°.

18.如图,点A,B,C三点在⊙O上,过C作CD∥AB与⊙O相交于D点,E是上一点,且满足AD=DE,连接BD与AE相交于点F.求证:△AFD∽△ABC.

证明:∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACD.
∵AD=DE,∴=.
∴∠DAE=∠AED.
∴∠DAE=∠AED=∠ACD=∠BAC.
∵∠ADF=∠ACB,∠DAE=∠BAC,
∴△AFD∽△ABC.





03  综合题
19.如图,⊙O的半径为1,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状,并证明你的结论;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论.

解:(1)△ABC是等边三角形.
证明如下:在⊙O中,
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角,
∠ABC与∠APC是所对的圆周角,
∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC.
又∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°.
∴△ABC为等边三角形.
(2)在PC上截取PD=AP,
又∵∠APC=60°,
∴△APD是等边三角形.
∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,
即∠ADC=120°.
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,
∴∠ADC=∠APB.
在△APB和△ADC中,

∴△APB≌△ADC(AAS).
∴BP=CD.
又∵PD=AP.
∴CP=BP+AP.

第2课时 圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质
01  基础题
                
知识点1 圆周角定理推论2
1.(福建中考)如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是(D)
A.∠ADC B.∠ABD
C.∠BAC D.∠BAD

第1题图 第2题图
2.如图,小华同学设计了一个量直径的测量器,标有刻度的尺子OA,OB在O点钉在一起,并使它们保持垂直,在测直径时,把O点靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位长度,OF=6个单位长度,则圆的直径为(B)
A.12个单位长度 B.10个单位长度
C.4个单位长度 D.15个单位长度
3.(娄底中考)如图,已知AB是⊙O的直径,∠D=40°,则∠CAB的度数为(C)
A.20° B.40° C.50° D.70°

第3题图 第4题图
4.如图,CD是⊙O的直径,已知∠1=30°,则∠2=(C)
A.30° B.45°
C.60° D.70°
5.(常州中考)如图,把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上,两直角边与圆弧分别交于点M,N,量得OM=8 cm,ON=6 cm,则该圆玻璃镜的半径是(B)

A. cm
B.5 cm
C.6 cm
D.10 cm
6.如图,AB是⊙O的直径,点D在⊙O上,∠AOD=130°,BC∥OD交⊙O于C,求∠A的度数.

解:∵∠AOD=130°,
∴∠BOD=50°.
∵BC∥OD,
∴∠B=∠BOD=50°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠A=90°-∠B=40°.

知识点2 圆内接四边形对角互补
7.如图,四边形ABCD是圆内接四边形,E是BC延长线上一点,若∠BAD=105°,则∠DCE的大小是(B)
A.115° B.105°
C.100° D.95°

第7题图 第8题图
8.(常德中考)如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BOD=100°,则∠BCD的度数为(D)
A.50° B.80°
C.100° D.130°
9.(岳阳中考)如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,已知∠BCD=110°,则∠BAD=70°.

10.如图,已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角,并且BD=DC.求证:AD平分∠EAC.

证明:∵∠EAD+∠BAD=180°,∠DCB+∠BAD=180°,
∴∠EAD=∠DCB.
∵BD=DC,
∴∠DBC=∠DCB.
又∵∠DBC=∠DAC,
∴∠EAD=∠DAC,即AD平分∠EAC.


02  中档题
11.圆内接四边形ABCD中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶5,则∠D等于(B)
A.60° B.120° C.140° D.150°
12.如图,AB为⊙O的直径,关于角p,q,r,s之间的关系(1)p=2q;(2)q=r;(3)p+s=180°中,正确的是(A)
A.只有(1)和(2) B.只有(1)和(3)
C.只有(2)和(3) D.(1),(2)和(3)

第12题图 第13题图
13.(达州中考)如图,半径为3的⊙A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧⊙A优弧上一点,则tan∠OBC为(C)
A. B.2 C. D.
14.如图,AB为⊙O的直径,点C,D在⊙O上,若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是105°.

15.如图,在⊙O中,AC与BD是圆的直径,BE⊥AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
(1)四边形ABCD是什么特殊的四边形?请判断并说明理由;
(2)求证:BE=CF.

解:(1)四边形ABCD是矩形.理由如下:
∵AC与BD是圆的直径,
∴∠ABC=∠ADC=90°,
∠BAD=∠BCD=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
(2)证明:∵BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,
∴∠BEO=∠CFO=90°.
在△BOE和△COF中,

∴△BOE≌△COF(AAS).
∴BE=CF.


16.如图,已知点A,B,C,D均在⊙O上,CD为∠ACE的平分线.
(1)求证:△ABD为等腰三角形;
(2)若∠DCE=45°,BD=6,求⊙O的半径.

解:(1)证明∵CD平分∠ECA,
∴∠ECD=∠DCA.
∵∠ECD+∠DCB=180°,∠DCB+∠BAD=180°,
∴∠ECD=∠DAB.
又∵∠DCA=∠DBA,
∴∠DBA=∠DAB.
∴DB=DA.
∴△ABD是等腰三角形.
(2)∵∠DCE=∠DCA=45°,
∴∠ECA=∠ACB=90°.
∴AB是直径.∴∠BDA=90°.
∵BD=AD=6,
∴AB===6.
∴⊙O的半径为3.

03  综合题
17.如图,在⊙O中,直径AB的两侧有定点C和动点P,点P在上运动(不与A,B重合),过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q.
(1)试猜想:△PCQ与△ACB具有何种关系?(不要求证明)
(2)当点P运动到什么位置时,△ABC≌△PCB?并给出证明.


解:(1)△PCQ∽△ACB.
(2)当为半圆时,
△ABC≌△PCB.
证明:∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵为半圆,
∴CP是直径.
∴∠PBC=90°,AB=CP.

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