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2018年中考数学专题《等腰三角形》复习试卷(有答案)
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/8/4  
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2018年 中考数学总复习 等腰三角形 专题综合训练题

1.在△ABC中,∠ABC=30°,∠BAC=70°.在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )
A.7条   B.8条   C.9条   D.10条
2. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,DE垂直平分AC,则∠BCD的度数为( )

A.80° B.75° C.65° D.45°
3. 如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM=( )

A.3 B.4 C.5 D.6
4. 如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形,所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )

A.6 B.3 C.2.5 D.2
5. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,则BC的长为(  )

A.5   B.6   C.8   D.10
6. 如图,已知直线l1∥l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40°,则∠β等于____.

7. 如图钢架中,焊上等长的13根钢条来加固钢架.若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,则∠A的度数是____.

8. 在△ABC中,∠C是最小内角.若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形,其中一个为等腰三角形,另一个为直角三角形,则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线.例如:如图1,△ABC中,∠A=90°,∠C=20°,若过顶点B的一条直线BD交AC于点D,且∠DBC=20°,则直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线.
(1)如图2,△ABC中,∠C=20°,∠ABC=110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线,并注明角度;
(2)△ABC中,设∠B的度数为y,最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时,△ABC存在关于点B的伴侣分割线.






9. 如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C,B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.

(1)求抛物线的表达式;
(2)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时△CMN的面积.
解析:第(2)题分别以点C,M,N为直角顶点分三类进行讨论,利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长,利用面积公式进行计算.








10. 如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求:只要画出示意图,并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)



11. 在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,过点C作直线l∥AB,F是l上的一点,且AB=AF,求点F到直线BC的距离.












12. 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)点M是直线l上的动点,且△MAC为等腰三角形,求出所有符合条件的点M的坐标.








13. 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BD是∠ABC的平分线,CE⊥BD,垂足是E,BA和CE的延长线交于点F.
(1) 在图中找出与△ABD全等的三角形,并证明你的结论;
(2) 证明:BD=2EC.




参考答案:
C
2. D 【解析】∠BCA=(180°-∠A)=75°,∠BCD=∠BCA-∠DCA=∠BCA-∠A=75°-30°=45°.
3. C
【解析】作PQ⊥MN于Q,由PM=PN知PQ垂直平分MN∴MQ=1.∠AOB=60°,OP=12,∴OQ=OP=6,OM=OQ-MQ=6-1=5.
4. C

【解析】 如图,以BC为边作等腰直角三角形△EBC,延长BE交AD于F,得△ABF是等腰直角三角形,作EG⊥CD于G,得△EGC是等腰直角三角形,在矩形ABCD中剪去△ABF,△BCE,△ECG得到四边形EFDG,此时剩余部分的面积最小,最小值为4×6-×4×4-×3×6-×3×3=2.5,故选C.
5. C 【解析】∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,∴AD⊥BC,BD=CD,∴BD==4,∴BC=2BD=8,故选C.
6. 20°
【解析】

过点A作AD∥l1,根据平行线的性质可得∠BAD=∠β.AD∥l2,从而得到∠DAC=∠α=40°.再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°,∴∠β=∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-40°=20°.
7. 12° 【解析】设∠A=x,∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A,∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x,∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x,∴∠P3P2P4=∠P12P13P11=3x,……,∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x,∴∠AP7P8=7x,∠AP8P7=7x.在△AP7P8中,∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°,即x+7x+7x=180°,解得x=12°.
8. 解:(1)画图正确,角度标注正确,如图① (2)考虑直角顶点,只有点A,B,D三种情况.当点A为直角顶点时,如图②,此时y=90°-x.当点B为直角顶点时,再分两种情况:若∠DBC=90°,如图③,此时y=90°+(90°-x)=135°-x.若∠ABD=90°,如图④,此时y=90°+x.当点D为直角顶点时,又分两种情况:若△ABD是等腰三角形,如图⑤,此时y=45°+(90°-x)=135°-x.若△DBC是等腰三角形,如图⑥,此时x=45°,45°<y<90°

9. 解:(1)把点A(4,0),B(1,3)代入抛物线y=ax2+bx中,得解得∴抛物线表达式为:y=-x2+4x (2)点C的坐标为(3,3),点B的坐标为(1,3),以点C,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,分三类情况讨论:①以点M为直角顶点且M在x轴上方时,如图2,CM=MN,∠CMN=90°,则△CBM≌△MHN,∴BC=MH=2,BM=HN=3-2=1,∴M(1,2),N(2,0),由勾股定理得MC==,∴S△CMN=××=;
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时,如图3,作辅助线,构建如图所示的两直角三角形:Rt△NEM和Rt△MDC,得Rt△NEM≌Rt△MDC,∴MD=ME=2,EM=CD=5,由勾股定理得CM==,∴S△CMN=××=;③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时,如图4,CN=MN,∠MNC=90°,作辅助线,同理得CN==,∴S△CMN=××=17;④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时,作辅助线,如图5,同理得CN==,∴S△CMN=××=5;⑤以C为直角顶点时,不能构成满足条件的等腰直角三角形.综上所述,△CMN的面积为或或17或5

10. 解:满足条件的所有等腰三角形如下图所示:

解析:利用等腰三角形的性质,分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类.
11. 解:①如图a,延长AC,作FD⊥BC于点D,FE⊥AC于点E,易得四边形CDFE是正方形,则CD=DF=FE=EC.∵在等腰直角△ABC中,AC=BC=1,AB=AF,∴AB===,∴AF=.在Rt△AEF中,(1+EC)2+EF2=AF2,即 (1+DF)2+DF2=()2,解得DF=;

②如图b,延长BC,作FD⊥BC于点D,延长CA,作FE⊥CA于点E,易得四边形CDFE是正方形,则CD=DF=FE=EC.在Rt△AEF中,(EC-1)2+EF2=AF2,即(FD-1)2+FD2=()2,解得FD=.综上可知,点F到BC的距离为或

12. 解:(1)将A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得解得故抛物线的解析式为y=x2-2x-3
(2)如图,抛物线的对称轴为x=-=1,设M(1,m),已知A(-1,0),C(0,-3),则MA2=m2+4,MC2=(3+m)2+1=m2+6m+10,AC2=10.①若MA=MC,则MA2=MC2,得m2+4=m2+6m+10,解得m=-1;②若MA=AC,则MA2=AC2,得m2+4=10,得m=±;③若MC=AC,则MC2=AC2,得m2+6m+10=10,得m1=0,m2=-6,当m=-6时,M,A,C三点共线,不构成三角形,不合题意,故舍去.综上可知,符合条件的M点的坐标为 (1,)(1,-)(1,-1)(1,0)

13. 解:(1)△ABD≌△ACF,证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠FAC=∠BAC=90°,∵BD⊥CE,∠BAC=90°,∠ADB=∠EDC,∴∠ABD=∠ACF,∴△ABD≌△ACF(ASA)
(2)∵△ABD≌△ACF,∴BD=CF,∵BD⊥CE,∴∠BEF=∠BEC,∵BD是∠ABC的平分线,∴∠FBE=∠CBE,∵BE=BE,∴△FBE≌△CBE(ASA),∴CF=2CE,∴BD=2CE

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