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人教版数学八年级上册第十三章《轴对称》单元检测题(有答案)
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/9/11  
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《轴对称》单元检测题
一、单选题
1.如图,AC=BC=10 cm,∠B=15°,若AD⊥BD于点D,则AD的长为(  )
/
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
2.如图,在等腰 △ 中,∠ =
90
°
,在BC上截取 = ,作∠ 的平分线与AD相交于点P,连接PC,若△ 的面积为8

2
,则△ 的面积为(  )
/
A.4

2
B.5

2
C.6

2
D.7

2

3.如图,在△ 中,∠ =
50
°
,∠ =
60
°
,点E在BC的延长线上,∠ 的平分线BD与∠ 的平分线CD相交于点D,连接AD,则下列结论中,正确的是(  )
/
A.∠ =
60
°
B.∠ =
85
°
C. = D. =
4.如图,一张△ABC纸片,小明将△ABC沿着DE折叠并压平,点A与A′重合,若∠A=78°,则∠1+∠2=(  )
/
A.156° B.204° C.102° D.78°
5.如图,已知∠O=30°,点B是OM边上的一个点光源,在边ON上放一平面镜.光线BC经
过平面镜反射后,反射光线与边OM的交点记为E,则△OCE是等腰三角形的个数有( )
/
A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上
6.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.若AB=6 cm,则△DEB的周长为(  )
/
A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm
7.已知等腰△ABC的周长为18 cm,BC=8 cm,若△ABC与△A′B′C′全等,则△A′B′C′的腰长等于(  ).
A.8 cm B.2 cm或8 cm C.5 cm D.8 cm或5 cm
8.下列说法中,正确的有(  )
①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等;
③等腰三角形的两底角相等;④等腰三角形两底角的平分线相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.已知A、B两点的坐标分别是(-2,3)和(2,3),则下面四个结论中正确的有 (  ).
①A、B关于x轴对称;②A、B关于y轴对称;③A、B不轴对称;④A、B之间的距离为4.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.下列由数字组成的图形中,是轴对称图形的是(  )
A./ B./ C./ D./
11.如图,直线m∥n,点A在直线m上,点B、C在直线n上,AB=CB,∠1=70°,则∠BAC等于( )
/
A.40° B.55° C.70° D.110°
12.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC//OA,PD⊥OA,若PC=10,则PD等于( ? ? ? ? )
/
A.10 B.8 C.5 D.2.5


二、填空题
13.在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,D为BC边上的任意一点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF=______.
14.如图,AB∥CD, AF=EF,若∠C=62°,则∠A=___度.
/
15.如图,某汽车从A处出发准备开往正北方向M处,但是由于AM之间道路正在整修,所以需先到B处,再到M处,若B在A的北偏东25°,汽车到B处发现,此时正好BM=BA,则汽车要想到达M处,此时应沿北偏西________的方向行驶.
/
16.如图,AD是△ABC的对称轴,∠DAC=30°,DC=4cm,则△ABC是___三角形,△ABC的周长=___cm.
/

三、解答题
17.如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC交AB于点E.
(1)求证:BE=DE;
(2)若AB=BC=10,求DE的长.
/
18.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,CD⊥AD于点D,∠DCB=∠B.若AC=10,AB=25,求CD的长.
/
19.如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的两条中线BD、CE交于O点,求证:OB=OC.
/
20.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.
(1)求作∠ABC的平分线(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)若∠ABC的平分线分别交AD,AC于P,Q两点,证明:AP=AQ.
/
21.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,连接AD,AE,以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E,连接D′C,若BD=CD′;
(1)求证:△ABD≌△ACD′;
(2)若∠BAC=120°,求∠DAE的度数;
/
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
根据等边对等角的性质可得∠B=∠BAC,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD=30°,然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可.
【详解】
∵AC=BC,
∴∠BAC=∠B=15°,
∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°,
∵AD⊥BC,
∴AD=
1
2
AC=
1
2
×10=5cm,
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、含30度角的直角三角形的性质,熟练掌握和灵活运用相关性质是解题的关键.
2.A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可得AP=PD,然后根据等底等高的三角形面积相等求出△BPC的面积等于△ABC面积的一半,代入数据计算即可得解.
【详解】
∵BD=BA,BP是∠ABC的平分线,
∴AP=PD,
∴S△BPD=
1
2
S△ABD,S△CPD=
1
2
S△ACD,
∴S△BPC=S△BPD+S△CPD=
1
2
S△ABD+
1
2
S△ACD=
1
2
S△ABC,
∵△ABC的面积为8cm2,
∴S△BPC=
1
2
×8=4cm2,
故选A.
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一的性质,三角形的面积,利用等底等高的三角形的面积相等求出△BPC的面积与△ABC的面积的关系是解题的关键.
3.B
【解析】
【分析】
由∠ABC=50°,∠ACB=60°,可判断出AC≠AB,根据三角形内角和定理可求出∠BAC的度数,根据邻补角定义可求出∠ACE度数,由BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,根据角平分线的定义以及三角形外角的性质可求得∠BDC的度数,继而根据三角形内角和定理可求得∠DOC的度数,据此对各选项进行判断即可得.
【详解】
∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=70°,∠ACE=180°-∠ACB=120°,AC≠AB,
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACE,
∴∠DBC=
1
2
∠ABC=25°,∠DCE=∠ACD=
1
2
∠ACE=60°,
∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=35°,
∴∠DOC=180°-∠OCD-∠ODC=180°-60°-35°=85°,
∵∠DBC=25°,∠BDC=35°,∴BC≠CD,
故选B.
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理,等腰三角形判定,角平分线的定义等,熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解本题的关键.
4.A
【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得出△AED≌△A′ED,∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=102°,然后根据平角的性质即可求出∠1+∠2的度数.
【详解】∵△A′DE是△ABC翻折变换而成,
∴△AED≌△A′ED,
∴∠AED=∠A′ED,∠ADE=∠A′DE,∠A=∠A′=78°,
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣78°=102°,
∴∠1+∠2=360°﹣2×102°=156°,
故选A.
【点睛】本题考查了翻折变换的性质,熟知折叠前后图形的大小和形状不变,对应角相等,对应边相等是解题的关键.
5.B
【解析】解:分两种情况:①作OC的垂直平分线交OM于E,连接CE,∴OE=EC,∴∠ECO=∠O=30°.∵CD⊥ON,∴∠ECD=60°,∴∠BCD=60°,∴光线BC以60°入射角经过平面镜反射后,经过点E,此时△OCE是等腰三角形.
/
②以O为圆心,OC为半径画圆,交OM于E′,此时△COE′是等腰三角形.∵OC=OE′,∴∠OCE′=∠OE′C=75°,∴∠E′CD=∠BCD=90°- 75°=15°,即光线BC以15°入射角经过平面镜反射后,经过点E′,此时△OCE′是等腰三角形.
/
综上所述:共有两种情况.故选B.
6.B
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE,然后求出△DEB的周长=AB即可得解.
【详解】
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,
∴CD=DE,
∴△DEB的周长=BD+DE+BE,
=BD+CD+BE,
=BC+BE,
=AC+BE,
=AE+BE,
=AB,
∵AB=6cm,
∴△DEB的周长=6cm,
故选B.
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,等腰直角三角形的性质,熟记性质是解题的关键.
7.D
【解析】分析:因为BC是腰是底不确定,因而有两种可能,当BC是底时,△ABC的腰长是5cm,当BC是腰时,腰长就是8cm,且均能构成三角形,因为△A′B′C′与△ABC全等,所以△A′B′C′的腰长也有两种相同的情况:8cm或5cm.
详解:分为两种情况:当BC是底时,△ABC的腰长是5cm,
∵△ABC与△A′B′C′全等,
∴△A′B′C′的腰长也是5cm;
当BC是腰时,腰长就是8cm,且均能构成三角形,
∵△A′B′C′与△ABC全等,
∴△A′B′C′的腰长也等于8cm,
即△A′B′C′的腰长为8cm或5cm,
故选:D.
点睛:本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质的应用,用了分类讨论思想.
8.D
【解析】分析:等腰三角形中顶角平分线,底边中线及高互相重合,即三线合一,两腰上的角平分线、中线及高都相等.
详解:①等腰三角形的两腰相等;正确;
②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等;正确;
③等腰三角形的两底角相等;正确;
④等腰三角形两底角的平分线相等.正确.
故选D.
点睛:本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念,能够熟练掌握.
9.B
【解析】分析:利用关于坐标轴对称的性质以及结合图形分析得出即可.
详解:如图所示:
/
①A、B关于x轴对称,错误; ?
②A、B关于y轴对称,正确;
③A、B不轴对称,说法不正确; ?
④A、B之间的距离为4,正确.
故正确的有两个,
故选:B.
点睛:此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标的性质,利用数形结合分析得出是解题关键.
10.A
【解析】分析:根据轴对称图形的定义:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,进行判断即可.
详解:A、是轴对称图形,本选项正确;
B、不是轴对称图形,本选项错误;
C、不是轴对称图形,本选项错误;
D、不是轴对称图形,本选项错误.
故选:A.
点睛:本题考查了轴对称图形,判断轴对称图形的关键是找出对称轴,看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合.
11.C
【解析】试题解析:∵m∥n,
∴∠ =∠1=
70
°

∵AB=BC,
∴∠ =∠ =
70
°

故选C.
点睛:平行线的性质:两直线平行,内错角相等.
12.C
【解析】分析:过点P作PM⊥OB于M,根据平行线的性质可得到∠BCP的度数,再根据直角三角形的性质可求得PM的长,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM=PD,从而求得PD的长.
详解:过点P作PM⊥OB于M.
/
∵PC∥OA,
∴∠COP=∠CPO=∠POD=15°,
∴∠BCP=30°,
∴PM=
1
2
PC=5.
∵PD=PM,
∴PD=5.
故选:C.
点睛:本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质;解决本题的关键就是利用角平分线的性质,把求PD的长的问题进行转化.
13.9.6
【解析】分析:如图连接AD,作AH⊥BC于H.首先利用勾股定理求出AH,再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD,DE⊥AB,DF⊥AC,可得
1
2
?BC?AH=
1
2
?AB?DE+
1
2
?AC?DF,由此即可解决问题.
详解:如图,连接AD,作AH⊥BC于H.

∵AB=AC=10,AH⊥BC,∴BH=CH=6.在Rt△ABH中,AH=


2
?

2

=

10
2
?
6
2

=8.
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD,DE⊥AB,DF⊥AC,∴
1
2
?BC?AH=
1
2
?AB?DE+
1
2
?AC?DF,∴6×8=5DE+5DF,∴DE+DF=9.6.
故答案为:9.6.
点睛:本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理,三角形的面积等知识,解题的关键是学会利用面积法解决问题,属于中考常考题型.
14.31
【解析】【分析】根据AF=EF,可得∠A=∠E,再根据平行线的性质可得∠EFB=∠C=62°,根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可得∠EFB=∠A+∠E,从而可得∠A=31°.
【详解】∵AF=EF,
∴∠A=∠E,
∵AB//CD,
∴∠EFB=∠C=62°,
∵∠EFB是△AEF的外角,
∴∠EFB=∠A+∠E,
∴∠A=31°,
故答案为:31.
【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质,熟练掌握各性质是解题的关键.
15.25°
【解析】解:∵BM=BA,∴∠M=∠A=25°,∴∠1=∠M=25°.故答案为:25°.
/
16.等边,24
【解析】分析:根据轴对称图形的性质得出∠BAC=60°,AB=AC,BC=8cm,从而得出△ABC的性质以及△ABC的周长.
详解:∵AD是△ABC的对称轴∴AB=AC,∠DAC=30°, ∴∠BAC=2∠DAC=60°, ∴△ABC为等边三角形,
∵DC=4cm, ∴BC=2DC=8cm, ∴△ABC的周长=8×3=24cm.
点睛:本题主要考查的是轴对称图形的性质,属于基础题型.根据题意得出△ABC为等边三角形是解题的关键.
17.(1)见解析;(2)5
【解析】分析:(1)根据角平分线和平行线的性质证明即可;
(2)利用平行线的性质和成比例解答即可.
详解:(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠EBD=∠CBD.
∵DE∥BC,
∴∠EDB=∠CBD.
∴∠EDB=∠EBD.
∴BE=DE.
(2)∵AB=BC,BD是△ABC的角平分线,
∴AD=DC.
∵DE∥BC,



=


=1,
∴ =
1
2
=5.
∴DE=5.
点睛:此题考查等腰三角形的判定和性质,关键是根据角平分线和平行线的性质证明.
18.7.5
【解析】分析:延长CD交AB于点E,构建全等三角形:△ADE≌△ADC(ASA).由全等三角形的对应边相等推知AE=AC=10,DE=DC;根据BE=CE,AB=25,得出AB=AE+BE=10+2DC=25,即可求得DC=7.5.
详解:如图,延长CD交AB于点E.
/
∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
∵CD⊥AD,
∴∠ADE=∠ADC=90°.
∵在△ADE与△ADC中,

∠1=∠2
=
∠ =∠


∴△ADE≌△ADC(ASA).
∴AE=AC=10,DE=DC.
∵∠DCB=∠B,
∴BE=CE=2DC.
∴AB=AE+BE=10+2DC=25.
∴DC=7.5.
点睛:本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质.注意此题中辅助线的作法.
19.见解析
【解析】分析:求出CD=BE,∠EBC=∠DCB,证△EBC≌△DCB,推出∠DBC=∠ECB即可.
详解:证明:∵BD、CE分别是AC、AB边上的中线,∴BE=
1
2
,CD=
1
2
.
又∵AB=AC,∴BE=CD.
在△BCE和△CBD中,

= ,
∠ =∠ ,
= ,


∴△BCE≌△CBD(SAS).
∴∠ECB=∠DBC.
∴OB=OC.
点睛:本题考查了全等三角形的性质和判定,等腰三角形的性质和判定的应用,关键是推出△EBC≌△DCB,注意:等角对等边.
20.(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)作出角平分线BQ即可.
(2)根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°,根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD,再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP,据此可得出结论.
试题解析:解:(1)BQ就是所求的∠ABC的平分线,P、Q就是所求作的点.
(2)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴∠BPD+∠PBD=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠AQP+∠ABQ=90°.
∵∠ABQ=∠PBD,∴∠BPD=∠AQP.
∵∠BPD=∠APQ,∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.

21.(1)见解析;(2)∠ =60°
【解析】(1)根据对称得出AD=AD′,根据SSS证△ABD≌△ACD′即可;
(2)根据全等得出∠BAD=∠CAD′,求出∠BAC=∠DAD′,根据对称得出∠DAE=
1
2
∠DAD′,代入求出即可.
(1)证明:∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E,
∴ =



在△ABD和△ACD′中,


=
=



=





∴△ABD≌△ACD′(SSS).
(2)解:∵△ ≌△



∴∠ =∠



∴∠ =∠


=120°,
∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E,
∴∠ =∠


=
1
2



=60°,
即∠ =60°.
点睛:本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键.
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