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北师大版数学八年级上《第一章勾股定理》单元测试((有答案))
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/9/12  
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勾股定理测试
时间:100分钟总分: 100
题号
一
二
三
四
总分

得分







一、选择题(本大题共10小题,共30.0分)
在△ 中, =10, =2
10
,BC边上的高 =6,则另一边BC等于(  )
A. 10 B. 8 C. 6或10 D. 8或10
如图,?ABCD的对角线AC,BD交于点O, ⊥ , =
5
,且AC: =2:3,那么AC的长为(  )
?

A. 2
5
B.
5
C. 3 D. 4
如图,以 △ 为直径分别向外作半圆,若

1
=10,

3
=8,则

2
=(  )
A. 2 B. 6 C.
2
D.
6



直角三角形的斜边为20cm,两直角边之比为3:4,那么这个直角三角形的周长为(  )
A. 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm
如图所示,△ 的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上, ⊥ 于点D,则BD的长为(  )

A.
4
5

5
B.
2
3

5
C.
2
5

5
D.
4
3

3



如图,直线L上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为1和9,则b的面积为(  )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
已知直角三角形的两条边长分别是3和5,那么这个三角形的第三条边的长为(  )
A. 4 B. 16 C.
34
D. 4或
34

“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若( +
)
2
=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为(  )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
如图,将一根长为24cm的筷子,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是( )

A. 12 ≤?≤19 B. 12 ≤?≤13 C. 11 ≤?≤12 D. 5 ≤?≤12


如图,在矩形ABCD中, =1, =2,将其折叠使AB落在对角线AC上,得到折痕AE,那么BE的长度为(  )
A.

2
?1
2
B.

3
?1
2
C.

5
?1
2
D.

6
?1
2

二、填空题(本大题共10小题,共30.0分)
如图,有一块田地的形状和尺寸如图所示,则它的面积为______ .


在 △ 中,已知两边长为5、12,则第三边的长为______ .
如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要______ 元钱.
如图,有一个长为50cm,宽为30cm,高为40cm的长方体木箱,一根长70cm的木棍______放入(填“能”或“不能”).


如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于E,F点,若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△ 周长的最小值为______.
如图,矩形ABCD中, =3, =4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠ 沿AE折叠,使点B落在点 ′处.当△ ′为直角三角形时, ′的长为______.


如图,等腰△ 中, = ,AD是底边上的高,若 =5 , =6 ,则 =______cm.


课本中有这样一句话:“利用勾股定理可以作出
3

5
,…线段(如图所示).”即: =1,过A作

1
⊥ 且

1
=1,根据勾股定理,得

1
=
2
;再过

1


1


2


1


1


2
=1,得

2
=
3
;…以此类推,得

2017
=______ .

如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AB的垂直平分线EF分别交AB,AC于点E、F,若点D为底边BC的中点,点M为线段EF上一动点,则△ 的周长的最小值为______.


如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上,点E在边BC上,将该矩形沿AE折叠,点B恰好落在边OC上的F处.若 =8, =4,则点E的坐标是______ .



三、计算题(本大题共4小题,共24.0分)
如图,一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上,梯子底端距离墙ON有3米. (1)求梯子顶端与地面的距离OA的长. (2)若梯子顶点A下滑1米到C点,求梯子的底端向右滑到D的距离.

如图,P是正方形ABCD对角线BD上一点, ⊥ , ⊥ ,E、F分别为垂足,若 =3, =4,求AP的长.



如图所示,将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠.点B?落在E点,AE交DC?于F点,已知 =8 , =4 .求折叠后重合部分的面积.

已知如图,四边形ABCD中,∠ =
90
°
, =4, =3, =12, =13,求这个四边形的面积.



四、解答题(本大题共2小题,共16.0分)
如图,过点 (2,0)的两条直线

1


2
分别交y轴于点B,C,其中点B在原点上方,点C在原点下方,已知 =
13
. (1)求点B的坐标; (2)若△ 的面积为4,求直线

2
的解析式.



在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠ =∠ =
45
°
. (1)将△ 绕着点A顺时针旋转
90
°
,得到△ (如图①),求证:△ ≌△ ; (2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M, (如图②),求证:

2
=

2
+

2


答案和解析
【答案】
1. C 2. D 3. A 4. D 5. A 6. C 7. D 8. C 9. C 10. C
11. 24
12. 13或
119

13. 612
14. 能
15. 10
16. 2或
10

17. 4
18.
2018

19. 8
20. (?10,3)
21. 解:(1) =

5
2
?
3
2

=4米; (2) =

5
2
?(4?1
)
2

=4米, = ?=4?3=1米.
22. 解:连接PC ∵四边形ABCD是正方形, ∴ = ,∠ =∠ , ∵ = , ∴△ ≌△ ,(4分) ∴ = ,(5分) ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ =
90
°
, ∵ ⊥ , ⊥ , ∴四边形PFCE是矩形,(8分) ∴ = ,(9分) ∵∠ =
90
°
, ∴在 △ 中,

2
=

2
+

2
=
4
2
+
3
2
=25, ∴ =5,(11分) ∴ = = =5.(12分)
23. 解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ =∠ =
90
°
, = , ∵将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠, ∴ = ,∠ =∠ , ∴ = ,∠ =∠ , 在△ 和△ 中,

∠ =∠
∠ =∠
=

, ∴△ ≌△ , ∴ = , = , 设 = ,则 =8 ?, 在 △ 中,

2
+

2
=

2
,即(8 ?
)
2
+16=

2
, 解得: =5,即 =5 , ∴折叠后重合部分的面积=
1
2
× =10

2

24. 解:连接AC,如图所示: ∵∠ =
90
°
,∴△ 为直角三角形, 又 =4, =3, ∴根据勾股定理得: =


2
+

2

=5, 又 =13, =12, ∴

2
=
13
2
=169,

2
+

2
=
12
2
+
5
2
=144+25=169, ∴

2
+

2
=

2
, ∴△ 为直角三角形,∠ =
90
°
, 则

四边形
=


+


=
1
2
?+
1
2
?=
1
2
×3×4+
1
2
×12×5=36.
25. 解:(1)∵点 (2,0), =
13
∴ =


2
?

2

=
9
=3 ∴点B的坐标为(0,3); (2)∵△ 的面积为4 ∴
1
2
× × =4 ∴
1
2
× ×2=4,即 =4 ∵ =3∴ =4?3=1∴ (0,?1) 设

2
的解析式为 = + ,则


?1=
0=2 +


,解得

=
1
2

=?1



2
的解析式为 =
1
2
?1
26. (1)证明:∵△ 绕着点A顺时针旋转
90
°
,得到△ , ∴ = , = ,∠ =
90
°
,∠ =∠ , ∵∠ =
45
°
, ∴∠ +∠ =∠ +∠ =
90
°
?
45
°
=
45
°
, 即∠ =∠ , ∴在△ 和△ 中,

=
?
∠ =∠
?
=
?

, ∴△ ≌△ ( ); (2)证明:将将△ 绕着点A顺时针旋转
90
°
,得到△ ,连接GM,如图所示: ∵四边形ABCD是正方形, ∴ = = = ,∠ =
90
°
, ∵∠ =
45
°
∴ = , = , = , ∵ = , ∴ = , ∵ = , ∴ = = = , ∴∠ =
45
°
, ∵∠ =
45
°
, ∴∠ =
90
°
, ∴

2
=

2
+

2
=

2
+

2
, ∵△ ≌△ ,∴ = , ∴

2
=

2
+

2

【解析】
1. 解:根据题意画出图形,如图所示, 如图1所示, =10, =2
10
, =6, 在 △ 和 △ 中, 根据勾股定理得: =


2
?

2

=8, =


2
?

2

=2, 此时 = + =8+2=10; 如图2所示, =10, =2
10
, =6, 在 △ 和 △ 中, 根据勾股定理得: =


2
?

2

=8, =


2
?

2

=2,此时 = ?=8?2=6, 则BC的长为6或10. 故选C. 分两种情况考虑,如图所示,分别在直角三角形ABD与直角三角形ACD中,利用勾股定理求出BD与CD的长,即可求出BC的长. 此题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
2. 解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ = , = , ∵ : =2:3, ∴ : =2:3,设 =2 , =3 , ∵ ⊥ , ∴

2
=

2
+

2
,即9

2
=5+4

2
,解得 =±1, ∵ >0, ∴ =1, ∴ =2 =4. 故选D. 本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是灵活应用平行四边形的性质解决问题,学会设未知数,把问题转化为方程去思考,属于中考常考题型.根据平行四边形的性质可知, = , = ,由AC: =2:3,推出OA: =2:3,设 =2 , =3 ,在 △ 中利用勾股定理即可解决问题.
3. 解:∵

2
+

2
=

2


1
=
1
2
?(

2

)
2
=
?

2

8


2
=
1
2
(

2

)
2
=
?

2

8


3
=
1
2
(

2

)
2
=
?

2

8


2
+

3
=
?

2

8
+
?

2

8
=

8
(

2
+

2
)=
?

2

8
=

1
, 故

2
=

1
?

3
=10?8=2. 故选A. 根据勾股定理,得:

2
+

2
=

2
,再根据圆面积公式,可以证明:

1
+

2
=

3
.即

2
=10?8=2. 注意根据圆面积公式结合勾股定理证明:

1
+

2
=

3
,即直角三角形中,以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积.
4. 解:根据题意设直角边分别为3xcm与4xcm,由斜边为20cm, 根据勾股定理得:(3
)
2
+(4
)
2
=
20
2
, 整理得:

2
=16, 解得: =4, ∴两直角边分别为12cm,16cm, 则这个直角三角形的周长为12+16+20=48 . 故选D 根据两直角边之比,设出两直角边,再由已知的斜边,利用勾股定理求出两直角边,即可得到三角形的周长. 此题考查了勾股定理,利用了方程的思想,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
5. 解:△ 的面积=
1
2
× × =2, 由勾股定理得, =

1
2
+
2
2

=
5
, 则
1
2
×
5
× =2, 解得 =
4
5

5
, 故选:A. 根据图形和三角形的面积公式求出△ 的面积,根据勾股定理求出AC,根据三角形的面积公式计算即可. 本题考查的是勾股定理的应用,掌握在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键.
6. 解:由于a、b、c都是正方形,所以 = ,∠ =
90
°
; ∵∠ +∠ =∠ +∠ =
90
°
,即∠ =∠ , 在△ 和△ 中,

∠ =∠ =
90
°

∠ =∠
=

, ∴△ ≌△ ( ), ∴ = , = ; 在 △ 中,由勾股定理得:

2
=

2
+

2
=

2
+

2
, 即


=


+


=1+9=10, ∴ 的面积为10, 故选C. 运用正方形边长相等,再根据同角的余角相等可得∠ =∠ ,然后证明△ ≌△ ,再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可. 此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用,关键是证明△ ≌△ .
7. 解:当3和5都是直角边时,第三边长为:

3
2
+
5
2

=
34
; 当5是斜边长时,第三边长为:

5
2
?
3
2

=4. 故选:D. 此题要分两种情况:当3和5都是直角边时;当5是斜边长时;分别利用勾股定理计算出第三边长即可. 此题主要考查了利用勾股定理,当已知条件中没有明确哪是斜边时,要注意讨论,一些学生往往忽略这一点,造成丢解.
8. 【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用,熟练应用勾股定理是解题关键.观察图形可知,小正方形的面积=大正方形的面积?4个直角三角形的面积,利用已知( +
)
2
=21,大正方形的面积为13,可以得出直角三角形的面积,进而求出答案.
【解答】
解:由图可知,直角三角形的斜边长为即为大正方形的边长,
根据勾股定理可知大正方形的面积为

2
+

2
=13, ∵( +
)
2
=21,即

2
+2 +

2
=21, ∴2 =8, ∴小正方形的面积=大正方形的面积?4个直角三角形的面积=13?4×
1
2
=13
…………………………
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