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4.4相似三角形的判定(第3课时)同步练习(有答案)
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/10/11  
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第3课时 利用三边的关系判定三角形相似
/
关键问答
①判定三角形相似时,如何根据已知条件选择合适的方法?
1.2017·河北若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′,则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(  )
A.增加了10% B.减少了10%
C.增加了(1+10%) D.没有改变
2.①在△ABC中,AB=25 cm,BC=20 cm,AC=15 cm,在△DEF中,DE=5 cm,EF=4 cm,则当DF=________ cm时,△ABC与△DEF相似.
3.如图4-4-23所示,在正方形网格中有两个三角形A1B1C1和A2B2C2.求证:△A1B1C1∽△A2B2C2.
/
图4-4-23




/
命题点 1 利用三边对应成比例证明两三角形相似 [热度:90%]
4.②如图4-4-24所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③=;④AC2=AD·AB.其中单独能够判定△ABC∽△ACD的有(  )
/
图4-4-24
A.1个B.2个
C.3个D.4个
方法点拨
②已知两个三角形有一组相等的角,只要再找一组角相等或夹这个角的两条对应边成比例,即可判定两个三角形相似.解题时要注意图形中隐含的公共角.



5.要做两个形状为三角形的框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4,5,6,另一个三角形框架的一边长为2,欲使这两个三角形相似,该三角形框架的另两边长可以是__________________.
6.③如图4-4-25,已知==,求证:∠BAD=∠CAE.
/
图4-4-25
模型建立
③相似三角形中的基本模型:
旋转型:
/
图4-4-26
平行型:
/
图4-4-27
7.如图4-4-28,已知:AB∥A′B′,=,=.
试说明:△ABC∽△A′B′C′.
/
图4-4-28








8.④如图4-4-29所示,在矩形ABCD中,BC=3AB,E,F是BC边的三等分点,连接AE,AF,AC.请问:图中是否存在非全等的相似三角形?若存在,请指出.
/
图4-4-29
解题突破
④三等分点是什么意思?你能利用它表示出其他线段的长吗?








命题点 2 网格与相似 [热度:87%]
9.⑤如图4-4-30,在4×4的正方形网格中,是相似三角形的是(  )
/
图4-4-30
A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④
方法点拨
⑤解决网格相似题常用的策略:(1)找特殊角,即利用网格的直观性,从中发现一些特殊的角,如45°,90°,135°角,再检验夹等角的两组对应边是否成比例;(2)利用勾股定理计算三边的长,再检验三组对应边是否成比例.
10.在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图4-4-31,在边长为1个单位长度的小正方形组成的5×5的网格中,以A,B为顶点作格点三角形,使其与△OAB相似(相似比不能为1),则另一个顶点C的坐标为____________.
/
图4-4-31
11.⑥如图4-4-32,方格纸中每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上.
(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2)P1,P2,P3,P4,P5,D,F是△DEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似.(要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连接相应线段,不必说明理由)
/
图4-4-32
方法点拨
⑥在解正方形网格中的相似三角形问题时,一般把网格的边长看作单位1,借助勾股定理可得三角形的三边长,再检验两个三角形的三边是否胜成比例.







/
12.⑦一个钢筋三角架的三边长分别是20 cm,50 cm,60 cm,再做一个与其相似的钢筋三角架,现在只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边,则不同的截法有多少种?写出你的设计方案,并说明理由.
解题突破
⑦是否可以把30 cm长的钢筋截成两段?当把50 cm长的钢筋截成两段时,30 cm长的钢筋与原三角架的边有几种对应情况?









13.⑧如图4-4-33,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到点C时,两点都停止运动.设运动时间为t秒.
(1)求线段CD的长.
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?
/
图4-4-33

解题突破
⑧(1)应用等积法求线段长;(2)假设存在,利用方程求解;(3)应用分类讨论思想,注意分类要不重复、不遗漏.

详解详析
【关键问答】
①判定三角形相似的方法:条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组对应边成比例;条件中若有两组对应边成比例,可找它们的夹角相等或考虑三组对应边成比例.
1.D [解析]∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′,∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例,
∴△ABC∽△A′B′C′,∴∠B′=∠B.故选D.
2.3 
3.证明:设网格中每个小正方形的边长均为1.
由勾股定理,得A1B1==,A1C1==,A2B2==,B2C2==.
又知B1C1=5,A2C2=2,
∴==,
=,==,
∴==,
∴△A1B1C1∽△A2B2C2.
4.C [解析]①可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;②可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;③中∠A不是已知的比例线段的夹角,不正确;④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定.故选C.
5.,3或,或,
[解析]题中没有指明长为2的边与原三角形的哪条边对应,所以应分情况讨论:
(1)若长为2的边与长为4的边相对应,则另两边长为和3;
(2)若长为2的边与长为5的边相对应,则另两边长为和;
(3)若长为2的边与长为6的边相对应,则另两边长为和.
故三角形框架的另两边长可以是,3或,或,.
6.证明:∵==,
∴△ABC∽△ADE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,
即∠BAD=∠CAE.
7.解:∵AB∥A′B′,∴△OA′B′∽△OAB,
∴==.
∵=,=,
∴==,
∴△ABC∽△A′B′C′.
8.解:图中存在非全等的相似三角形,△EAF∽△ECA.理由如下:
因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=90°.
设AB=k,则BC=3AB=3k.
因为E,F是BC边的三等分点,
所以BE=EF=FC=BC=k.
由勾股定理,得AE==k,AF==k,AC==k.
在△EAF与△ECA中,
因为==,==,
==,所以==,
所以△EAF∽△ECA.
9.C [解析]设每个小正方形的边长为1.由勾股定理求出①中三角形的各边长分别为2,,;③中三角形的各边长分别为2 ,2,2 .
∵=,=,
即==,
∴①与③中两三角形的三边对应成比例,
∴①和③是相似三角形,
故选C.
10.(5,2)或(4,4) [解析]∵OA=2,OB=1,AB=,
∴当AB与AC对应时,
有=或=,
∴AC=或AC=5.
∵点C在格点上,
∴AC=不合题意,则AC=5,
∴点C的坐标为(5,2).
同理,当AB与BC对应时,可求得BC=或BC=5,也是只有后者符合题意,此时点C的坐标为(4,4).
∴点C的坐标为(5,2)或(4,4).
11.解:(1)△ABC和△DEF相似.
理由:根据勾股定理,得AB=2 ,AC=,BC=5;DE=4 ,DF=2 ,EF=2,
∵==,==,==,∴==,
∴△ABC∽△DEF.
(2)答案不唯一,下面6个三角形中的任意2个均可.△P2P5D,△P4P5F,△P2P4D,△P4P5D,△P2P4P5,△P1FD.图略.
12.解:有两种设计方案:①从50 cm长的钢筋上截下12 cm与36 cm的两部分;②从50 cm长的钢筋上截下10 cm与25 cm的两部分.
理由如下:由相似三角形的对应边成比例,可知只能将30 cm长的钢筋作为一边,将50 cm长的钢筋截成两段.
设从50 cm长的钢筋上截下的两段分别长xcm,y cm,且x<y.
当30 cm长的边对应20 cm长的边时,有==,解得x=75,y=90.
因为x+y>50,所以此种情况不成立;
当30 cm长的边对应50 cm长的边时,有==,解得x=12,y=36.
因为x+y=48<50,所以此种情况成立;
当30 cm长的边对应60 cm长的边时,有==,解得x=10,y=25.
因为x+y=35<50,所以此种情况成立.
综上可知,有两种设计方案:①从50 cm长的钢筋上截下12 cm与36 cm的两部分;②从50 cm长的钢筋上截下10 cm和25 cm的两部分.
13.[解析] (1)利用勾股定理可求出AB的长,再用等积法可求出线段CD的长.
(2)过点P作PH⊥AC,垂足为H,通过三角形相似即可用含t的代数式表示PH,从而可以求出S△CPQ与t之间的函数表达式;利用S△CPQ∶S△ABC=9∶100建立关于t的方程,解方程即可解决问题.
(3)可分三种情况进行讨论:由CQ=PC可建立关于t的方程,从而求出t;由PQ=PC或CQ=PQ不能直接得到关于t的方程,可借助等腰三角形三线合一及三角形相似的性质,建立关于t的方程,从而求出t.
解:(1)如图①,∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∵CD⊥AB,
∴S△ABC=BC·AC=AB·CD,
∴CD===4.8.
∴线段CD的长为4.8.
(2)过点P作PH⊥AC,垂足为H,如图②所示.
由题可知DP=t,CQ=t,则PC=4.8-t.
∵∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B.
∵PH⊥AC,∴∠CHP=90°,
∴∠CHP=∠ACB,∴△CHP∽△BCA,
∴=,即=,∴PH=-t.
∴S△CPQ=CQ·PH=t(-t)=-t2+t.
存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100.
∵S△ABC=×6×8=24,且S△CPQ∶S△ABC=9∶100,
∴(-t2+t)∶24=9∶100.
整理,得5t2-24t+27=0,
即(5t-9)(t-3)=0,解得t=或t=3.
∵0≤t≤4.8,∴当t=或t=3时,S△CPQ∶S△ABC=9∶100.
(3)①若CQ=PC,则t=4.8-t,
解得t=2.4;
②若PQ=PC,过点P作PH⊥AC于点H,
∵PQ=PC,PH⊥QC,
∴QH=CH=CQ=.
∵△CHP∽△BCA,∴=,
即=,解得t=;
③若CQ=PQ,过点Q作QE⊥CP,垂足为E,如图③.
∵CQ=PQ,∴CE=EP=CP=.
∵∠ACD=∠B,∠QEC=∠ACB,
∴△QEC∽△ACB,∴=,
即=,解得t=.
综上所述,当t为2.4或或时,△CPQ为等腰三角形.
/
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