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4.4相似三角形的定义及判定(第1课时)同步练习(有答案)
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/10/11  
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4 探索三角形相似的条件
第1课时 利用两角的关系判定三角形相似
/
关键问答
①相似三角形的性质有哪些?
1.①如图4-4-1,已知△ABC∽△DEF,则x等于(  )
/
图4-4-1
A.40° B.60° C.80° D.80°或60°
2.如图4-4-2,D,E,F,G四点在△ABC的边上,其中DG与EF相交于点H.若∠ABC=∠EFC=70°,∠ACB=60°,∠DGB=40°,则下列哪一组三角形相似(  )
/
图4-4-2
A.△BGD,△CEF B.△ABC,△CEF
C.△ABC,△BGD D.△FGH,△ABC
3.如图4-4-3,已知△ABC与△ADE相似,且∠B=∠ADE,则下列比例式正确的是(  )
/
图4-4-3
A.AD∶AC=DE∶BCB.AE∶BE=AD∶DC
C.AE∶AB=AD∶ACD.AE∶AC=AD∶AB
/
命题点 1 利用两角分别相等判定两三角形相似 [热度:93%]
4.②如图4-4-4,P为线段AB上一点,AD分别交BC,PC于点E,G,BC交PD于点F,∠CPD=∠A=∠B,则图中相似三角形有(  )
/
图4-4-4
A.1对B.2对C.3对D.4对
方法点拨
②根据相似三角形的定义可知:若△ABC∽△A′B′C′,△A′B′C′∽△A″B″C″,则△ABC∽△A″B″C″,即三角形相似具有传递性.
5.③2017·株洲如图4-4-5所示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交于点G,连接CF.
(1)求证:△DAE≌△DCF;
(2)求证:△ABG∽△CFG.
/
图4-4-5
解题突破
③由正方形和等腰直角三角形我们可以得到哪些线段相等,哪些角相等?






命题点2 根据两三角形相似进行计算 [热度:90%]
6.④[2016·毕节]如图4-4-6,在△ABC中,D为AB边上一点,且∠BCD=∠A,已知BC=2 ,AB=3,则BD=________.
/
图4-4-6
方法点拨
④在写相似表达式时要像写全等表达式那样,对应顶点的字母写在对应的位置上,这样也有利于正确写出边的比例式,保证结果正确.
7.⑤将三角形纸片ABC按如图4-4-7所示的方式折叠,使点C落在AB边上的点D处,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B,D,F为顶点的三角形与△ABC相似,则CF的长是________.
/
图4-4-7
易错警示
⑤注意根据对应顶点分类讨论.
8.⑥2017·六盘水如图4-4-8,在?ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,在BA的延长线上取一点E,连接OE交AD于点F.若CD=5,BC=8,AE=2,则AF=________.
/
图4-4-8
解题突破
⑥作平行线构造“A”字形图的相似三角形.
命题点 3 有关相似三角形的存在性问题 [热度:80%]
9.⑦如图4-4-9,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过点P作PF⊥AE于点F.
(1)求证:△PFA∽△ABE.
/
图4-4-9
(2)当点P在射线AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
易错警示
⑦注意x的值可能不止一个.







/
10.⑧如图4-4-10①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,O是AC边上一点,连接BO交AD于点F,OE⊥OB交BC于点E.
(1)求证:△ABF∽△COE;
(2)当O为AC边的中点,=2时,如图②,求的值;
(3)当O为AC边的中点,=n时,请直接写出的值.
/
图4-4-10


方法点拨
⑧求线段的比时常借助相似三角形的性质,当比例式中的线段不能构成相似形时,可考虑利用等量代换的方法求解.

详解详析
【关键问答】
①相似三角形的性质:对应角相等、对应边成比例.
1.C [解析]∵△ABC∽△DEF,∴∠B=∠E.
∵∠B=80°,∴∠E=x=80°.故选C.
2.B [解析]∵∠ABC=∠EFC=70°,∴EF∥AB,∴△ABC∽△EFC,故B正确;在△BDG中,∠B=70°,∠DGB=40°,则∠GDB=70°;在△ABC中,∠B=70°,∠ACB=60°,则∠A=50°,∴△ABC,△CEF与△BGD不相似,故A,C错误;∵EF∥AB,∴△FGH∽△BGD;∵△BGD与△ABC不相似,∴△FGH与△ABC不相似,故D错误.故选B.
3.D [解析]由∠B=∠ADE可知△ABC∽△ADE,∴AE∶AC=AD∶AB.故选D.
4.C [解析]在△PCF和△BCP中,∵∠CPF=∠B,∠C为公共角,∴△PCF∽△BCP;在△APD和△PGD中,∵∠GPD=∠A,∠D为公共角,∴△APD∽△PGD;∵△APD∽△PGD,∴∠APD=∠PGD,∴∠BPF=∠AGP.又∵∠A=∠B,∴△AGP∽△BPF.共有3对相似三角形.故选C.
5.证明:(1)由正方形ABCD及等腰直角三角形DEF,可知∠ADC=∠EDF=90°,AD=CD,DE=DF,∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF,∴∠ADE=∠CDF.
在△DAE和△DCF中,
DE=DF,∠ADE=∠CDF,AD=CD,
∴△DAE≌△DCF.
(2)延长BA交ED于点M,如图所示.
/
∵△DAE≌△DCF,
∴∠EAD=∠FCD,
即∠EAM+∠MAD=∠BCD+∠BCF.
∵∠MAD=∠BCD=90°,∴∠EAM=∠BCF.
∵∠EAM=∠BAG,∴∠BAG=∠BCF.
又∵∠AGB=∠CGF,∴△ABG∽△CFG.
6. [解析]∵∠BCD=∠A,∠ABC=∠CBD,∴△ABC∽△CBD,∴=,即=,∴3BD=8,∴BD=.
7.或2 [解析]因为△ABC沿EF折叠后点C和点D重合,所以FD=CF.
设CF=x,则BF=4-x,若以点B,D,F为顶点的三角形与△ABC相似,分两种情况:
①若∠BFD=∠C,则=,即=,解得x=;
①若∠BFD=∠A,则=,即=1,解得x=2.
综上所述,CF的长为或2.
8. [解析]如图,过点O作OM∥AD交AB于点M.
/
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,
∴MO是△ABD的中位线,
∴AM=BM=AB=,MO=BC=4.
∵AF∥OM,∴△AEF∽△MEO,∴=,即=,∴AF=.
9.[解析] (1)在△PFA与△ABE中,易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°,
故可得△PFA∽△ABE;
(2)分两种情况列出关系式.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB.
又∵∠PFA=∠ABE=90°,
∴△PFA∽△ABE.
(2)若△EFP∽△ABE,,如图①
则∠PEF=∠EAB,∴PE∥AB,
∴四边形ABEP为矩形,
∴PA=BE=2,即x=2;
/   /
若△PFE∽△ABE,如图②,
则∠PEF=∠AEB.
∵∠PAF=∠AEB,∴∠PEF=∠PAF,
∴PE=PA.
∵PF⊥AE,∴F为AE的中点.
∵AE==2 ,
∴EF=AE=.
∵=,即=,
∴PE=PA=5,即x=5.
∴满足条件的x的值为2或5.
10.[解析] (1)要求证△ABF∽△COE,只要证明∠BAF=∠C,∠ABF=∠COE即可.
(2)作OH⊥AC,交BC于点H,易证△OFA和△OEH相似,根据相似三角形的对应边的比相等,即可得出所求的值.
(3)同(2)可得,=n.
解:(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠DAC+∠C=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°,
∴∠BAD=∠C.
∵OE⊥OB,∴∠BOA+∠COE=90°.
又∵∠BOA+∠ABF=90°,
∴∠ABF=∠COE.
∴△ABF∽△COE.
(2)如图,过点O作AC的垂线交BC于点H,则OH∥AB.
/
由(1)得∠ABF=∠COE,∠BAF=∠C,
∴∠AFB=∠OEC,
∴∠AFO=∠HEO.
又∵∠BAF=∠C,∠BAF+∠FAO=∠C+∠EHO=90°,
∴∠FAO=∠EHO,
∴△OFA∽△OEH,∴=.
又∵O为AC的中点,OH∥AB,
∴OH为△ABC的中位线,
∴OH=AB,OA=OC=AC.
而=2,∴=2,∴=2.
(3)=n.
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