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北师大九年级上思维特训(六):与一元二次方程有关的阅读理解
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/10/11  
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思维特训(六) 与一元二次方程有关的阅读理解
/
阅读材料型题是近年来中考试题中出现的新题型,它以内容丰富、构思新颖别致、题型多样为特点,由阅读材料和解决问题两部分组成,让考生在阅读的基础上,理解其中的内容、方法和思想,进而解决问题.解答阅读理解题,要读懂材料,正确理解题意,弄清题目要求,理清问题与材料之间的关系.把问题带到题目中,认真理解材料所提供的思路,多角度去思考,或直接运用阅读中得到的方法、思想解决问题,或在材料中所提供的信息的基础上加以类比、变式、拓展得到类似的方法进行求解.
/
类型一 十字相乘法解一元二次方程
1.阅读下列材料:
(1)将多项式x2+2x-35分解因式,我们可以按下面的方法解答:
解:①竖分二次项与常数项:x2=x·x,-35=(-5)×(+7).
②交叉相乘,验中项:7x+(-5x)=2x←x×7=7x,x×(-5)=-5x且7x+(-5x)=2x.
③横向写出两因式:x2+2x-35=(x+7)(x-5).
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
(2)根据乘法原理:若ab=0,则a=0或b=0.
试用上述方法和原理解下列方程:
(1)x2-10x+21=0;
(2)x2+2x=8;
(3)x2-5x-6=0.









类型二 换元法解一元二次方程
2.请你先认真阅读下列材料,再参照例子解答问题:
已知(x+y-3)(x+y+4)=-10,求x+y的值.
解:设t=x+y,则原方程变形为(t-3)(t+4)=-10,即t2+t-2=0,
∴(t+2)(t-1)=0,∴t1=-2,t2=1,
∴x+y=-2或x+y=1.
解答问题:
已知(x2+y2-4)(x2+y2+2)=7,求x2+y2的值.





类型三 含绝对值的一元二次方程的解法
3.阅读例题,解答问题.
例:解方程:x2+-1=0.
解:(1)当x+1≥0,即x≥-1时,
原方程化为x2+x+1-1=0,即x2+x=0,
解得x1=0,x2=-1.
(2)当x+1<0,即x<-1时,
原方程化为x2-(x+1)-1=0,即x2-x-2=0,
解得x1=-1,x2=2.
∵x<-1,∴x1=-1,x2=2都舍去.
综上所述,原方程的解是x1=0,x2=-1.
依照上述解法,解方程:x2-2-4=0.






类型四 与一元二次方程有关的几何问题的解法
4.发现思考:已知等腰三角形ABC的两边长分别是方程x2-7x+10=0的两个根,求等腰三角形ABC三条边的长各是多少.下边是小明同学的作业,老师说他的做法有错误,请你找出错误之处并说明错误原因.
小明的作业
解:x2-7x+10=0,
∵a=1,b=-7,c=10,
∴b2-4ac=9>0,
∴x==,
∴x1=5,x2=2.
当腰为5,底为2时,等腰三角形的三条边长分别为5,5,2;
当腰为2,底为5时,等腰三角形的三条边长分别为2,2,5.
探究应用:请解答以下问题:
已知等腰三角形ABC的两边长分别是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实数根.
(1)当m=2时,求△ABC的周长;
(2)当△ABC为等边三角形时,求m的值.







5.阅读下列内容,并解题:我们知道,计算n边形的对角线条数公式为:n(n-3).
如果一个n边形共有20条对角线,那么可以得到方程n(n-3)=20.
整理得n2-3n-40=0,解得n=8或n=-5.
∵n为大于或等于3的整数,∴n=-5不合题意,舍去,
∴n=8,即多边形是八边形.
根据以上内容,解答下列问题:
(1)若一个多边形共有14条对角线,求这个多边形的边数;
(2)A同学说:“我求得一个多边形共有10条对角线”,你认为A同学的说法正确吗?为什么?










类型五 构造一元二次方程
6.问题:已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=.
把x=代入已知方程,得()2+-1=0.
化简,得y2+2y-4=0.
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化成一般形式):
(1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数;
(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.

详解详析
1.解:(1)x2-10x+21=0.
因式分解,得(x-3)(x-7)=0,
∴x-3=0或x-7=0,∴x1=3,x2=7.
(2)x2+2x=8.整理,得x2+2x-8=0,
因式分解,得(x-2)(x+4)=0,
∴x-2=0或x+4=0,∴x1=2,x2=-4.
(3)x2-5x-6=0.
因式分解,得(x-6)(x+1)=0,
∴x-6=0或x+1=0,∴x1=6,x2=-1.
2.解:设t=x2+y2,
则原方程变形为(t-4)(t+2)=7,
即t2-2t-15=0,
解得t1=5,t2=-3(不合题意,舍去),
∴x2+y2=5.
3.解:x2-2|x-2|-4=0.
(1)当x-2≥0,即x≥2时,
原方程化为x2-2(x-2)-4=0,即x2-2x=0,
解得x1=0,x2=2.
∵x≥2,∴x=0舍去.
(2)当x-2<0,即x<2时,
原方程化为x2+2(x-2)-4=0,即x2+2x-8=0,
解得x1=-4,x2=2.
∵x<2,
∴x=2舍去.
综上所述,原方程的解是x1=2,x2=-4.
4.解:发现思考:
错误之处:当腰为2,底为5时,等腰三角形的三条边长分别为2,2,5.
错误原因:此时不能构成三角形.
探究应用:
(1)当m=2时,方程为x2-2x+=0,∴x1=,x2=.
当腰为时,+<,∴,,不能构成三角形;
当腰为时,等腰三角形的三边长分别为,,,此时周长为++=.
故当m=2时,△ABC的周长为.
(2)若△ABC为等边三角形,则原方程有两个相等的实数根,
∴Δ=(-m)2-4(-)=m2-2m+1=0,
∴m1=m2=1.
故当△ABC为等边三角形时,m的值为1.
5.解:(1)设多边形的边数为n,根据题意得n(n-3)=14,
整理得n2-3n-28=0,解得n=7或n=-4.
∵n为大于或等于3的整数,∴n=-4不合题意,舍去,
∴n=7,即多边形的边数是7.
(2)A同学的说法不正确.理由如下:当n(n-3)=10时,整理得n2-3n-20=0,
解得n=,∴符合方程n2-3n-20=0的正整数n不存在,∴多边形的对角线不可能有10条.
6.解:(1)设所求方程的根为y,则y=-x,
所以x=-y.
把x=-y代入已知方程x2+x-2=0,
得(-y)2+(-y)-2=0.
化简,得y2-y-2=0.
故所求方程为y2-y-2=0.
(2)设所求方程的根为y,则y=,所以x=.
把x=代入方程ax2+bx+c=0,得
a()2+b·+c=0,
去分母,得a+by+cy2=0.
若c=0,有ax2+bx=0,于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0,不符合题意.
∴c≠0,故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0).
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