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2019版泰安中考一轮复习《第20讲:矩形、菱形、正方形》课件
所属科目:数学    文件类型:pptx
类别:课件
上传日期:2018/11/8  
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该ppt共有45张ppt
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第20讲 矩形、菱形、正方形

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总纲目录

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知识点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系

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知识点一 矩形

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温馨提示 (1)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条 对称轴,对称中心是两条对角线的交点.(2)矩形的对角线把矩形 分成四个等腰三角形.

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知识点二 菱形
温馨提示 (1)菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,分别是对角线所在的直线;对称中心是两条对角线的交 点.(2)菱形的对角线把菱形分为四个全等的直角三角形.

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知识点三 正方形
温馨提示 (1)正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有4 条对称轴.(2)正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角 三角形.

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知识点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系1.平行四边形与特殊平行四边形的包含关系?

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2.从四边形到特殊平行四边形的演变关系?温馨提示 依次连接四边形各边的中点所得到的新的四边形的 形状与原四边形的对角线有关系,若对角线相等,则新的四边形是 菱形;若对角线垂直,则新的四边形是矩形.

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考点一 矩形的性质和判定中考解题指导 口诀“矩形就是长方形,周长、面积仍然用,平行 四边形性质它均用,四角相等皆直角”;判定矩形首先要分清楚所 给的条件是四边形还是平行四边形,再确定矩形的判定方法.

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例1
如图,在矩形ABCD中,DE平分∠ADC交BC于点E,EF⊥AD交AD于 点F,若EF=3,AE=5,则AD等于?( C )A.5  B.6  C.7  D.8

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解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,∵EF⊥AD,∴EF∥CD,∴∠FED=∠EDC,∵DE平分∠ADC,∴∠FDE=∠EDC,∴∠FED=∠FDE,∴DF=EF=3,∵EF⊥AD,∴∠AFE=90°,∵AE=5,EF=3,

----第15张ppt内容:------
∴由勾股定理得AF=4,∴AD=AF+DF=4+3=7,故选C.

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变式1-1 (2017济南)如图,在矩形ABCD中,AD=AE,DF⊥AE于点 F.求证:AB=DF.

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证明 ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠B=90°,∴∠AEB=∠DAF,∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,在△ABE和△DFA中,∵?∴△ABE≌△DFA,∴AB=DF.

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方法技巧  矩形是特殊的平行四边形,其特殊性在于内角均为直角,故在应用其性质时常会和直角三角形相结合.

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考点二 菱形的性质和判定例2 (2017北京)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥ BC,AD=2BC,∠ABD=90°,点E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.

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解析 (1)证明:∵AD=2BC,E为AD的中点,∴DE=BC.∵AD∥BC,∴四边形BCDE是平行四边形.∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=DE,∴四边形BCDE是菱形.(2)∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴AB=BC=1.

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∵AD=2BC=2,∴sin∠ADB=?,∴∠ADB=30°,∴∠DAC=30°,∠ADC=60°,∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,∵AD=2,∴CD=1,AC=?.

----第22张ppt内容:------
变式2-1 (2018泰安)如图,在菱形ABCD中,AC与BD交于点O,E是 BD上一点,EF∥AB,∠EAB=∠EBA,过点B作DA的垂线,交DA的延 长线于点G.(1)∠DEF和∠AEF是否相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理 由;(2)找出图中与△AGB相似的三角形,并证明;(3)BF的延长线交CD的延长线于点H,交AC于点M.求证:BM2=MF· MH.

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解析 (1)∠DEF=∠AEF.理由如下:∵EF∥AB,∴∠DEF=∠EBA,∠AEF=∠EAB,又∵∠EAB=∠EBA,∴∠DEF=∠AEF.(2)△EOA∽△AGB.证明如下:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,AC⊥BD,∴∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE.又∵∠AEO=∠ABE+∠BAE=2∠ABE,

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∴∠GAB=∠AEO,又∠AGB=∠AOE=90°,∴△EOA∽△AGB.(3)证明:连接DM.∵四边形ABCD是菱形,由对称性可知:BM=DM,∠ADM=∠ABM.∵AB∥CH,∴∠ABM=∠H,∴∠ADM=∠H.又∵∠DMH=∠FMD,∴△MFD∽△MDH,∴? = ,

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∴DM2=MF·MH,∴BM2=MF·MH.方法技巧  要判断一个四边形是菱形,可以先说明它是平行四 边形,再说明它的一组邻边相等或对角线垂直;也可说明它的四条 边都相等或它的对角线互相垂直平分.在具体问题中,要根据题目 给出的已知条件选择合适的方法.

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考点三 正方形的性质和判定例3 (2017济南)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, AB=3?,E为OC上一点,OE=1,连接BE,过点A作AF⊥BE于点F,与BD交于点G,则BF的长是?( A )?A.?  B.2?  C.?  D.?

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解析 ∵四边形ABCD是正方形,AB=3?,∴∠AOB=90°,AO=BO=CO=3.∵AF⊥BE,∴∠EBO=∠GAO.在△GAO和△EBO中,?∴△GAO≌△EBO,∴OG=OE=1,∴BG=2.在Rt△BOE中,BE=?=?,∵∠BFG=∠BOE=90°,∠GBF=∠EBO,∴△BFG∽△BOE,

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∴ ?=? ,即 ?= ?,解得BF= ?,故选A.方法技巧  正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形,具备了矩 形和菱形的所有性质.同时,在解决以正方形为背景的问题时,常 与直角三角形、等腰三角形、相似三角形相结合进行解答,特别 注意角和角、边和边之间的数量关系和位置关系.

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一、选择题1.(2017临沂)在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合), 过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正 确的是?( D )?A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形

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B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形二、填空题2.(2017泰山模拟)矩形的两条对角线的一个夹角为60°,两条对角 线的长度的和为8 cm,则这个矩形的一条较长边的长为 ?2 ? cm.

----第32张ppt内容:------
解析 如图,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AC=BD=4 cm,OA=OC,OD=OB,∴OA=OB=2 cm,由题意得∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,∴OA=OB=AB=?AC=2 cm.在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=?=2? cm.这个矩形的一条较长边的长为2? cm.

----第33张ppt内容:------
3.(2017新泰模拟)边长为5 cm的菱形的一条对角线的长是6 cm, 则另一条对角线的长是 8 cm.解析 如图,在菱形ABCD中,AB=5 cm,AC=6 cm,∵对角线互相垂直平分,∴∠AOB=90°,AO=3 cm.在Rt△AOB中,BO=? =4 cm,∴BD=2BO=8 cm.

----第34张ppt内容:------
4.(2018滨州)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在 BC、CD上,若AE=?,∠EAF=45°,则AF的长为 ?.?

----第35张ppt内容:------
解析 取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,?∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠BAD=∠B=90°,∴NF=?x,AN=4-x,∵AB=2,∴AM=BM=1,∵AE=?,

----第36张ppt内容:------
∴BE=1,∴ME=? =?,∵∠EAF=45°,∴∠MAE+∠NAF=45°,∵∠MAE+∠AEM=45°,∴∠MEA=∠NAF,又∵∠ANF=∠EMA=180°-45°=135°,∴△AME∽△FNA,∴? =? ,∴? = ? ,

----第37张ppt内容:------
解得x= ?,∴AF= ?=? .

----第38张ppt内容:------
5.(2017莱芜)如图,在矩形ABCD中,BE⊥AC,BE交AC,AD于点F,E, 若AD=1,AB=CF,则AE= ?.?

----第39张ppt内容:------
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=1,∠BAE=∠ABC=90°,∴∠ABE+∠CBF=90°.∵BE⊥AC,∴∠BFC=90°,∴∠BCF+∠CBF=90°,∴∠ABE=∠FCB,在△ABE和△FCB中,?∴△ABE≌△FCB,

----第40张ppt内容:------
∴BF=AE,BE=BC=1.∵∠BAF+∠ABF=90°,∠ABF+∠AEB=90°,∴∠BAF=∠AEB,∵∠BAE=∠AFB,∴△ABE∽△FBA,∴? = ? ,∴ ?= ?,∴AE=AB2.在Rt△ABE中,根据勾股定理得,AB2+AE2=BE2=1,

----第41张ppt内容:------
∴AE+AE2=1,∵AE>0,∴AE=? .三、解答题6.(2017莱芜模拟)如图,菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,垂足分别 为点E,F,AE=ED,求∠EBF的度数.

----第42张ppt内容:------
解析 如图,连接BD.
∵BE⊥AD,AE=ED,∴AB=BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∴AB=AD=BD,∴∠A=60°,∴∠ADC=120°,∵BE⊥AD,BF⊥CD,∴∠BED=∠BFD=90°,∴∠EBF=60°.

----第43张ppt内容:------
7.(2017青岛)如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中 点,连接CE,CF,OE,OF.(1)求证:△BCE≌△DCF;(2)当AB与BC满足什么关系时,四边形AEOF是正方形?请说明理 由.

----第44张ppt内容:------
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴∠B=∠D,AB=BC=DC=AD,∵点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,∴AE=BE=DF=AF,OF=?DC,OE=?BC,OE∥BC.在△BCE和△DCF中,?∴△BCE≌△DCF(SAS).(2)当AB⊥BC时,四边形AEOF是正方形.理由如下:由(1)得AE=OE=OF=AF,

----第45张ppt内容:------
∴四边形AEOF是菱形.∵AB⊥BC,OE∥BC,∴OE⊥AB,∴∠AEO=90°,∴四边形AEOF是正方形.

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