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2019版泰安中考数学一轮复习《第16讲:等腰三角形与证明》课件
所属科目:数学    文件类型:pptx
类别:课件
上传日期:2018/11/8  
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该ppt共有35张ppt
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第16讲 等腰三角形与证明

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总纲目录

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知识点一 等腰三角形1.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“① 等边对等角 ”).(2)等腰三角形的② 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合(简称为“三线合一”).(3)等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,顶角的平分线(或底 边上的高、底边上的中线)所在的直线是它的对称轴.温馨提示 (1)若题目已知中没有明确边是底边还是腰,角没有明确是顶角还是底角,就需要分类讨论.(2)等腰三角形中“三线合一”是等腰三角形中常见辅助线的作法之一,一般是过顶点作底 边上的高.

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2.等腰三角形的判定(1)有③ 两条边相等 的三角形是等腰三角形.(2)有④ 两个角相等 的三角形是等腰三角形(简称为“等角对等边”).温馨提示 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要 依据,是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要 依据.

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知识点二 等边三角形1.等边三角形的性质(1)等边三角形具备等腰三角形的所有性质.(2)等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.2.等边三角形的判定(1)⑤ 三个角 都相等的三角形是等边三角形.(2)有一个角是⑥ 60° 的等腰三角形是等边三角形.

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知识点三 命题、定理与证明1.命题:判断一件事情的语句.(1)命题由⑦ 题设 和⑧ 结论 两部分组成.(2)命题的分类:正确的命题称为⑨ 真命题 ;错误的命题称为⑩ 假命题 .(3)反例:符合命题的条件,但不满足命题的结论的实例,叫做反例. 举反例是判断假命题的一种方法.只要找到一种情况不符合命题 的结论,就可以证明该命题是假命题.(4)互逆命题:在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命 题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个 命题称为互逆命题,每个命题都有互逆命题.

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2.定理:经过证明的 ?真命题 叫做定理.因为定理的逆命题不一定都是真命题,所以不是所有的定理都有逆定理.推论:推论是由公理或定理推出的正确结论,它是真命题.

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3.证明(1)证明的定义:根据题设、定义、公理或定理,经过逻辑推理来 判断一个命题是否正确,这一推理过程称为证明.(2)证明的一般步骤:①审题,找出命题的已知和结论;②由题意画出图形,要有一般性;③用数学语言写出已知和求证;④分析证明的思路;⑤写出证明过程,推理要严密.(3)反证法:从原命题结论的反面出发,通过正确的逻辑推理过程,导致矛盾的结果,从而肯定原命题结论正确的证明方法.

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考点一 等腰三角形的性质与判定例1 (2017泰安)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上 一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结 论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC,其中 正确结论的个数为 ?( D )A.1  B.2  C.3  D.4

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解析 ∵BC=EC,∴∠CEB=∠CBE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CEB=∠EBF,∴∠CBE=∠EBF,∴①BE平分∠CBF正确;∵BC=EC,CF⊥BE,∴∠ECF=∠BCF,∴②CF平分∠DCB正确;∵DC∥AB,∴∠DCF=∠CFB,∵∠ECF=∠BCF,∴∠CFB=∠BCF,∴BF=BC,∴③正确;∵FB=BC,CF⊥BE,

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∴B点一定在FC的垂直平分线上,即PB垂直平分FC,∴PF=PC,∴④正确.故选D.

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变式1-1 如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平 分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有?( D )?A.2个  B.3个  C.4个  D.5个

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解析 ∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD是△ABC的角平分线,∴∠ABD=∠DBC=?∠ABC=36°,∴∠A=∠ABD=36°,∴BD=AD,∴△ABD是等腰三角形;在△BCD中,∵∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°,∴∠C=∠BDC=72°,∴BD=BC,

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∴△BCD是等腰三角形;∵BE=BC,∴BD=BE,∴△BDE是等腰三角形;∴∠BED=(180°-36°)÷2=72°,∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°,∴∠A=∠ADE,∴DE=AE,∴△ADE是等腰三角形,∴图中的等腰三角形有5个.故选D.

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考点二 等边三角形的性质和判定中考解题指导 等边三角形是特殊的三角形,三条边相等、三个 角都等于60°.在遇到等边三角形的问题时,注意从边和角两个方 面分析并进行解答.

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例2 如图,已知△ABC和△ECD都是等边三角形,B、C、D在一 条直线上.(1)求证:BE=AD;(2)求证:CF=CH;(3)求证:△FCH是等边三角形;(4)求证:FH∥BD;(5)求∠EMD的度数.

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解析 (1)证明:∵△ABC和△ECD都是等边三角形,∴∠BCA=∠ DCE=60°,∴∠BCE=∠ACD,又∵△ABC和△ECD都是等边三角 形,∴BC=AC,CE=CD,∴△BCE≌△ACD,∴BE=AD.(2)证明:由(1)知,△BCE≌△ACD,∴∠BEC=∠ADC,易知∠DCE=∠ECF=60°,CD=CE,∴△DCH≌△ECF,∴CF=CH.(3)证明:由(2)知,CF=CH,点B、C、D在一条直线上,∴∠ECF=60°,∴△FCH是等边三角形.

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(4)证明:由(3)知,△FCH是等边三角形,∴∠FHC=60°=∠HCD,∴FH∥BD.(5)由(1)知,△BCE≌△ACD,∴∠MEC=∠CDH,∴在△BMD中,∠MBD+∠MDB=60°,∴∠EMD=60°.

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变式2-1 △ABC是等边三角形,点D是BC上的一个动点(点D不与 点B、C重合),△ADE是等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交 AB、AC于点F、G,连接BE.如图所示,当点D在线段BC上时,求证: △AEB≌△ADC.

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证明 ∵△ABC和△ADE都是等边三角形,∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°,又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,在△AEB和△ADC中,∵AE=AD,∠EAB=∠DAC,AB=AC,∴△AEB≌△ADC(SAS).

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考点三 命题、推理与证明例3 (2017新泰模拟)下列命题中,正确的是?( C )A.任意三点可以确定一个圆B.菱形的对角线相等C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D.平行四边形的四条边相等

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解析 A.在同一直线上的三点不能确定一个圆,故错误;B.菱形的对角线垂直但不一定相等,故错误;C.正确;D.平行四边形的四条边不一定相等,故错误.

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变式3-1 下列命题中,是真命题的为?( A )A.若a>b,则c-a<c-bB.某种彩票中奖的概率是1%,买100张该种彩票一定会中奖C.点M(x1,y1),N(x2,y2)都在反比例函数y=?的图象上,若x1<x2,则y1>y2D.甲、乙两名射击运动员分别射击10次,他们射击成绩的方差分 别为?=4,?=9,乙的发挥比甲稳定

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一、选择题1.下列命题中,是真命题的为?( B )A.两条对角线相等的四边形是矩形B.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形C.两条对角线互相垂直的四边形是菱形D.两条对角线相等的四边形是等腰梯形

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2.等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则它的周长为( C )A.16 cm  B.17 cmC.20 cm  D.16 cm或20 cm3.已知等腰三角形三边长分别为a、b、2,且a、b正好是关于x的 一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根,则n的值为 ( C )A.9  B.10C.9或10  D.8或10

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4.如图,在△ABC中,AC=4 cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N, △BCN的周长是7 cm,则BC的长为?( C )?A.1 cm  B.2 cmC.3 cm  D.4 cm

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二、填空题5.如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上, 且CG=CD,DF=DE,则∠E = 15° .?

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解析 由DE=DF,CG=CD,可知∠ACB=4∠E=60°,所以∠E=15°.

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6.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,则顶角 的度数是 110°或70° .

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解析 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和, 即可求得顶角是90°+20°=110°;当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,故顶角是90°-20°=70°.?

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三、解答题7.以点A为顶点作两个等腰直角三角形(△ABC,△ADE),如图所示 放置,使得一直角边重合,连接BD,CE.(1)求证:BD=CE;(2)延长BD,交CE于点F,求∠BFC的度数.

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解析 (1)证明:在△ABD和△ACE中,∵AD=AE,∠DAB=∠EAC,AB=AC,∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE.(2)∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE.又∵∠ADB=∠CDF,∴∠ABD+∠ADB=∠ACE+∠CDF=90°,∴∠BFC=90°.

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