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泰安中考一轮复习《第15讲:全等三角形与尺规作图》精练有答案
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/11/9  
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第15讲 全等三角形与尺规作图
A组 基础题组
一、选择题
1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下,则说明∠CAD=∠BAD的依据是(  )
/
A.SSS B.SAS
C.ASA D.AAS
2.(2018河北)尺规作图要求:Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ.作线段的垂直平分线;Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ.作角的平分线.
下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:
/
/
则正确的配对是(  )
A.①—Ⅳ,②—Ⅱ,③—Ⅰ,④—Ⅲ
B.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④—Ⅰ
C.①—Ⅱ,②—Ⅳ,③—Ⅲ,④—Ⅰ
D.①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ
3.(2016浙江丽水)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中,作法错误的是(  )
/
4.在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为(  )
/
A.
6
B.4 C.2
3
D.5
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为(  )
/
A.6 B.6
3
C.9 D.3
3


/
6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,得到下列四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE.其中正确的是(  )
A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④
/
7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB,某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论:
①AC⊥BD;②AO=CO=
1
2
AC;③△ABD≌△CBD.
其中正确的结论有(  )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
二、填空题
8.(2018德州)如图,OC为∠AOB的平分线.CM⊥OB,OC=5,OM=4.则点C到射线OA的距离为    .?
/
9.如图,AB=12 m,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4 m,P点从B向A运动,每分钟走1 m,Q点从B向D运动,每分钟走2 m,P、Q两点同时出发,运动?
分钟后△CAP与△PQB全等.
/
10.(2017江苏淮安)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、E分别是AB,AC的中点,点F是AD的中点.若AB=8,则EF=    .?
/
三、解答题
11.(2018河北,23,9分)如图,∠A=∠B=50°,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设∠BPN=α.
(1)求证:△APM≌△BPN;
(2)当MN=2BN时,求α的度数;
(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围.
/





12.(2018泰安)如图,△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点,FG⊥BC于点G,与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB,连接GE,GD.
(1)求证:△ECG≌△GHD;
(2)小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论;
(3)若∠B=30°,判定四边形AEGF是不是菱形,并说明理由.
/






B组 提升题组
                  
一、选择题
1.(2018南京)如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为(  )
/
A.a+c B.b+c
C.a-b+c D.a+b-c
/
2.数学活动课上,四位同学围绕作图问题“如图,已知直线l和直线l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q”.分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是(  )
/
3.如图,G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,现有如下结论:
①BE=
1
2
GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°;④△GBE∽△ECH.
其中,正确的结论有(  )
/
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
4.如图,Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,BD平分∠ABC且与AC边交于点D,AD=2,则点D到边BC的距离是    .?
/
/
5.如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:    ,使△AEH≌△CEB.?
6.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为    .?
/
三、解答题
7.如图,△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,四边形BCDE是平行四边形,E为AC中点,BD平分∠ABC,点F在AB上,且BF=BC.求证:
(1)DF=AE;
(2)DF⊥AC.
/







第15讲 全等三角形与尺规作图
A组 基础题组

一、选择题
1.A 从角平分线的作法可得,△AFD与△AED的三边全部相等,则△AFD≌△AED.故选A.
2.D 根据尺规作图的方法可知正确的配对是①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ.故选D.
3.D A.根据作图的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意.
B.根据“直径所对的圆周角是直角”知CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意.
C.根据相交圆的公共弦的性质可知CD是斜边AB上的高线,不符合题意.
D.无法证明CD是Rt△ABC斜边上的高线,符合题意.故选D.
4.B ∵∠ABC=45°,AD⊥BC,∴在等腰直角三角形ABD中,AD=BD,又∵∠ADB=∠ADC=90°,∠BHD+∠DBH=90°=∠EBC+∠C,∴∠BHD=∠C,∴△BHD≌△ACD,∴BH=AC=4.
5.C 由垂直平分线的性质定理得BD=AD,∴∠B=∠BAD=30°,∴AD平分∠BAC.
∴在Rt△ADC中,AD=2CD=6,即BD=6.
∴BC=BD+CD=9.
6.D 如果OA=OD,则结合已知条件易证得四边形AEDF是矩形,则∠BAC=90°,但由题中条件得不到∠BAC=90°,所以①不正确.首先根据全等三角形的判定方法,判断出△AED≌△AFD,则AE=AF,DE=DF.然后根据全等三角形的判定方法,判断出△AEO≌△AFO,则∠AOE=∠AOF=90°,即AD⊥EF,所以②正确.如果∠BAC=90°,则四边形AEDF的四个角都是直角,四边形AEDF是矩形,结合DE=DF,判断出四边形AEDF是正方形,故③正确.根据△AED≌△AFD,得到AE=AF,DE=DF,进而得到AE+DF=AF+DE,故④正确.故选D.
7.D 在△ABD与△CBD中,

= ,
= ,
= ,


∴△ABD≌△CBD(SSS),
故③正确.
∴∠ADB=∠CDB,
在△AOD与△COD中,


= ,
∠ =∠ ,
= ,


∴△AOD≌△COD(SAS),
∴∠AOD=∠COD=90°,AO=OC=
1
2
AC,
∴AC⊥BD,故①②正确.故选D.
二、填空题
8.答案 3
解析 过C作CF⊥AO.
∵OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,
∴CM=CF.
∵OC=5,OM=4,
∴CM=3,
∴CF=3.
故答案为3.
/
9.答案 4
解析 ∵CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,
∴∠A=∠B=90°,
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等,则BP=x m,BQ=2x m,AP=(12-x)m,
分两种情况:①若BP=AC,则x=4,此时AP=12-4=8 m,BQ=8 m,∴AP=BQ,∴△CAP≌△PBQ(SAS);
②若BP=AP,则12-x=x,解得x=6,此时BQ=12 m,BQ≠AC,
∴△CAP与△PQB不全等.
综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等.
10.答案 2
解析 ∵D为AB的中点,AB=8,∴在Rt△ABC中,CD=4,又∵E、F分别为AC,AD的中点,∴根据三角形中位线定理,得EF=2.
三、解答题
11.解析 (1)证明:∵P为AB中点,
∴PA=PB.
又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB,
∴△APM≌△BPN.
(2)由(1)得PM=PN,
∴MN=2PN,
又∵MN=2BN,
∴PN=BN,
∴α=∠B=50°.
(3)40°<α<90°.
∵△BPN的外心在该三角形的内部,
∴△BPN是锐角三角形,
∴∠BPN和∠BNP都为锐角,
又∵∠B=50°,
∴40°<∠BPN<90°,即40°<α<90°.
12.解析 (1)证明:∵AF=FG,
∴∠FAG=∠FGA,
∵AG平分∠CAB,
∴∠CAG=∠FAG,
∴∠CAG=∠FGA,
∴AC∥FG.
又∵DE⊥AC,
∴FG⊥DE,
又∵FG⊥BC,
∴DE∥BC,
∴AC⊥BC,
∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED,
∵F是AD的中点,FG∥AE,
∴H是ED的中点,
∴FG是线段ED的垂直平分线,
∴GE=GD,∴∠GDE=∠GED,
∴∠CGE=∠GDE,
∴△ECG≌△GHD.
(2)证明:过点G作GP⊥AB于点P,
/
∴GC=GP,
∴△CAG≌△PAG,
∴AC=AP.
由(1)得EG=DG,
∴Rt△ECG≌Rt△GPD,
∴EC=PD,
∴AD=AP+PD=AC+EC.
(3)四边形AEGF是菱形,理由如下:
∵∠B=30°,∴∠ADE=30°,
∴AE=
1
2
AD,∴AE=AF=FG.
由(1)得AE∥FG,
∴四边形AEGF是菱形.
B组 提升题组

一、选择题
1.D
2.A 根据垂线的作法,选项A错误.故选A.
3.B ∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠DCB=90°,AB=BC,
∵AG=CE,
∴BG=BE,
由勾股定理得:BE=

2

2
GE,∴①错误;
∵BG=BE,∠B=90°,
∴∠BGE=∠BEG=45°,
∴∠AGE=135°,
∴∠GAE+∠AEG=45°,
∵AE⊥EF,
∴∠AEF=90°,
∵∠BEG=45°,
∴∠AEG+∠FEC=45°,
∴∠GAE=∠FEC,
在△GAE和△CEF中,


= ,
∠ =∠ ,
= ,


∴△GAE≌△CEF,∴②正确;
∴∠AGE=∠ECF=135°,
∴∠FCD=135°-90°=45°,
∴③正确;
∵∠BGE=∠BEG=45°,∠AEG+∠FEC=45°,
∴∠FEC<45°,
∴△GBE和△ECH不相似,
∴④错误.
故选B.
二、填空题
4.答案 2
解析 过D作DE⊥BC于E.∵BD平分∠ABC,∠A=90°,∴DE=AD=2.故点D到边BC的距离为2.
/
5.答案 AH=CB(或EH=EB或AE=CE)
解析 ∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,
∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=90°,
∴∠B+∠BCE=90°,∠B+∠BAD=90°,
∴∠BCE=∠BAD,
∴AH=CB或EH=EB或AE=CE,可证△AEH≌△CEB.
6.答案 
7
2

解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90°.在Rt△DCE中,∵F为DE的中点,∴CF=
1
2
DE=EF=DF.∵△CEF的周长为18,∴CE+CF+EF=18.又∵CE=5,∴CF+EF=18-5=13,∴DE=DF+EF=13,∴DC=
1
3
2
-
5
2

=12,∴BC=12,∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F为DE的中点,∴OF为△BDE的中位线,∴OF=
1
2
BE=
7
2
.
三、解答题
7.证明 (1)延长DE交AB于点G,连接AD.
/
∵四边形BCDE是平行四边形,
∴ED∥BC,ED=BC.
∵点E是AC的中点,∠ABC=90°,
∴AG=BG,DG⊥AB.
∴AD=BD,∴∠BAD=∠ABD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠BAD=45°,即∠BDE=∠ADE=45°.
又BF=BC,∴BF=DE.
∴在△AED与△DFB中,


= ,
∠ =∠ ,
= ,


∴△AED≌△DFB(SAS),
∴AE=DF,即DF=AE.
(2)设AC与FD交于点O.
∵由(1)知,△AED≌△DFB,
∴∠AED=∠DFB,
∴∠DEO=∠DFG.
∵∠DFG+∠FDG=90°,
∴∠DEO+∠EDO=90°,
∴∠EOD=90°,即DF⊥AC.

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