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中考一轮复习《课题17:二次函数的综合应用》同步练习有答案
所属科目:数学    文件类型:docx
类别:教案/同步练习
上传日期:2018/12/5  
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课题17 二次函数的综合应用
A组 基础题组

一、选择题
1.(2017衡水安平模拟)某旅游景点的收入受季节的影响较大,有时候出现赔本的经营状况.因此,公司规定:在无利润时,该景点关闭.经跟踪测算,该景点一年中的利润W(万元)与月份x之间满足二次函数W=-x2+16x-48,则该景点一年中处于关闭状态的月份个数是(  )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.(2018河北模拟)抛物线y=-
2
3
x2+2bx与x轴的两个不同交点是点O和点A,顶点B在直线y=

3

3
x上,则关于△OAB的判断正确的是(  )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
3.(2018邢台宁晋模拟)点A,B的坐标分别为(-2,3)和(1,3),抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的顶点在线段AB上运动时,形状保持不变,且与x轴交于C,D两点(C在D的左侧),给出下列结论:①c<3;②当x<-3时,y随x的增大而增大;③若点D的横坐标最大值为5,则点C的横坐标最小值为-5;④当四边形ACDB为平行四边形时,a=-
4
3
.其中正确的是(  )
A.②④ B.②③ C.①③④ D.①②④

二、填空题
4.(2017承德模拟)某学生在体育测试时推铅球,铅球所经过的路线是二次函数图象的一部分,如果这名学生出手处为A(0,2),铅球路线最高处为B(6,5),则该学生将铅球推出的距离是    .?
5.(2018石家庄模拟)如图,小亮从斜坡的点O处抛出一个沙包,沙包轨迹抛物线的解析式为y=12x-x2,斜坡OA的坡度i=1∶2,则沙包在斜坡的落点A的垂直高度是    .?
/
6.(2017石家庄模拟)在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果将二次函数y=-x2+8x-
39
4
的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,那么此红色区域内部及其边界上的整点个数有    个.?

三、解答题
7.(2017唐山模拟)如图所示,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求抛物线的解析式;
(2)该运动员身高1.8 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?
/









8.(2017石家庄正定模拟)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y千克,增种果树x棵,它们之间的函数关系如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6 750千克?
(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大?最大产量是多少?
/















B组 提升题组

一、选择题
1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=-
1
25
x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时,水面宽度AB为(  )
/
                  
A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m
2.(2018保定模拟)如图,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A,B两点,且点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3,则以下结论:①抛物线y=ax2(a≠0)的图象的顶点一定是原点;②x>0时,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而增大;③AB的长度可以等于5;④△OAB有可能成为等边三角形;⑤当-3<x<2时,ax2+kx<b.其中,正确的结论是(  )
/
A.①②④ B.①②⑤
C.②③④ D.③④⑤

二、填空题
3.(2017沧州模拟)如图,矩形ABCD的长AB=6 cm,宽AD=3 cm.O是AB的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线y=ax2经过C,D两点,则图中阴影部分的面积是    cm2.?
/
4.(2018邯郸模拟)如图,在10×10的网格中,每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点.若抛物线经过图中的三个格点,则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”.以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为3
2
,且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点,则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是    .?
/

三、解答题
5.(2017廊坊模拟)如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底DE是水平的,DE=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米.以DE所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底DE的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系h=-
1
128
(t-19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,在这一时段内,需禁止船只通行多少小时?
/



















答案精解精析
/A组 基础题组

一、选择题
1.A 对于W=-x2+16x-48,令W=0,得x2-16x+48=0,解得x=12或4,由W=-x2+16x-48=-(x-8)2+16可知,该景点一年中处于关闭状态的月份有1月,2月,3月,4月,12月,共5个月.故选A.
2.A 抛物线y=-
2
3
x2+2bx的顶点B的坐标为

3
2
b,
3
2


2

,代入直线y=

3

3
x中,得
3
2
b2=

3

3
×
3
2
b,解得b=

3

3
或b=0(舍去).
∴点O(0,0),A(
3
,0),B


3

2
,
1
2

,根据勾股定理,得OB=1.
根据抛物线的对称性,可知AB=OB=1,∴△OAB是等腰三角形.
∵点B的横坐标与纵坐标不相等,∴△OAB不是等腰直角三角形,排除选项B,D;∵OA=
3
≠1,∴△OAB不是等边三角形.
综上所述,故选A.
3.A ∵点A,B的坐标分别为(-2,3)和(1,3),∴线段AB与y轴的交点坐标为(0,3).
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动,抛物线与y轴的交点坐标为(0,c),∴c≤3,(顶点在y轴上时取“=”),故①错误;
∵抛物线的顶点在线段AB上运动,当x<-2时,y随x的增大而增大,可知当x<-3时,y随x的增大而增大,故②正确;
若点D的横坐标最大值为5,则此时对称轴为直线x=1,根据二次函数的对称性,点C的横坐标最小值为-2-4=-6,故③错误;
∵抛物线的顶点在线段AB上运动,∴顶点的纵坐标为3,即
4 -

2

4
=3.
∴CD2=(xD-xC)2=(xD+xC)2-4xD·xC=

-




2
-4·


=


2
-4ac


2

=-
4

·
4 -

2

4
=-
12

.
∵四边形ACDB为平行四边形,∴CD=AB=1-(-2)=3.
∴-
12

=32=9,解得a=-
4
3
,故④正确.
综上所述,正确的结论有②④.故选A.

二、填空题
4./答案 6+2
15

/解析 设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0),把顶点B(6,5),A(0,2)代入,求得抛物线的解析式为y=-
1
12
(x-6)2+5=-
1
12
x2+x+2.
令y=0,则-
1
12
x2+x+2=0,解得x=6+2
15
或x=6-2
15
(不合题意,舍去).
5./答案 
23
4

/解析 设点A(m,n),根据题意,得

=12 -

2
,



=
1
2
,

解得:n=0(舍去),或n=
23
4
.
6./答案 25
/解析 ∵y=-x2+8x-
39
4
=-
( -4
)
2
-
25
4

,令y=0,解得x=
13
2

3
2
.
则在红色区域内部及其边界上的整点为(2,0),(3,0),(4,0),(5,0),(6,0),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2)共25个,故答案为25.

三、解答题
7./解析 (1)∵当球运行的水平距离为2.5米时,达到最大高度3.5米,
∴抛物线的顶点坐标为(0,3.5).
∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5,把点(1.5,3.05)代入,
得2.25a+3.5=3.05,解得a=-0.2.
∴抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5.
(2)设球出手时,他跳离地面的高度为h m,
∵y=-0.2x2+3.5,
而球出手时,球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05),
∴h+2.05=-0.2×(-2.5)2+3.5,
解得h=0.2.
答:球出手时,他跳离地面的高度为0.2 m.
8./解析 (1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),
把点(12,74),(28,66)代入,得

12 + =74,
28 + =66,


解得

=-0.5,
=80,


∴y与x之间的函数关系式为y=-0.5x+80.
(2)根据题意,得(-0.5x+80)(80+x)=6 750,
解这个方程,得x1=10,x2=70.
∵投入成本最低,
∴x2=70不满足题意,舍去.
∴增种果树10棵时,果园可以收获果实6 750千克.
(3)根据题意,得w=(-0.5x+80)(80+x)=-0.5x2+40x+6 400=-0.5(x-40)2+7 200,
∵a=-0.5<0,∴抛物线开口向下,函数有最大值.
∴当x=40时,w有最大值,最大值为7 200.
∴当增种果树40棵时,果园的最大产量是7 200千克.

/B组 提升题组

一、选择题
1.C 根据题意,得点B的纵坐标为-4,把y=-4代入y=-
1
25
x2,解得x=±10,
∴A(-10,-4),B(10,-4),∴AB=10-(-10)=20,即水面宽度AB为20 m.
2.B ①抛物线y=ax2的顶点坐标为(0,0),正确;
②根据图象得:直线y=kx+b(k≠0)为增函数;抛物线y=ax2(a≠0)当x>0时为增函数,则x>0时,直线与抛物线函数值都随着x的增大而增大,正确;
③由A,B横坐标分别为-2,3,若AB=5,可得出直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,故AB不可能为5,错误;
④若OA=OB,得到直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,∴OA≠OB,即△AOB不可能为等边三角形,错误;
⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称,如图所示:
/
可得直线y=-kx+b与抛物线交点C,D横坐标分别为-3,2,
由图象可得:当-3<x<2时,ax2<-kx+b,即ax2+kx<b,正确.
综上所述,正确的结论有①②⑤.

二、填空题
3./答案 

8

/解析 ∵该抛物线是以y轴为对称轴的图形,∴S阴影=S半圆=
1
2
π·



4


2
=
1
2
π·


6
4


2
=

8
(cm2).
4./答案 14
/解析 如图,可求得经过点(0,0),(1,3),(3,3)的抛物线的解析式为y=-x2+4x,
把这条开口向下抛物线向右平移1个单位、向上平移1个单位得到一条抛物线,可平移6次,∴一共有7条抛物线;
同理可得开口向上的抛物线也有7条.
∴满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是7+7=14.
/

三、解答题
5./解析 (1)根据题意,得C(0,11),
设抛物线的表达式为y=ax2+11(a≠0).
∵抛物线经过点A(-8,8),∴64a+11=8,解得a=-
3
64
.
∴抛物线的表达式为y=-
3
64
x2+11.
(2)画出抛物线h=-
1
128
(t-19)2+8(0≤t≤40),如图所示.
/
当水面到顶点C的距离不大于5米时,h≥6米.
解方程-
1
128
(t-19)2+8=6,
得t1=3,t2=35.
由图象的变化趋势可得,禁止船只通行的时间为|t1-t2|=32(小时).
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