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人教A版高中数学选修2-1《2.3.1双曲线及其标准方程》课件-(高二)
所属科目:数学    文件类型:pptx
类别:课件
上传日期:2019/4/15  
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该ppt共有52张ppt
----第1张ppt内容:------
第二章 §2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程

----第2张ppt内容:------
学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.

----第3张ppt内容:------
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练

----第4张ppt内容:------
问题导学

----第5张ppt内容:------
知识点一 双曲线的定义
思考 
若取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点F1,F2上,把笔尖放在点M处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线上的点应满足怎样的几何条件?
如图,曲线上的点满足条件:|MF1|-|MF2|=常数;如果改变一下笔尖位置,使|MF2|-|MF1|=常数,可得到另一条曲线.
答案

----第6张ppt内容:------
梳理
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的差的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线. 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的 ;(2)关于“小于|F1F2|”:①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的 (包括端点);②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹不存在.(3)若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则动点的轨迹只有双曲线的 .(4)若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是 .
线段F1F2的中垂线
绝对值
这两个定点
焦距
两条射线
一支

----第7张ppt内容:------
知识点二 双曲线的标准方程
思考1 
双曲线的标准方程的推导过程是什么?
答案

----第8张ppt内容:------
(1)建系:以直线F1F2为x轴,F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.(2)设点:设M(x,y)是双曲线上任意一点,且双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0).(3)列式:由|MF1|-|MF2|=±2a,(4)化简:移项,平方后可得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

----第9张ppt内容:------
(5)检验:从上述过程可以看到,双曲线上任意一点的坐标都满足方程②;以方程②的解(x,y)为坐标的点到双曲线两个焦点(-c,0),(c,0)的距离之差的绝对值为2a,即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上,这样,就把方程②叫做双曲线的标准方程.(此步骤可省略)

----第10张ppt内容:------
思考2 
双曲线中a,b,c的关系如何?与椭圆中a,b,c的关系有何不同?
双曲线标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中a>b>0,a>c,c与b大小不确定.
答案

----第11张ppt内容:------
梳理
(1)两种形式的标准方程
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
a2+b2=c2

----第12张ppt内容:------
(2)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在 上;若y2项的系数为正,那么焦点在 上.(3)双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2+By2=1(AB<0).(4)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里的b2= 与椭圆中的b2= 相区别.
a2-c2
x轴
y轴
c2-a2

----第13张ppt内容:------
题型探究

----第14张ppt内容:------
类型一 双曲线的定义及应用
命题角度1 双曲线中焦点三角形面积问题
解答

----第15张ppt内容:------
得a=3,b=4,c=5.由定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=64,

----第16张ppt内容:------
引申探究本例中若∠F1PF2=90°,其他条件不变,求△F1PF2的面积.
解答
由双曲线方程知a=3,b=4,c=5,由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a=6,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36, ①在Rt△F1PF2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=100, ②将②代入①得|PF1|·|PF2|=32,

----第17张ppt内容:------
求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一:①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a;②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式;③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值;

----第18张ppt内容:------
(2)方法二:
特别提醒:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件||PF1|-|PF2||=2a的变形使用,特别是与|PF1|2+|PF2|2,|PF1|·|PF2|间的关系.

----第19张ppt内容:------
解答

----第20张ppt内容:------
在△MF1F2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1|·|MF2|·cos θ. ①∵|F1F2|2=4c2,|MF1|2+|MF2|2=(|MF1|-|MF2|)2+2|MF1|·|MF2|=4a2+2|MF1|·|MF2|,∴①式化为4c2=4a2+2|MF1|·|MF2|(1-cos θ),

----第21张ppt内容:------

当|PF1|-|PF2|=±3时,||PF1|-|PF2||=3<|F1F2|=4,满足双曲线定义, P点的轨迹是双曲线.
命题角度2 利用双曲线定义求其标准方程例2 (1)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是A.|PF1|-|PF2|=±3 B.|PF1|-|PF2|=±4C.|PF1|-|PF2|=±5 D.|PF1|2-|PF2|2=±4
答案
解析

----第22张ppt内容:------
(2)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_________________.
答案
解析

----第23张ppt内容:------
如图,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B,根据两圆外切的条件 |MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=2,表明动点M与两定点C2,C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为(x,y),其轨迹方程为x2- =1(x≤-1).

----第24张ppt内容:------
双曲线定义的两种应用(1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时,一定要注意双曲线定义中的各个条件,不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数,就认为其轨迹是双曲线,还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零,否则就不是双曲线.

----第25张ppt内容:------
(2)巧妙利用双曲线的定义求曲线的轨迹方程,可以使运算量大大减小,同时提高解题速度和质量. 其基本步骤为①寻求动点M 与定点F1,F2 之间的关系.②根据题目的条件计算是否满足||MF1|-|MF2||=2a(常数,a>0).③判断:若2a<2c=|F1F2|,满足定义,则动点M 的轨迹就是双曲线,且2c=|F1F2|,b2=c2-a2,进而求出相应a,b,c.④根据F1,F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程.

----第26张ppt内容:------
跟踪训练2 下列命题是真命题的是_____.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|-|PF2|= 的点P的轨迹为双曲线;②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足||PF1|-|PF2||=4的点P的轨迹为两条射线;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P的轨迹为双曲线;④若点P到定点F1(-4,0),F2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M(1,2)到点N(-3,-1)的距离,则点P的轨迹为双曲线.
答案
解析
②④

----第27张ppt内容:------
① <2,故点P的轨迹是双曲线的一支;②因为2a=|F1F2|=4,所以点P的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)距离之差的绝对值等于7,而7>6,故点P的轨迹不存在;④点M(1,2)到点N(-3,-1)的距离为 =5<8,故点P的轨迹是以F1(-4,0),F2(4,0)为焦点的双曲线.

----第28张ppt内容:------
类型二 待定系数法求双曲线的标准方程
解答

----第29张ppt内容:------
解答

----第30张ppt内容:------
∴a2=12,b2=8.

----第31张ppt内容:------

----第32张ppt内容:------
待定系数法求方程的步骤(1)定型:即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式,①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1 (AB<0).
(3)计算:利用题中条件列出方程组,求出相关值.(4)结论:写出双曲线的标准方程.

----第33张ppt内容:------
跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程.(1)c= ,经过点A(-5,2),焦点在x轴上;
解得a2=5或a2=30(舍).
解答

----第34张ppt内容:------
设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),
解答

----第35张ppt内容:------
解答

----第36张ppt内容:------
类型三 双曲线定义的综合运用
证明

----第37张ppt内容:------
如图所示,设|PF1|=r1,|PF2|=r2,|F1F2|=2c,则在△PF1F2中,对于双曲线有|r2-r1|=2m,则在△PF1F2中,对于椭圆有r1+r2=2a,

----第38张ppt内容:------
(1)结合双曲线的定义,解决综合问题,诸如:实际应用题,焦点三角形问题等,要充分利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等,利用化归思想,重点考查综合运用能力与求解能力.(2)双曲线与椭圆的比较如下表:

----第39张ppt内容:------
利用双曲线与椭圆的关系,可类比椭圆得到双曲线的有关结论,或用类似方法解决双曲线的有关问题,以及双曲线与椭圆的综合问题.

----第40张ppt内容:------
解答

----第41张ppt内容:------
解答

----第42张ppt内容:------
类似的性质如下:其证明过程如下:设P(x,y),M(m,n),则N(-m,-n),

----第43张ppt内容:------
故kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.

----第44张ppt内容:------
当堂训练

----第45张ppt内容:------
2
3
4
5
1
由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a=6,即|3-|PF2||=6,解得|PF2|=9(负值舍去),故选B.
答案
解析
A.11 B.9 C.5 D.3


----第46张ppt内容:------
又由|F1F2|=10可得△PF1F2是直角三角形,
答案
解析

2
3
4
5
1

----第47张ppt内容:------
3.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则所得双曲线的标准方程为_________.
令x=0,得y2-4y+8=0,方程无解,即该圆与y轴无交点.令y=0,得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4,则符合条件的双曲线中a=2,c=4,∴b2=c2-a2=16-4=12,且焦点在x轴上,
答案
解析
2
3
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5
1

----第48张ppt内容:------
4.已知双曲线2x2-y2=k(k≠0)的焦距为6,则k的值为_______.
2
3
4
5
1
-6或6
答案
解析

----第49张ppt内容:------
由题易知,k≠0.综上,k=-6或k=6.
2
3
4
5
1

----第50张ppt内容:------
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3
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5
1
答案
解析

----第51张ppt内容:------
1.双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设F1,F2表示双曲线的左,右焦点,若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.(2)双曲线定义的双向运用:①若||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|),则动点M的轨迹为双曲线.②若动点M在双曲线上,则||MF1|-|MF2||=2a.

----第52张ppt内容:------
2.求双曲线标准方程的步骤(1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式.(2)定量:是指确定a2,b2的数值,常由条件列方程组求解.特别提醒:若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,为简单起见,常标明条件mn<0.

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