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人教A版高中数学选修2-1《2.3.2双曲线的简单几何性质》课件-(高二)
所属科目:数学    文件类型:pptx
类别:课件
上传日期:2019/4/15  
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该ppt共有66张ppt
----第1张ppt内容:------
第二章 §2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质

----第2张ppt内容:------
学习目标1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a,b,c,e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.

----第3张ppt内容:------
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练

----第4张ppt内容:------
问题导学

----第5张ppt内容:------
知识点一 双曲线的范围、对称性
思考 
观察下面的图形:(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的,那么是否与椭圆一样有范围限制?
有限制,因为 ≥1,即x2≥a2,所以x≥a或x≤-a.
答案

----第6张ppt内容:------
思考 
(2)是不是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是不是中心对称图形?对称中心是哪个点?
关于x轴、y轴和原点都是对称的,x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.
答案

----第7张ppt内容:------
梳理
(2)双曲线的对称轴为 ,对称中心为 .
(-∞,-a]∪[a,+∞)
(-∞,-a]∪[a,+∞)
原点
x轴、y轴
R
R

----第8张ppt内容:------
知识点二 双曲线的顶点
思考 
(1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点,你认为对吗?为什么?
不对,双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点,只有在标准形式下,坐标轴才是双曲线的对称轴,此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.
答案

----第9张ppt内容:------
思考 
(2)双曲线是否只有两个顶点?双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗?
是,只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上,只能在实轴上.
答案

----第10张ppt内容:------
梳理
(0,a)
(-a,0)
(a,0)
(0,-a)

----第11张ppt内容:------
知识点三 渐近线与离心率
思考1 
能否和椭圆一样,用a,b表示双曲线的离心率?
答案

----第12张ppt内容:------
思考2 
离心率对双曲线开口大小有影响吗?满足什么对应关系?
答案

----第13张ppt内容:------
梳理
(2)离心率:双曲线的焦距与实轴长的比 ,叫做双曲线的离心率,用e表示(e>1).

----第14张ppt内容:------
(3)双曲线的几何性质见下表:

----第15张ppt内容:------

----第16张ppt内容:------
题型探究

----第17张ppt内容:------
类型一 已知双曲线的标准方程求其简单几何性质
例1 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解答

----第18张ppt内容:------

----第19张ppt内容:------
引申探究将本例改为“求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”,请给出解答.
解答

----第20张ppt内容:------
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.

----第21张ppt内容:------
跟踪训练1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解答
由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3;

----第22张ppt内容:------
类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程
例2 求下列双曲线的标准方程.
解答

----第23张ppt内容:------

----第24张ppt内容:------
解得λ=20或λ=7(舍去),

----第25张ppt内容:------
解答

----第26张ppt内容:------
则c2=10k,b2=c2-a2=k.于是,设所求双曲线方程为

----第27张ppt内容:------
(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧

----第28张ppt内容:------
⑤渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).⑥渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).

----第29张ppt内容:------
∵点M(3,-2)在双曲线上,
解答

----第30张ppt内容:------
∴a2=3b2. ①又∵直线AB的方程为bx-ay-ab=0,解①②组成的方程组,得a2=3,b2=1.
解答

----第31张ppt内容:------
类型三 共轭双曲线与等轴双曲线
解答
命题角度1 共轭双曲线

----第32张ppt内容:------
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线,

----第33张ppt内容:------

----第34张ppt内容:------
答案
解析

----第35张ppt内容:------
命题角度2 等轴双曲线例4 已知等轴双曲线的焦点在x轴上,且焦点到渐近线的距离是 ,求此双曲线的方程.
解答

----第36张ppt内容:------
(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.(2)等轴双曲线的性质:①渐近线方程为y=±x;②渐近线互相垂直;③离心率e= .(3)等轴双曲线的特征是a=b,等轴双曲线的方程可以设为x2-y2=λ(λ≠0).当λ>0时,双曲线的焦点在x轴上;当λ<0时,双曲线的焦点在y轴上.

----第37张ppt内容:------

答案
解析
依据等轴双曲线的性质,得e= .

----第38张ppt内容:------
类型四 直线与双曲线的位置关系
解答
命题角度1 直线与双曲线位置关系的判定与交点问题例5 已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4.(1)若直线与双曲线没有公共点,求k的取值范围;

----第39张ppt内容:------
得(1-k2)x2+2kx-5=0. ①直线与双曲线没有公共点,则①式方程无解.

----第40张ppt内容:------
解答
(2)若直线与双曲线有两个公共点,求k的取值范围;
直线与双曲线有两个公共点,则①式方程有两个不相等的根.

----第41张ppt内容:------
解答
(3)若直线与双曲线只有一个公共点,求k的值.
直线与双曲线只有一个公共点,则①式方程只有一解.当1-k2=0,即k=±1时,①式方程只有一解;当1-k2≠0时,应满足Δ=4k2+20(1-k2)=0,

----第42张ppt内容:------
①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).

----第43张ppt内容:------
Δ>0?直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交;Δ=0?直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切;Δ<0?直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系,一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断(图中α为渐近线倾斜角,θ为直线l倾斜角).如图①,θ=α时,直线l只与双曲线一支相交,交点只有一个;如图②,θ>α时,直线l只与双曲线一支相交,交点有两个;如图③,θ<α时,直线l与双曲线两支都相交,交点有两个.

----第44张ppt内容:------
①求双曲线的离心率e的取值范围;
解答

----第45张ppt内容:------
设A(x1,y1),B(x2,y2),易知P(0,1),又x1,x2是方程①的两个根,
解答

----第46张ppt内容:------
设直线l的斜率为k,则l:y=k(x-1)+1,代入双曲线方程得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0.若4-k2=0,即k=±2,此时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点;
解答

----第47张ppt内容:------
命题角度2 直线与双曲线的相交弦及弦长问题
化简得3x2-2x-5=0.
解答

----第48张ppt内容:------
解答

----第49张ppt内容:------
方法一 ∵该直线的斜率不存在时,直线与双曲线无交点,故可设直线的方程为y=kx+1,它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x,y).设此方程的解为x1,x2,则4-k2≠0,Δ=4k2+20(4-k2)>0,

----第50张ppt内容:------
方法二 设弦的两个端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为P(x,y),①-②,得4(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),

----第51张ppt内容:------
整理得4x2-y2+y=0(y<-4或y≥1).

----第52张ppt内容:------
(2)涉及弦长的中点问题,常用“点差法”,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系.其具体解题思路如下

----第53张ppt内容:------

----第54张ppt内容:------
跟踪训练6 已知双曲线的方程为2x2-y2=2.(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1,P2两点,当点P(2,1)是弦P1P2的中点时,求此直线方程;
解答

----第55张ppt内容:------
若直线斜率不存在,即P1P2垂直于x轴,则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x轴上,不可能是点P(2,1),所以直线l斜率存在.故可设直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx-2k+1.得(2-k2)x2+2k(2k-1)x-4k2+4k-3=0.设直线l与双曲线的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2).

----第56张ppt内容:------
又点P(2,1)是弦P1P2的中点,当k=4时,Δ=4k2(2k-1)2-4(2-k2)(-4k2+4k-3)=56×5>0.综上可知,所求直线的方程为4x-y-7=0.

----第57张ppt内容:------
(2)过定点Q(1,1)能否作直线l,使l与此双曲线相交于Q1,Q2两点,且Q是弦Q1Q2的中点?若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
解答

----第58张ppt内容:------
假设这样的直线l存在,设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),∴2(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,∴2(x1-x2)-(y1-y2)=0.若直线Q1Q2垂直于x轴,则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1,1),

----第59张ppt内容:------
∴直线Q1Q2的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.即2x2-4x+3=0,∴Δ=16-24<0.∴直线l与双曲线没有公共点,因此这样的直线不存在.

----第60张ppt内容:------
当堂训练

----第61张ppt内容:------
∵方程表示双曲线,
答案
解析
A.-4 B.-3 C.2 D.1

2
3
4
5
1

----第62张ppt内容:------
答案
解析

2
3
4
5
1

----第63张ppt内容:------
3.等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),则其标准方程为
2
3
4
5
1
∵等轴双曲线的焦点为(-6,0),∴c=6,∴2a2=36,a2=18.
答案
解析


----第64张ppt内容:------
2
3
4
5
1
答案
解析

----第65张ppt内容:------
答案
解析
2
3
4
5
1

----第66张ppt内容:------
双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等,与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.(1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系,转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立关系求解.(2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.

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