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人教A版高中数学高二选修2-1《3.1.3空间向量的数量积运算》课件
所属科目:数学    文件类型:pptx
类别:课件
上传日期:2019/4/15  
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该ppt共有40张ppt
----第1张ppt内容:------
第三章 §3.1 空间向量及其运算
3.1.3 空间向量的数量积运算

----第2张ppt内容:------
学习目标1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途,能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.

----第3张ppt内容:------
题型探究
问题导学
内容索引
当堂训练

----第4张ppt内容:------
问题导学

----第5张ppt内容:------
知识点一 空间向量数量积的概念
思考1 
答案

----第6张ppt内容:------
求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角,当夹角和长度不确定时,可用已知夹角和长度的向量来表示该向量,再代入计算.

----第7张ppt内容:------
思考2 
120°.
答案

----第8张ppt内容:------
梳理
(1)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a·b.(2)数量积的运算律
a·b+a·c
λ(a·b)
b·a

----第9张ppt内容:------
(3)空间向量的夹角
∠AOB
②范围:〈a,b〉∈ .特别地:当〈a,b〉= 时,a⊥b.
[0,π]

----第10张ppt内容:------
知识点二 空间向量的数量积的性质
|a|2
a·b=0
|a|·|b|
-|a|·|b|

----第11张ppt内容:------
题型探究

----第12张ppt内容:------
类型一 空间向量的数量积运算
命题角度1 空间向量的数量积基本运算例1 (1)下列命题是否正确?正确的请给出证明,不正确的给予说明.①p2·q2=(p·q)2;
解答
此命题不正确.∵p2·q2=|p|2·|q|2,而(p·q)2=(|p|·|q|·cos〈p,q〉)2=|p|2·|q|2·cos2〈p,q〉,∴当且仅当p∥q时,p2·q2=(p·q)2.

----第13张ppt内容:------
②|p+q|·|p-q|=|p2-q2|;
解答
此命题不正确.∵|p2-q2|=|(p+q)·(p-q)|=|p+q|·|p-q|·|cos〈p+q,p-q〉|,∴当且仅当(p+q)∥(p-q)时,|p2-q2|=|p+q|·|p-q|.
③若a与(a·b)·c-(a·c)·b均不为0,则它们垂直.
解答
此命题正确.∵a·[(a·b)·c-(a·c)·b]=a·(a·b)·c-a·(a·c)·b=(a·b)(a·c)-(a·b)(a·c)=0,且a与(a·b)·c-(a·c)·b均为非零向量,∴a与(a·b)·c-(a·c)·b垂直.

----第14张ppt内容:------
(2)设θ=〈a,b〉=120°,|a|=3,|b|=4,求:①a·b;
解答
∵a·b=|a||b|cos〈a,b〉,∴a·b=3×4×cos 120°=-6.
②(3a-2b)·(a+2b).
解答
∵(3a-2b)·(a+2b)=3|a|2+4a·b-4|b|2=3|a|2+4|a||b|cos 120°-4|b|2,∴(3a-2b)·(a+2b)=3×9+4×3×4×( )-4×16=27-24-64=-61.

----第15张ppt内容:------
(1)已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.

----第16张ppt内容:------

跟踪训练1 已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于
∵|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6×cos 60°+9=13,∴|a+3b|= .
答案
解析

----第17张ppt内容:------
则|a|=|c|=2,|b|=4,a·b=b·c=c·a=0.
命题角度2 利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2 已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E为侧面AB1的中心,F为A1D1的中点.试计算:
解答

----第18张ppt内容:------
解答
解答

----第19张ppt内容:------
两向量的数量积,其运算结果是数量,而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.

----第20张ppt内容:------
跟踪训练2 已知正四面体OABC的棱长为1,求:
解答

----第21张ppt内容:------
解答

----第22张ppt内容:------
类型二 利用数量积求夹角或模
命题角度1 利用数量积求夹角例3 已知BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角.
解答

----第23张ppt内容:------
∵AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,

----第24张ppt内容:------
又∵异面直线所成的角是锐角或直角,∴异面直线BA1与AC所成的角为60°.

----第25张ppt内容:------
利用向量求异面直线夹角的方法

----第26张ppt内容:------
因为PO⊥α,且l?α,所以l⊥PO,
跟踪训练3 已知:PO、PA分别是平面α的垂线、斜线,AO是PA在平面α内的射影,l?α,且l⊥OA.求证:l⊥PA.
证明

----第27张ppt内容:------
命题角度2 利用数量积求模(或距离)例4 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.
解答

----第28张ppt内容:------
因为∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,

----第29张ppt内容:------
利用向量的数量积求两点间的距离,可以转化为求向量的模的问题,其基本思路是先选择以两点为端点的向量,将此向量表示为几个已知向量的和的形式,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模,利用公式|a|= 求解即可.

----第30张ppt内容:------
跟踪训练4 如图,已知线段AB⊥平面α,BC?α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,求A,D两点间的距离.
解答

----第31张ppt内容:------
类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题
因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以△OAC≌△OAB,所以∠AOC=∠AOB.
例5 如图,在空间四边形OABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OA⊥BC.
证明

----第32张ppt内容:------
(1)证明线线垂直的方法证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量,看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直.(2)证明与空间向量a,b,c有关的向量m,n垂直的方法先用向量a,b,c表示向量m,n,再判断向量m,n的数量积是否为0.

----第33张ppt内容:------
跟踪训练5 已知向量a,b满足:|a|=2,|b|= ,且a与2b-a互相垂直,则a与b的夹角为_____.
45°
答案
解析
∵a与2b-a垂直,∴a·(2b-a)=0,即2a·b-|a|2=0.∴2|a||b|·cos〈a,b〉-|a|2=0,又〈a,b〉∈[0°,180°],∴a与b的夹角为45°.

----第34张ppt内容:------
当堂训练

----第35张ppt内容:------
2
3
4
5
1
|a-2b+3c|2=|a|2+4|b|2+9|c|2-4a·b+6a·c-12b·c=14.
1.已知a,b,c是两两垂直的单位向量,则|a-2b+3c|等于A.14 B. C.4 D.2
答案
解析


----第36张ppt内容:------
选项C,由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1,

2
3
4
5
1
答案
解析
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列向量的数量积一定不为0的是

----第37张ppt内容:------
2
3
4
5
1
易知①②正确;
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:
其中真命题的个数为A.1 B.2 C.3 D.0

答案
解析

----第38张ppt内容:------
2
3
4
5
1
答案
解析

----第39张ppt内容:------
2
3
4
5
1
5.已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为____.
=12+22+12+2×(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,
答案
解析

----第40张ppt内容:------
1.空间向量运算的两种方法(1)利用定义:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并结合运算律进行计算.(2)利用图形:计算两个数量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.2.在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入a·b=|a||b|cos〈a,b〉求解.

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