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人教版数学八年级上册期末复习讲义(二)全等三角形
所属科目:数学    文件类型:doc
类别:教案/同步练习
上传日期:2019/4/16  
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期末复习(二) 全等三角形
01  本章结构图


02  重难点突破
重难点1 全等三角形的性质与判定

【例1】 (大连中考)如图,点A、B、C、D在一条直线上,AB=CD,AE∥BF,CE∥DF.求证:AE=BF.
证明:∵AE∥BF,∴∠A=∠FBD.
∵CE∥DF,∴∠D=∠ACE.
∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(ASA).∴AE=BF.
【方法归纳】 要证明两条线段或两个角相等,关键就是证明这两条线段或这两个角所在的三角形全等.

1.(武汉中考)如图,点B、E、C、F在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,求证:AB∥DE.

证明:∵BE=CF,
∴BC=EF.
又∵AB=DE,AC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
∴∠ABC=∠DEF.
∴AB∥DE.

2.(南充中考)已知△ABN和△ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,∠1=∠2.求证:
(1)BD=CE;
(2)∠M=∠N.

证明:(1)在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴BD=CE.
(2)∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE,
即∠BAN=∠CAM.
由(1),得△ABD≌△ACE,∴∠B=∠C.
在△ACM和△ABN中,
∴△ACM≌△ABN(ASA).
∴∠M=∠N.


重难点2 角平分线的性质与判定
【例2】 如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,且BD=CD.求证:BE=CF.

【思路点拨】 根据角平分线的性质得出DE=DF,再根据“HL”判定两个三角形全等,最后根据全等三角形的性质即可证明.
证明:∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥
AC,∴DE=DF.
在Rt△DBE和Rt△DCF中,
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL).
∴BE=CF.
【方法归纳】 如果题目中有角平分线上的点,且含有过该点向角的两边作的垂线段(即“垂直”的条件),就能得到线段相等.即使没有垂线段,也可以过角平分线上的点向角的两边作垂线段,从而证得线段相等.

3.如图,已知F,G是OA上两点,M,N是OB上两点,且FG=MN,△PFG和△PMN的面积相等.试判断点P是否在∠AOB的平分线上,并说明理由.

解:点P在∠AOB的平分线上.理由:作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.
∵S△PFG=FG·PD,
S△PMN=MN·PE,
S△PFG=S△PMN,
∴FG·PD=MN·PE.
又∵FG=MN,∴PD=PE.
∴点P在∠AOB的平分线上.


03  备考集训
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列说法中正确的个数有(C)
①形状相同的两个图形是全等形;②对应角相等的两个三角形是全等形;③全等三角形的面积相等;④若△ABC≌△DEF,△DEF≌△MNP,则△ABC≌△MNP.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.满足下列条件,能判定△ABC与△DEF全等的是(D)
A.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D
B.AB=DE,BC=EF,∠C=∠F
C.AB=DE,BC=EF,∠A=∠E
D.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
3.如图,已知△ABE≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是(D)

A.AB=AC
B.∠BAE=∠CAD
C.BE=DC
D.AD=DE
4.如图所示,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形,那么这两个三角形完全一样的依据是(D)
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA

5.如图,从下列四个条件:①BC=B′C;②AC=A′C;③∠A′CA=∠B′CB;④AB=A′B′中,任取三个为条件,余下的一个为结论,则最多可以构成正确的结论的个数是(B)
  
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°,∠2=30°,则∠3=(B)
A.60° B.55° C.50° D.无法计算

7.如图,直线a、b、c表示三条公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)
  
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
8.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是(A)

A.50
B.62
C.65
D.68
9.(淄博中考)已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是(D)
A.两条边长分别为4,5,它们的夹角为β
B.两个角是β,它们的夹边为4
C.三条边长分别是4,5,5
D.两条边长是5,一个角是β
10.如图所示,点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点,AB⊥OP于点E,BC⊥MN于点C,AD⊥MN于点D,下列结论错误的是(C)

A.AD+BC=AB
B.∠AOB=90°
C.与∠CBO互余的角有两个
D.点O是CD的中点

二、填空题(每小题3分,共18分)
11.(绥化中考)如图,AC、BD相交于点O,∠A=∠D,请补充一个条件,使△AOB≌△DOC,你补充的条件是答案不唯一,如:AB=CD(填出一个即可).

12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DC=2,则D到AB边的距离是2.
  
13.如图,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=11 cm,CF=5 cm,则BD=6cm.

14.如图,点E是等边△ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠DBC,则∠D=30°.
  
15.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中成立的有①③④(填写正确的序号).
①PA=PB;②AB垂直平分OP;③OA=OB;④PO平分∠APB.

16.如图,在平面直角坐标系中,A(3,0),B(0,4),连接AB,在平面直角坐标系中找一点C,使△AOC与△AOB全等,则C点的坐标为(3,4)或(3,-4)或(0,-4).
   

三、解答题(共52分)
17.(12分)(宜宾中考)如图,已知∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC.求证:BC=AD.

证明:∵∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC,
∴∠DAB=∠CBA.
在△ADB和△BCA中,

∴△ADB≌△BCA(ASA).
∴BC=AD.

18.(12分)(菏泽中考)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连接AE,DE,DC.
(1)求证:△ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.


解:(1)证明:∵∠ABC=90°,
∴∠ABE=∠CBD=90°.
在△ABE和△CBD中,

∴△ABE≌△CBD(SAS).
(2)∵AB=CB,∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴∠ECA=45°.
∵∠CAE=30°,
∴∠BEA=∠ECA+∠EAC=45°+30°=75°.
由(1)知△ABE≌△CBD,
∴∠BDC=∠BEA.
∴∠BDC=75°.

19.(14分)如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F,连接CD,EB.
(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举;
(2)求证:CF=EF.

解:(1)△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF.
(2)证明:连接AF.
∵Rt△ABC≌Rt△ADE,
∴AB=AD,BC=DE,
又∵AF=AF,∠ABC=∠ADE=90°.
∴Rt△ABF≌Rt△ADF.
∴BF=DF.
又∵BC=DE,
∴BC-BF=DE-DF,即CF=EF.


20.(14分)如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD、BE交于点H,连接CH.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)求证:CH平分∠AHE;
(3)求∠CHE的度数.(用含α的式子表示)

解:(1)证明:∵∠ACB=∠DCE=α,
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)证明:过点C作CM⊥AD于M,CN⊥BE于N.
∵△ACD≌△BCE,∴∠CAM=∠CBN.
在△ACM和△BCN中,
∴△ACM≌△BCN.
∴CM=CN.
∴CH平分∠AHE.
(3)令BC、AH交于点Q.
∵∠AQC=∠BQH,∠CAD=∠CBE,
∴∠AHB=∠ACB=α.
∴∠AHE=180°-α.
∴∠CHE=∠AHE=90°-α.

人教版八年级上册
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11.2 与三角形有关的角
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19.2 三角形全等的判定
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